Teorema de Cauchy-Kovalevskaya

Teorema de existencia y unicidad para ciertas ecuaciones diferenciales parciales

En matemáticas , el teorema de Cauchy-Kovalevskaya (también escrito como teorema de Cauchy-Kowalevski ) es el principal teorema de existencia local y unicidad para ecuaciones diferenciales parciales analíticas asociadas con problemas de valor inicial de Cauchy . Un caso especial fue demostrado por Augustin Cauchy  (1842), y el resultado completo por Sofya Kovalevskaya  (1874).

Teorema de Cauchy-Kovalevskaya de primer orden

Este teorema trata sobre la existencia de soluciones para un sistema de m ecuaciones diferenciales en n dimensiones cuando los coeficientes son funciones analíticas . El teorema y su demostración son válidos para funciones analíticas de variables reales o complejas.

Sea K el campo de los números reales o complejos, y sea V  =  K ^m y W  =  K ⁿ . Sean A ₁ , ...,  A _{n −1} funciones analíticas definidas en algún entorno de (0, 0) en W  ×  V y que toman valores en las matrices m  ×  m , y sea b una función analítica con valores en V definidos en el mismo entorno. Entonces hay un entorno de 0 en W en el que se resuelve el problema de Cauchy cuasilineal

${\displaystyle \partial _{x_{n}}f=A_{1}(x,f)\partial _{x_{1}}f+\cdots +A_{n-1}(x,f)\partial _{x_{n-1}}f+b(x,f)}$

con condición inicial

${\displaystyle f(x)=0}$

en la hipersuperficie

${\displaystyle x_{n}=0}$

tiene una solución analítica única ƒ  :  W  →  V cerca de 0.

El ejemplo de Lewy muestra que el teorema no es más generalmente válido para todas las funciones suaves.

El teorema también puede enunciarse en espacios vectoriales abstractos (reales o complejos). Sean V y W espacios vectoriales reales o complejos de dimensión finita, con n  = dim  W . Sean A ₁ , ...,  A _{n −1} funciones analíticas con valores en End ( V ) y b una función analítica con valores en V , definidas en algún entorno de (0, 0) en W  ×  V . En este caso, se cumple el mismo resultado.

Prueba por mayorización analítica

Ambos lados de la ecuación diferencial parcial pueden expandirse como series de potencias formales y dar relaciones de recurrencia para los coeficientes de la serie de potencias formales para f que determinan de manera única los coeficientes. Los coeficientes de la serie de Taylor de los A _i y b se mayorizan en la norma matricial y vectorial mediante una función analítica racional escalar simple. El problema de Cauchy escalar correspondiente que involucra esta función en lugar de los A _i y b tiene una solución analítica local explícita. Los valores absolutos de sus coeficientes mayorizan las normas de los del problema original; por lo tanto, la solución de la serie de potencias formal debe converger donde converge la solución escalar.

Teorema de Cauchy-Kovalevskaya de orden superior

Si F y f _j son funciones analíticas cercanas a 0, entonces el problema de Cauchy no lineal

${\displaystyle \partial _{t}^{k}h=F\left(x,t,\partial _{t}^{j}\,\partial _{x}^{\alpha }h\right),{\text{ where }}j<k{\text{ and }}|\alpha |+j\leq k,}$

con condiciones iniciales

${\displaystyle \partial _{t}^{j}h(x,0)=f_{j}(x),\qquad 0\leq j<k,}$

tiene una solución analítica única cercana a 0.

Esto se desprende del problema de primer orden al considerar las derivadas de h que aparecen en el lado derecho como componentes de una función con valores vectoriales.

Ejemplo

La ecuación del calor

${\displaystyle \partial _{t}h=\partial _{x}^{2}h}$

con la condición

${\displaystyle h(0,x)={1 \over 1+x^{2}}{\text{ for }}t=0}$

tiene una solución formal única de serie de potencias (expandida alrededor de (0, 0)). Sin embargo, esta serie de potencias formal no converge para ningún valor distinto de cero de t , por lo que no hay soluciones analíticas en un entorno del origen. Esto demuestra que la condición | α | +  j  ≤  k anterior no se puede descartar. (Este ejemplo se debe a Kowalevski).

Teorema de Cauchy-Kovalevskaya-Kashiwara

Existe una amplia generalización del teorema de Cauchy-Kovalevskaya para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes analíticos, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya-Kashiwara, debido a Masaki Kashiwara  (1983). Este teorema implica una formulación cohomológica , presentada en el lenguaje de los D-módulos . La condición de existencia implica una condición de compatibilidad entre las partes no homogéneas de cada ecuación y la desaparición de un funtor derivado . ${\displaystyle Ext^{1}}$

Ejemplo

Sea . Fijemos . El sistema tiene solución si y sólo si se verifican las condiciones de compatibilidad. Para tener una solución única debemos incluir una condición inicial , donde . ${\displaystyle n\leq m}$ ${\displaystyle Y=\{x_{1}=\cdots =x_{n}\}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{i}}f=g_{i},i=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{i}}g_{j}=\partial _{x_{j}}g_{i}}$ ${\displaystyle f|_{Y}=h}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {C} \{x_{n+1},\ldots ,x_{m}\}}$

Referencias

• Cauchy, Augustin (1842), "Mémoire sur l'emploi du calcul des limites dans l'intégration des équations aux dérivées partielles", Comptes rendus , 15Reimpreso en Oeuvres completes, 1 serie, Tomo VII, páginas 17–58.
• Folland, Gerald B. (1995), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales, Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
• Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, Sr.  0717035(caso lineal)
• Kashiwara, M. (1983), Sistemas de ecuaciones microdiferenciales , Progress in Mathematics, vol. 34, Birkhäuser, ISBN 0817631380
• von Kowalevsky, Sophie (1875), "Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 80 : 1–32(En aquella época se utilizaba la ortografía alemana de su apellido).
• Nakhushev, AM (2001) [1994], "Teorema de Cauchy-Kovalevskaya", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

• PlanetaMatemática