Problema de valor inicial

Tipo de problema de cálculo

En cálculo multivariable , un problema de valor inicial ^[a] ( PIV ) es una ecuación diferencial ordinaria junto con una condición inicial que especifica el valor de la función desconocida en un punto dado del dominio . Modelar un sistema en física u otras ciencias con frecuencia implica resolver un problema de valor inicial. En ese contexto, el valor inicial diferencial es una ecuación que especifica cómo evoluciona el sistema con el tiempo dadas las condiciones iniciales del problema.

Definición

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ con donde es un conjunto abierto de , ${\displaystyle f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$

junto con un punto en el dominio de ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega ,}$

llamada condición inicial .

Una solución a un problema de valor inicial es una función que es una solución a la ecuación diferencial y satisface ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$

En dimensiones superiores, la ecuación diferencial se reemplaza por una familia de ecuaciones y se considera como el vector , que se asocia más comúnmente con la posición en el espacio. De manera más general, la función desconocida puede tomar valores en espacios de dimensión infinita, como espacios de Banach o espacios de distribuciones . ${\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle (y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}$ ${\displaystyle y}$

Los problemas de valor inicial se extienden a órdenes superiores al tratar las derivadas de la misma manera que una función independiente, por ejemplo . ${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$

Existencia y unicidad de soluciones

El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única en algún intervalo que contenga t ₀ si f es continua en una región que contiene t ₀ e y ₀ y satisface la condición de Lipschitz en la variable y . La demostración de este teorema se realiza reformulando el problema como una ecuación integral equivalente . La integral puede considerarse un operador que convierte una función en otra, de modo que la solución es un punto fijo del operador. A continuación, se invoca el teorema del punto fijo de Banach para demostrar que existe un único punto fijo, que es la solución del problema del valor inicial.

Una demostración más antigua del teorema de Picard-Lindelöf construye una secuencia de funciones que convergen a la solución de la ecuación integral y, por lo tanto, a la solución del problema de valor inicial. Esta construcción se denomina a veces "método de Picard" o "método de aproximaciones sucesivas". Esta versión es, en esencia, un caso especial del teorema del punto fijo de Banach.

Hiroshi Okamura obtuvo una condición necesaria y suficiente para que la solución de un problema de valor inicial sea única. Esta condición tiene que ver con la existencia de una función de Lyapunov para el sistema.

En algunas situaciones, la función f no es de clase C ¹ , o incluso Lipschitz , por lo que el resultado habitual que garantiza la existencia local de una solución única no se aplica. Sin embargo, el teorema de existencia de Peano demuestra que incluso para f meramente continua, se garantiza que las soluciones existen localmente en el tiempo; el problema es que no hay garantía de unicidad. El resultado puede encontrarse en Coddington y Levinson (1955, Teorema 1.3) o Robinson (2001, Teorema 2.6). Un resultado aún más general es el teorema de existencia de Carathéodory , que demuestra la existencia para algunas funciones discontinuas f .

Ejemplos

Un ejemplo sencillo es resolver y . Estamos tratando de encontrar una fórmula que satisfaga estas dos ecuaciones. ${\displaystyle y'(t)=0.85y(t)}$ ${\displaystyle y(0)=19}$ ${\displaystyle y(t)}$

Reordena la ecuación para que quede en el lado izquierdo. ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85}$

Ahora integre ambos lados con respecto a (esto introduce una constante desconocida ). ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt}$

${\displaystyle \ln |y(t)|=0.85t+B}$

Eliminar el logaritmo con exponenciación en ambos lados

${\displaystyle |y(t)|=e^{B}e^{0.85t}}$

Sea una nueva constante desconocida, , entonces ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\pm e^{B}}$

${\displaystyle y(t)=Ce^{0.85t}}$

Ahora necesitamos encontrar un valor para . Use lo que se indica al principio y sustituya 0 por y 19 por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y(0)=19}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}$

${\displaystyle C=19}$

Esto da la solución final de . ${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$

Segundo ejemplo

La solución de

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

se puede encontrar que es

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,}$

En efecto,

${\displaystyle {\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}}$

Tercer ejemplo

La solución de

${\displaystyle y'=y^{\frac {2}{3}},\qquad y(0)=0}$

${\displaystyle \int {\frac {y'}{y^{\frac {2}{3}}}}\,dt=\int y^{-{\frac {2}{3}}}\,dy=\int 1\,dt}$

${\displaystyle 3(y(t))^{\frac {1}{3}}=t+B}$

Aplicando las condiciones iniciales obtenemos , de ahí la solución: ${\displaystyle B=0}$

${\displaystyle y(t)={\frac {t^{3}}{27}}}$.

Sin embargo, la siguiente función también es una solución del problema del valor inicial:

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {(t-t_{1})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t\leq t_{1}\\0&{\text{if}}&t_{1}\leq x\leq t_{2}\\{\frac {(t-t_{2})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t_{2}\leq t\\\end{array}}\right.}$

La función es diferenciable en todas partes y continua, y satisface tanto la ecuación diferencial como el problema del valor inicial. Por lo tanto, este es un ejemplo de un problema con un número infinito de soluciones.

Notas

1. También llamado problema de Cauchy por algunos autores. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Problema de valor límite
• Constante de integración
• Curva integral

Referencias

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York-Toronto-Londres: McGraw-Hill Book Company, Inc.
• Hirsch, Morris W. y Smale, Stephen (1974). Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal . Nueva York-Londres: Academic Press.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Okamura, Hirosi (1942). "Condición nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans point de Peano". Memoria. Col. Ciencia. Univ. Serie de Kioto. A (en francés). 24 : 21–28. SEÑOR  0031614.
• Agarwal, Ravi P.; Lakshmikantham, V. (1993). Criterios de unicidad y no unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias. Series en análisis real. Vol. 6. World Scientific. ISBN 978-981-02-1357-2.
• Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003). Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2.ª ed.). Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-297-2.
• Robinson, James C. (2001). Sistemas dinámicos de dimensión infinita: una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas disipativas y la teoría de los atractores globales . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63204-8.