Navier-Stokes existencia y suavidad

Problema del Premio del Milenio

"Visualización del flujo de un chorro turbulento, realizada mediante fluorescencia inducida por láser" . El chorro presenta una amplia gama de escalas de longitud, una característica importante de los flujos turbulentos.

El problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes se refiere a las propiedades matemáticas de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes , un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de un fluido en el espacio. Las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan en muchas aplicaciones prácticas. Sin embargo, la comprensión teórica de las soluciones de estas ecuaciones es incompleta. En particular, las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes suelen incluir la turbulencia , que sigue siendo uno de los mayores problemas sin resolver de la física , a pesar de su inmensa importancia en la ciencia y la ingeniería.

Nunca se han demostrado propiedades aún más básicas (y aparentemente intuitivas) de las soluciones de Navier-Stokes. Para el sistema de ecuaciones tridimensional, y dadas algunas condiciones iniciales , los matemáticos no han demostrado que siempre existan soluciones suaves ni han encontrado contraejemplos. Esto se denomina problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes .

Dado que comprender las ecuaciones de Navier-Stokes se considera el primer paso para comprender el elusivo fenómeno de la turbulencia , en mayo de 2000 el Clay Mathematics Institute convirtió este problema en uno de sus siete problemas de matemáticas del Premio del Milenio. Ofreció un premio de 1.000.000 de dólares estadounidenses a la primera persona que proporcionara una solución para un planteamiento específico del problema: ^[1]

Demuestre o dé un contraejemplo de la siguiente afirmación:

En tres dimensiones espaciales y en el tiempo, dado un campo de velocidad inicial, existe un campo de velocidad vectorial y un campo de presión escalar, que son suaves y globalmente definidos, que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de Navier-Stokes

En matemáticas, las ecuaciones de Navier-Stokes son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales para campos vectoriales abstractos de cualquier tamaño. En física e ingeniería, son un sistema de ecuaciones que modelan el movimiento de líquidos o gases no enrarecidos (en los que el camino libre medio es lo suficientemente corto como para que pueda considerarse como una media continua en lugar de una colección de partículas). utilizando la mecánica del continuo . Las ecuaciones son una declaración de la segunda ley de Newton , con las fuerzas modeladas de acuerdo con las de un fluido newtoniano viscoso , como la suma de las contribuciones de la presión, la tensión viscosa y una fuerza externa del cuerpo. Dado que el planteamiento del problema propuesto por el Clay Mathematics Institute es en tres dimensiones, para un fluido incompresible y homogéneo, a continuación sólo se considera ese caso.

Sea un campo vectorial tridimensional, la velocidad del fluido, y sea la presión del fluido. ^{[nota 1]} Las ecuaciones de Navier-Stokes son: ${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$

donde es la viscosidad cinemática , la fuerza volumétrica externa, es el operador de gradiente y es el operador laplaciano , que también se denota por o . Tenga en cuenta que esta es una ecuación vectorial, es decir, tiene tres ecuaciones escalares. Anotar las coordenadas de la velocidad y la fuerza externa. ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}}$

entonces para cada uno existe la ecuación escalar de Navier-Stokes correspondiente: ${\displaystyle i=1,2,3}$

${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}v_{j}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t).}$

Las incógnitas son la velocidad y la presión . Dado que en tres dimensiones hay tres ecuaciones y cuatro incógnitas (tres velocidades escalares y la presión), entonces se necesita una ecuación suplementaria. Esta ecuación adicional es la ecuación de continuidad para fluidos incompresibles que describe la conservación de la masa del fluido: ${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$

Debido a esta última propiedad, las soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes se buscan en el conjunto de funciones solenoidales (" libres de divergencia "). Para este flujo de un medio homogéneo, la densidad y la viscosidad son constantes.

Dado que sólo aparece su gradiente, la presión p puede eliminarse tomando la curvatura de ambos lados de las ecuaciones de Navier-Stokes. En este caso las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a las ecuaciones de vorticidad-transporte .

Las ecuaciones de Navier-Stokes no son lineales porque los términos de las ecuaciones no tienen una relación lineal simple entre sí. Esto significa que las ecuaciones no se pueden resolver utilizando técnicas lineales tradicionales y, en su lugar, se deben utilizar métodos más avanzados. La no linealidad es importante en las ecuaciones de Navier-Stokes porque permite que las ecuaciones describan una amplia gama de fenómenos de dinámica de fluidos, incluida la formación de ondas de choque y otros patrones de flujo complejos. Sin embargo, la no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes también las hace más difíciles de resolver, ya que es posible que los métodos lineales tradicionales no funcionen.

Una forma de entender la no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes es considerar el término (v · ∇)v en las ecuaciones. Este término representa la aceleración del fluido y es un producto del vector velocidad v y el operador de gradiente ∇. Debido a que el operador gradiente es un operador lineal, el término (v · ∇)v no es lineal en el vector velocidad v. Esto significa que la aceleración del fluido depende de la magnitud y dirección de la velocidad, así como de la distribución espacial de la velocidad dentro del fluido.

La naturaleza no lineal de las ecuaciones de Navier-Stokes se puede ver en el término , que representa la aceleración del fluido debido a su propia velocidad. Este término no es lineal porque involucra el producto de dos vectores de velocidad y, por lo tanto, la aceleración resultante depende de la magnitud y dirección de ambos vectores. ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

Otra fuente de no linealidad en las ecuaciones de Navier-Stokes es el término de presión . La presión en un fluido depende de la densidad y del gradiente de presión y, por tanto, este término no es lineal en la presión. Un ejemplo de la naturaleza no lineal de las ecuaciones de Navier-Stokes se puede ver en el caso de un fluido que fluye alrededor de un obstáculo circular. En este caso, la velocidad del fluido cerca del obstáculo será mayor que la velocidad del fluido más lejos del obstáculo. Esto da como resultado un gradiente de presión, con una presión más alta cerca del obstáculo y una presión más baja más lejos. ${\displaystyle -{\frac {1}{\rho }}\nabla p}$

Para ver esto más explícitamente, considere el caso de un obstáculo circular de radio colocado en un flujo uniforme con velocidad y densidad . Sea la velocidad del fluido en la posición y el tiempo , y sea la presión en la misma posición y tiempo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {v_{0}} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$

Las ecuaciones de Navier-Stokes en este caso son:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

donde es la viscosidad cinemática del fluido. ${\displaystyle \nu }$

Suponiendo que el flujo es estable (lo que significa que la velocidad y la presión no varían con el tiempo), podemos igualar a cero los términos de la derivada del tiempo:

${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

Ahora podemos considerar el flujo cerca del obstáculo circular. En esta región, la velocidad del fluido será mayor que la velocidad del flujo uniforme debido a la presencia del obstáculo. Esto da como resultado un término no lineal en las ecuaciones de Navier-Stokes que es proporcional a la velocidad del fluido. ${\displaystyle \mathbf {v_{0}} }$ ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

Al mismo tiempo, la presencia del obstáculo también dará como resultado un gradiente de presión, con una presión más alta cerca del obstáculo y una presión más baja más lejos. Esto se puede ver considerando la ecuación de continuidad, que establece que el caudal másico a través de cualquier superficie debe ser constante. Dado que la velocidad es mayor cerca del obstáculo, el caudal másico a través de una superficie cercana al obstáculo será mayor que el caudal másico a través de una superficie más alejada del obstáculo. Esto puede compensarse mediante un gradiente de presión, con una presión más alta cerca del obstáculo y una presión más baja más lejos.

Como resultado de estos efectos no lineales, las ecuaciones de Navier-Stokes en este caso se vuelven difíciles de resolver y se deben usar aproximaciones o métodos numéricos para encontrar los campos de velocidad y presión en el flujo. Considere el caso de un flujo de fluido bidimensional en un dominio rectangular, con un campo de velocidades y un campo de presión . Podemos usar un método de elementos finitos para resolver la ecuación de Navier-Stokes para el campo de velocidades: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+f_{x}(x,y,t)}$

Para hacer esto, dividimos el dominio en una serie de elementos más pequeños y representamos el campo de velocidades como:

${\displaystyle u(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}U_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

donde es el número de elementos y son las funciones de forma asociadas con cada elemento. Sustituyendo esta expresión en la ecuación de Navier-Stokes y aplicando el método de los elementos finitos, podemos derivar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi _{i}(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {dU_{i}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int {\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega }$

donde está el dominio y las integrales están sobre el dominio. Este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se puede resolver mediante técnicas como el método de los elementos finitos o los métodos espectrales. ${\displaystyle \Omega }$

Aquí usaremos el método de diferencias finitas. Para hacer esto, podemos dividir el intervalo de tiempo en una serie de pasos de tiempo más pequeños y aproximar la derivada en cada paso de tiempo usando una fórmula de diferencias finitas: ${\displaystyle [t_{0},t_{f}]}$

${\displaystyle {\frac {U_{i+1}-U_{i}}{\Delta t}}\approx -{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)j\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int {\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega }$

donde es el tamaño del paso de tiempo y y son los valores de y en el paso de tiempo . ${\displaystyle \Delta t=t_{i+1}-t_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle i}$

Usando esta aproximación, podemos iterar a través de los pasos de tiempo y calcular el valor de en cada paso de tiempo. Por ejemplo, comenzando en el paso de tiempo y usando la aproximación anterior, podemos calcular el valor de en el paso de tiempo : ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle U_{i+1}=U_{i}+\Delta t\cdot \left(-{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{j}\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int _{\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega \right)}$

Este proceso se puede repetir hasta llegar al paso de tiempo final . ${\displaystyle t_{f}}$

Existen muchos otros enfoques para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, cada uno con sus propias ventajas y desventajas. La elección del enfoque depende de la ecuación específica que se resuelve y de la precisión y eficiencia deseadas de la solución.

Dos escenarios: espacio ilimitado y periódico

Hay dos escenarios diferentes para el problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes, premiado con un millón de dólares. El problema original está en todo el espacio , lo que necesita condiciones adicionales sobre el comportamiento de crecimiento de la condición inicial y las soluciones. Para descartar los problemas en el infinito, las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden establecer en un marco periódico, lo que implica que ya no funcionan en todo el espacio sino en el toro tridimensional . Cada caso será tratado por separado. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$

Planteamiento del problema en todo el espacio.

Hipótesis y condiciones de crecimiento.

Se supone que la condición inicial es una función suave y libre de divergencia (ver función suave ) tal que, para cada índice múltiple (ver notación de índice múltiple ) y cualquiera , existe una constante tal que ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle C=C(\alpha ,K)>0}$

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad }$para todos ${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}$

Se supone que la fuerza externa también es una función suave y satisface una desigualdad muy análoga (ahora el índice múltiple también incluye derivadas del tiempo): ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x,t)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad }$para todos ${\displaystyle \qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

Para condiciones físicamente razonables, el tipo de soluciones esperadas son funciones suaves que no crecen tanto como . Más precisamente, se hacen los siguientes supuestos: ${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$

1. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )),\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}$
2. Existe una constante tal que para todos ${\displaystyle E\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}\,dx<E}$ ${\displaystyle t\geq 0\,.}$

La condición 1 implica que las funciones son suaves y están globalmente definidas y la condición 2 significa que la energía cinética de la solución está globalmente limitada.

Las conjeturas del Premio Milenio en todo el espacio

(A) Existencia y fluidez de las soluciones Navier-Stokes en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Dejar . Para cualquier condición inicial que satisfaga las hipótesis anteriores, existen soluciones suaves y globalmente definidas para las ecuaciones de Navier-Stokes, es decir, hay un vector velocidad y una presión que satisfacen las condiciones 1 y 2 anteriores. ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

(B) Desglose de las soluciones Navier-Stokes en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Existe una condición inicial y una fuerza externa tal que no existen soluciones y se satisfacen las condiciones 1 y 2 anteriores. ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

Las conjeturas del Premio Milenio son dos problemas matemáticos que fueron elegidos por el Clay Mathematics Institute como los problemas sin resolver más importantes en matemáticas. La primera conjetura, conocida como conjetura de la "suavidad", establece que siempre deberían existir soluciones suaves y globalmente definidas para las ecuaciones de Navier-Stokes en el espacio tridimensional. La segunda conjetura, conocida como conjetura de la "descomposición", establece que debería haber al menos un conjunto de condiciones iniciales y fuerzas externas para las cuales no existen soluciones suaves para las ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de fluidos. Están dados por:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

donde es el campo de velocidades del fluido, es la presión, es la densidad, es la viscosidad cinemática y es una fuerza externa. La primera ecuación se conoce como ecuación de momento y la segunda ecuación se conoce como ecuación de continuidad. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$

Estas ecuaciones suelen ir acompañadas de condiciones de contorno, que describen el comportamiento del fluido en los bordes del dominio. Por ejemplo, en el caso de un fluido que fluye a través de una tubería, las condiciones de contorno podrían especificar que la velocidad y la presión están fijadas en las paredes de la tubería.

Las ecuaciones de Navier-Stokes no son lineales y están altamente acopladas, lo que las hace difíciles de resolver en general. En particular, la dificultad de resolver estas ecuaciones radica en el término , que representa la advección no lineal del campo de velocidades por sí solo. Este término hace que las ecuaciones de Navier-Stokes sean muy sensibles a las condiciones iniciales y es la razón principal por la que las conjeturas del Premio del Milenio son tan desafiantes. ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

Además de los desafíos matemáticos que implica resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, también existen muchos desafíos prácticos al aplicar estas ecuaciones a situaciones del mundo real. Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan a menudo para modelar flujos de fluidos turbulentos, lo que significa que el fluido es muy caótico e impredecible. La turbulencia es un fenómeno difícil de modelar y comprender, y añade otra capa de complejidad al problema de resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, necesitamos encontrar un campo de velocidades y un campo de presión que satisfagan las ecuaciones y las condiciones de contorno dadas. Esto se puede hacer utilizando una variedad de técnicas numéricas, como métodos de elementos finitos, métodos espectrales o métodos de diferencias finitas. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

Por ejemplo, considere el caso de un flujo de fluido bidimensional en un dominio rectangular, con campos de velocidad y presión y un campo de presión , respectivamente. Las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden escribir como: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+f_{x}(x,y,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)+f_{y}(x,y,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}=0}$

donde es la densidad, es la viscosidad cinemática y es una fuerza externa. Las condiciones de frontera podrían especificar que la velocidad está fija en las paredes del dominio, o que la presión está fija en ciertos puntos. La última identidad se produce porque el flujo es solenoidal . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,y,t)=(f_{x}(x,y,t),f_{y}(x,y,t))}$

Para resolver numéricamente estas ecuaciones, podemos dividir el dominio en una serie de elementos más pequeños y resolver las ecuaciones localmente dentro de cada elemento. Por ejemplo, usando un método de elementos finitos, podríamos representar los campos de velocidad y presión como:

${\displaystyle u(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}U_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

${\displaystyle v(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}V_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

${\displaystyle p(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}P_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

donde es el número de elementos y son las funciones de forma asociadas con cada elemento. Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones de Navier-Stokes y aplicando el método de los elementos finitos, podemos derivar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi _{i}(x,y)}$

Declaración del problema periódico.

Hipótesis

Las funciones buscadas ahora son periódicas en las variables espaciales del período 1. Más precisamente, sea el vector unitario en la dirección i : ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1)}$

Entonces es periódica en el espacio las variables si para alguna , entonces: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$

${\displaystyle \mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t){\text{ for all }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

Observe que esto está considerando las coordenadas mod 1 . Esto permite trabajar no en todo el espacio sino en el espacio cociente , que resulta ser el toro tridimensional: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.}$

Ahora las hipótesis pueden formularse correctamente. Se supone que la condición inicial es una función suave y sin divergencia y que la fuerza externa también es una función suave. El tipo de soluciones físicamente relevantes son aquellas que cumplen estas condiciones: ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$

3. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty )),\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))}$
4. Existe una constante tal que para todos ${\displaystyle E\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}\,dx<E}$ ${\displaystyle t\geq 0\,.}$

Al igual que en el caso anterior, la condición 3 implica que las funciones son suaves y globalmente definidas y la condición 4 significa que la energía cinética de la solución está globalmente acotada.

Los teoremas periódicos del Premio del Milenio

(C) Existencia y fluidez de las soluciones Navier-Stokes en ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$

Dejar . Para cualquier condición inicial que satisfaga las hipótesis anteriores, existen soluciones suaves y globalmente definidas para las ecuaciones de Navier-Stokes, es decir, hay un vector velocidad y una presión que satisfacen las condiciones 3 y 4 anteriores. ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

(D) Desglose de las soluciones Navier-Stokes en ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$

Existe una condición inicial y una fuerza externa tal que no existen soluciones y se satisfacen las condiciones 3 y 4 anteriores. ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

Resultados parciales

1. El método de diferencias finitas demostró ser convergente para las ecuaciones de Navier-Stokes y las ecuaciones se resolvieron numéricamente en la década de 1960. Está demostrado que existen soluciones suaves y definidas globalmente para las ecuaciones de Navier-Stokes en 2 dimensiones. ^[2]
2. Si la velocidad inicial es suficientemente pequeña, entonces la afirmación es verdadera: existen soluciones suaves y definidas globalmente para las ecuaciones de Navier-Stokes. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$
3. Dada una velocidad inicial existe un tiempo finito T , dependiendo de tal que las ecuaciones de Navier-Stokes tengan soluciones suaves y . No se sabe si las soluciones existen más allá de ese "tiempo de explosión " T. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times (0,T)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$
4. Jean Leray en 1934 demostró la existencia de las llamadas soluciones débiles de las ecuaciones de Navier-Stokes, que satisfacían las ecuaciones en valor medio, no puntualmente. ^[3]
5. Terence Tao publicó en 2016 un resultado ampliado en tiempo finito para una versión promediada de la ecuación tridimensional de Navier-Stokes. Escribe que el resultado formaliza una "barrera de supercriticidad" para el problema de regularidad global de las ecuaciones verdaderas de Navier-Stokes, y afirma que el método de prueba sugiere una posible ruta para establecer una explosión de las ecuaciones verdaderas. ^[4]

En la cultura popular

Se han utilizado problemas sin resolver para indicar un talento matemático poco común en la ficción. El problema de Navier-Stokes aparece en The Mathematician's Shiva (2014), un libro sobre una prestigiosa matemática ficticia fallecida llamada Rachela Karnokovitch que se lleva la prueba a la tumba en protesta contra el mundo académico. ^{[5] [6]} La película Gifted (2017) hizo referencia a los problemas del Premio Milenio y abordó el potencial de una niña de 7 años y su madre matemática fallecida para resolver el problema de Navier-Stokes. ^[7]

Ver también

• Portal de física
• Portal de matemáticas

• Lista de problemas no resueltos en matemáticas.
• Lista de problemas no resueltos en física.

Notas

1. Más precisamente, p ( x , t ) es la presión dividida por la densidad del fluido , y la densidad es constante para este fluido incompresible y homogéneo.

Referencias

1. "Declaración oficial del problema" (PDF) . Instituto de Matemáticas Clay.
2. Ladyzhenskaya, Olga Aleksandrovna (1969). La teoría matemática de los flujos viscosos incompresibles . Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 2. Traducido del ruso por Richard A. Silverman y John Chu. (2ª ed.). Nueva York-Londres-París: Gordon y Breach, Science Publishers. SEÑOR  0254401.
3. Leray, Jean (1934). "Sobre el movimiento de un líquido viscoso que ocupa el espacio". Acta Mathematica (en francés). 63 (1): 193–248. doi : 10.1007/BF02547354 . SEÑOR  1555394.
4. Tao, Terence (2016). "Explosión de tiempo finito para una ecuación tridimensional promediada de Navier-Stokes". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 29 (3): 601–674. arXiv : 1402.0290 . doi : 10.1090/jams/838. SEÑOR  3486169. S2CID  119650746.
5. DeTurck, Dennis (octubre de 2017). "El Shiva del matemático" (PDF) . Avisos de la AMS . 64 (9): 1043–1045.
6. "MathFiction: Shiva del matemático (Stuart Rojstaczer)". kasmana.people.cofc.edu . Consultado el 11 de septiembre de 2018 .
7. Chang, Justin (6 de abril de 2017). "Chris Evans cría a un joven prodigio de las matemáticas en el inteligente pero demasiado calculador 'Gifted'". Los Ángeles Times . Consultado el 11 de septiembre de 2018 .

Otras lecturas

• Constantin, Peter (2001). "Algunos problemas abiertos y direcciones de investigación en el estudio matemático de la dinámica de fluidos". Matemáticas ilimitadas: 2001 y más allá . Berlín: Springer. págs. 353–360. doi :10.1007/978-3-642-56478-9_15. ISBN 3-642-63114-2.

enlaces externos

• Aizenman, Michael . "Navier Stokes ecuaciones de existencia y unicidad global".Contribuido por: Yakov Sinaí
• Premio de ecuación Navier-Stokes del Clay Mathematics Institute
• Por qué la regularidad global para Navier-Stokes es difícil: Terence Tao analiza las posibles rutas hacia la resolución .
• Navier-Stokes existencia y suavidad (Problema del Premio del Milenio) Una conferencia sobre el problema a cargo de Luis Caffarelli .
• "Ecuación de Navier Stokes: una pregunta del millón de dólares en mecánica de fluidos". Aleph Cero . 3 de junio de 2020. Archivado desde el original el 19 de diciembre de 2021, a través de YouTube .