Ecuaciones consistentes e inconsistentes

Si existe o no un conjunto de valores para satisfacer un sistema de ecuaciones dado

En matemáticas y particularmente en álgebra , un sistema de ecuaciones (ya sea lineal o no lineal ) se llama consistente si hay al menos un conjunto de valores para las incógnitas que satisface cada ecuación del sistema, es decir, cuando se sustituye en cada una de las ecuaciones. , hacen que cada ecuación sea verdadera como una identidad . Por el contrario, un sistema de ecuaciones lineal o no lineal se considera inconsistente si no existe un conjunto de valores para las incógnitas que satisfaga todas las ecuaciones. ^{[1] [2]}

Si un sistema de ecuaciones es inconsistente, entonces las ecuaciones no pueden ser verdaderas juntas, lo que lleva a información contradictoria, como las afirmaciones falsas 2 = 1 o y (lo que implica 5 = 6 ). ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=5}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=6}$

Ambos tipos de sistemas de ecuaciones, consistentes e inconsistentes, pueden ser sobredeterminados ( con más ecuaciones que incógnitas), subdeterminados (con menos ecuaciones que incógnitas) o exactamente determinados.

Ejemplos simples

Indeterminado y consistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+2z&=4\end{aligned}}}$

tiene un número infinito de soluciones, todas ellas con z = 1 (como se puede ver restando la primera ecuación de la segunda) y, por lo tanto, todas tienen x + y = 2 para cualquier valor de x e y .

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=10,\\x^{2}+y^{2}&=5\end{aligned}}}$

tiene una infinidad de soluciones, todas involucrando ${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}.}$

Dado que cada uno de estos sistemas tiene más de una solución, es un sistema indeterminado .

Indeterminado e inconsistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+z&=4\end{aligned}}}$

no tiene soluciones, como se puede ver restando la primera ecuación de la segunda para obtener el imposible 0 = 1 .

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=17,\\x^{2}+y^{2}+z^{2}&=14\end{aligned}}}$

no tiene soluciones, porque si se resta una ecuación de la otra obtenemos el imposible 0 = 3 .

Exactamente determinado y consistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=5\end{aligned}}}$

tiene exactamente una solución: x = 1, y = 2

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=1,\\x^{2}+y^{2}&=1\end{aligned}}}$

tiene las dos soluciones ( x, y ) = (1, 0) y ( x, y ) = (0, 1) , mientras que

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=34\end{aligned}}}$

tiene un número infinito de soluciones porque la tercera ecuación es la primera ecuación más el doble de la segunda y, por tanto, no contiene información independiente; por lo tanto , se puede elegir cualquier valor de z y se pueden encontrar valores de xey que satisfagan las dos primeras ecuaciones (y por tanto la tercera).

Exactamente determinado e inconsistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\4x+4y&=10\end{aligned}}}$

no tiene soluciones; la inconsistencia se puede ver multiplicando la primera ecuación por 4 y restando la segunda ecuación para obtener el imposible 0 = 2 .

Asimismo,

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=32\end{aligned}}}$

es un sistema inconsistente porque la primera ecuación más el doble de la segunda menos la tercera contiene la contradicción 0 = 2 .

Sobredeterminado y consistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=20\end{aligned}}}$

tiene una solución, x = –1, y = 4 , porque las dos primeras ecuaciones no se contradicen y la tercera ecuación es redundante (ya que contiene la misma información que se puede obtener de las dos primeras ecuaciones multiplicando cada una por 2 y sumándolos).

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y&=7,\\3x+6y&=21,\\7x+14y&=49\end{aligned}}}$

tiene una infinidad de soluciones ya que las tres ecuaciones dan la misma información entre sí (como se puede ver multiplicando la primera ecuación por 3 o 7). Cualquier valor de y es parte de una solución, siendo el valor correspondiente de x 7 – 2 y .

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-1&=0,\\y^{2}-1&=0,\\(x-1)(y-1)&=0\end{aligned}}}$

tiene las tres soluciones ( x, y ) = (1, –1), (–1, 1), (1, 1) .

Sobredeterminado e inconsistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=21\end{aligned}}}$

es inconsistente porque la última ecuación contradice la información incluida en las dos primeras, como se ve al multiplicar cada una de las dos primeras por 2 y sumarlas.

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\x^{2}+2y^{2}&=2,\\2x^{2}+3y^{2}&=4\end{aligned}}}$

es inconsistente porque la suma de las dos primeras ecuaciones contradice la tercera.

Criterios de coherencia

Como puede verse en los ejemplos anteriores, la consistencia versus la inconsistencia es una cuestión diferente a comparar el número de ecuaciones e incógnitas.

Sistemas lineales

Un sistema lineal es consistente si y sólo si su matriz de coeficientes tiene el mismo rango que su matriz aumentada (la matriz de coeficientes con una columna adicional agregada, siendo esa columna el vector columna de constantes).

Sistemas no lineales

Referencias

1. "Definición de ECUACIONES CONSISTENTES". www.merriam-webster.com . Consultado el 10 de junio de 2021 .
2. "Definición de ecuaciones consistentes | Dictionary.com". www.diccionario.com . Consultado el 10 de junio de 2021 .