En álgebra lineal , una matriz está en forma escalonada por renglones si puede obtenerse como resultado de la eliminación gaussiana . Cada matriz se puede poner en forma escalonada por filas aplicando una secuencia de operaciones elementales por filas . El término escalón proviene del francés échelon ("nivel" o escalón de una escalera) y se refiere al hecho de que las entradas distintas de cero de una matriz en forma escalonada por filas parecen una escalera invertida.
Para matrices cuadradas , una matriz triangular superior con entradas distintas de cero en la diagonal está en forma escalonada por filas, y una matriz en forma escalonada por filas es (débilmente) triangular superior. Por lo tanto, la forma escalonada por filas puede verse como una generalización de la forma triangular superior para matrices rectangulares.
Una matriz está en forma escalonada por filas reducida si está en forma escalonada por filas, con la propiedad adicional de que la primera entrada distinta de cero de cada fila es igual y es la única entrada distinta de cero de su columna. La forma escalonada reducida por filas de una matriz es única y no depende de la secuencia de operaciones elementales por filas utilizadas para obtenerla. La variante de la eliminación gaussiana que transforma una matriz a una forma escalonada reducida a veces se denomina eliminación de Gauss-Jordan .
Una matriz está en forma escalonada por columnas si su transpuesta está en forma escalonada por filas. Dado que todas las propiedades de las formas escalonadas por columnas pueden deducirse inmediatamente de las propiedades correspondientes de las formas escalonadas por filas, en el resto del artículo sólo se consideran las formas escalonadas por filas.
Una matriz está en forma escalonada por renglones si
Algunos textos añaden la condición de que el coeficiente principal debe ser 1 [3], mientras que otros exigen esto sólo en forma escalonada reducida.
Estas dos condiciones implican que todas las entradas en una columna debajo de un coeficiente principal son ceros. [4]
El siguiente es un ejemplo de una matriz en forma escalonada por filas, pero no en forma escalonada por filas reducida (ver más abajo):
Muchas propiedades de las matrices se pueden deducir fácilmente a partir de su forma escalonada por filas, como el rango y el núcleo .
Una matriz está en forma escalonada reducida por filas (también llamada forma canónica por filas ) si satisface las siguientes condiciones: [5]
Si se verifican las dos primeras condiciones, la última condición equivale a:
Si bien una matriz puede tener varias formas escalonadas, su forma escalonada reducida es única.
Dada una matriz en forma escalonada por filas reducida, si se permutan las columnas para tener el 1 principal de la i -ésima fila en la i -ésima columna, se obtiene una matriz de la forma
donde I es la matriz identidad de dimensión igual al rango de toda la matriz, X es una matriz con filas y columnas, y los dos ceros son matrices cero de tamaño apropiado. Dado que una permutación de columnas no es una operación de fila, la matriz resultante no es equivalente en operaciones de fila elementales. En el método de eliminación gaussiano, esto corresponde a una permutación de las incógnitas en el sistema lineal original que permite una parametrización lineal del espacio de filas, en el que los primeros coeficientes no están restringidos y los restantes se determinan como combinaciones lineales de estos.
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales está en forma escalonada por renglones si su matriz aumentada está en forma escalonada por renglones. De manera similar, se dice que un sistema de ecuaciones lineales está en forma escalonada reducida o en forma canónica si su matriz aumentada está en forma escalonada reducida.
La forma canónica puede verse como una solución explícita del sistema lineal. De hecho, el sistema es inconsistente si y sólo si una de las ecuaciones de la forma canónica se reduce a 0 = 1; es decir, si hay un 1 inicial en la columna de los términos constantes [6] En caso contrario, reagrupando en el lado derecho todos los términos de las ecuaciones menos los principales, expresa las variables correspondientes a los pivotes como constantes o funciones lineales de las demás variables, si las hubiere.
La eliminación gaussiana es el algoritmo principal para transformar cada matriz en una matriz en forma escalonada por filas. Una variante, a veces llamada eliminación de Gauss-Jordan, produce una forma escalonada de filas reducida. Ambos consisten en una secuencia finita de operaciones elementales con renglones ; el número de operaciones elementales con filas requeridas es como máximo mn para una matriz de m por n . [7] Para una matriz dada, a pesar de que la forma escalonada por filas no es única, todas las formas escalonadas por filas, incluida la forma escalonada por filas reducida, tienen el mismo número de filas cero y los pivotes están ubicados en las mismas posiciones. [7]
Este es un ejemplo de una matriz en forma escalonada por filas reducida, que muestra que la parte izquierda de la matriz no siempre es una matriz identidad :
Para una matriz con coeficientes enteros , la forma normal de Hermite es una forma escalonada por filas que se puede calcular sin introducir ningún denominador, utilizando la división euclidiana o la identidad de Bézout . La forma escalonada reducida de una matriz con entradas enteras generalmente contiene entradas no enteras, debido a la necesidad de dividir por su coeficiente principal cada fila de la forma escalonada.
La no unicidad de la forma escalonada por renglones de una matriz se deriva del hecho de que algunas operaciones elementales con renglones transforman una matriz en forma escalonada por renglones en otra matriz ( equivalente ) que también está en forma escalonada por renglones. Estas operaciones elementales de fila incluyen la multiplicación de una fila por un escalar distinto de cero y la suma de un múltiplo escalar de una fila a una de las filas superiores. Por ejemplo:
En este ejemplo, la forma escalonada de filas reducida única se puede obtener restando tres veces la segunda fila de la primera fila:
En esta sección y en la siguiente, denotamos la ubicación de las columnas que contienen las entradas principales de las filas sucesivas de una matriz en forma escalonada reducida (los pivotes) como , con
donde es la dimensión del espacio de filas de la matriz. Los datos se denominarán la forma de , que tiene entradas iniciales distintas de cero , las entradas de la columna superior e inferior desaparecen, al igual que todas las que están a la izquierda dentro de la misma fila, así como todas las entradas de la columna. ª fila para :
Dado que todas las demás entradas son elementos arbitrarios del campo base , el conjunto de todas las matrices escalonadas reducidas con forma es un espacio K -afín de dimensión [8] [9]
Para ver esto, tenga en cuenta que, de las posibles entradas de la matriz dentro de las primeras filas, se determinan como 's y 's porque están en las columnas que contienen los pivotes. También se requieren que sean más , porque están a la izquierda de los pivotes, pero de estos,
También están en las columnas . Por lo tanto, el número total de entradas que no están fijadas para ser igual o es
La forma escalonada por filas se puede utilizar para dar una descripción concreta de las celdas de Schubert asociadas con el subespacio Grassmanniano de dimensiones de un espacio vectorial .
Si , las matrices son de rango máximo y determinan subespacios dimensionales del módulo libre , como el intervalo
de combinaciones lineales
de los vectores de base elemental , con coeficientes iguales a los vectores de fila. En este caso, el espacio afín es la celda de Schubert [8] [9] del Grassmanniano , que consta de subespacios -dimensionales de correspondientes a la partición entera
con partes iguales a
relativo a la bandera completa
dónde
Esto significa que está formado por aquellos subespacios dimensionales cuyas intersecciones con los subespacios tienen dimensiones.
Su dimensión es entonces igual al peso del tabique [8]
Se puede dar una caracterización equivalente, pero más simple, de la celda de Schubert en términos de la bandera dual completa.
dónde
Luego consta de aquellos subespacios dimensionales que tienen una base que consta de elementos.
de los subespacios que, con respecto a la base estándar, son los vectores fila de la forma escalonada de filas, escritos en orden inverso.
Se dice que una matriz está en forma escalonada por filas (i) Si la primera entrada distinta de cero en cada fila distinta de cero es 1. (ii) Si la fila k no consta enteramente de ceros, el número de entradas con ceros iniciales en la fila es mayor que el número de entradas de ceros a la izquierda en la fila k . (iii) Si hay filas cuyas entradas son todas cero, están debajo de las filas que tienen entradas distintas de cero..