El ejemplo de Lewy

Ecuación diferencial parcial lineal sin soluciones

En el estudio matemático de las ecuaciones diferenciales parciales , el ejemplo de Lewy es un ejemplo célebre, debido a Hans Lewy , de una ecuación diferencial parcial lineal sin soluciones. Muestra que el análogo del teorema de Cauchy-Kovalevskaya no se cumple en la categoría suave.

El ejemplo original no es explícito, ya que emplea el teorema de Hahn-Banach , pero desde entonces ha habido varios ejemplos explícitos de la misma naturaleza encontrados por Howard Jacobowitz. ^[1]

El teorema de Malgrange-Ehrenpreis establece (aproximadamente) que las ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes constantes siempre tienen al menos una solución; el ejemplo de Lewy muestra que este resultado no puede extenderse a ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes polinómicos .

El ejemplo

La declaración es la siguiente:

En , existe una función suave (es decir, ) de valor complejo tal que la ecuación diferencial ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle F(t,z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=F(t,z)}$

no admite solución en ningún conjunto abierto . Nótese que si es analítico entonces el teorema de Cauchy-Kovalevskaya implica que existe una solución. ${\displaystyle F}$

Lewy construye esto utilizando el siguiente resultado: ${\displaystyle F}$

En , supongamos que es una función que satisface, en un entorno del origen , ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u(t,z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=\varphi ^{\prime }(t)}$

para alguna función C ¹ φ . Entonces φ debe ser real-analítica en un entorno (posiblemente más pequeño) del origen.

Esto puede interpretarse como un teorema de no existencia al tomar φ como una mera función uniforme. El ejemplo de Lewy toma esta última ecuación y, en cierto sentido, traduce su imposibilidad de solución a cada punto de . El método de prueba utiliza un argumento de categoría de Baire , por lo que, en cierto sentido preciso, casi todas las ecuaciones de esta forma son irresolubles. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} }$

Mizohata (1962) descubrió más tarde que la ecuación aún más simple

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+ix{\frac {\partial u}{\partial y}}=F(x,y)}$

Dependiendo de dos variables reales x e y a veces no tiene solución. Este es casi el operador diferencial parcial más simple posible con coeficientes no constantes.

Importancia para las variedades CR

Una variedad CR viene equipada con un complejo en cadena de operadores diferenciales, formalmente similar al complejo de Dolbeault en una variedad compleja , llamado complejo . El complejo de Dolbeault admite una versión del lema de Poincaré . En el lenguaje de las haces , esto significa que el complejo de Dolbeault es exacto. El ejemplo de Lewy, sin embargo, muestra que el complejo . casi nunca es exacto. ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {\partial }}_{b}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {\partial }}_{b}}$

Notas

1. Jacobowitz, Howard (1988), Cardoso, Fernando; de Figueiredo, Djairo G.; Iório, Rafael; Lopes, Orlando (eds.), "Sistemas de ecuaciones diferenciales parciales homogéneas con pocas soluciones", Partial Differential Equations , vol. 1324, Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 127–136, doi :10.1007/bfb0100788, ISBN 978-3-540-50111-4

Referencias

• Lewy, Hans (1957), "Un ejemplo de una ecuación diferencial parcial lineal suave sin solución", Annals of Mathematics , 66 (1): 155–158, doi :10.2307/1970121, JSTOR  1970121, MR  0088629, Zbl  0078.08104.
• Mizohata, Sigeru (1962), "Soluciones nulas y soluciones no analíticas", Journal of Mathematics of Kyoto University (en francés), 1 (2): 271–302, MR  0142873, Zbl  0106.29601.
• Rosay, Jean-Pierre (2001) [1994], "Operador de Lewy y operador de Mizohata", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press