Ecuación que describe la evolución de la vorticidad de una partícula de fluido a medida que fluye.
La ecuación de vorticidad de la dinámica de fluidos describe la evolución de la vorticidad ω de una partícula de un fluido a medida que se mueve con su flujo ; es decir, la rotación local del fluido (en términos de cálculo vectorial, esto es el rizo de la velocidad del flujo ). La ecuación que la rige es:
donde D/Dt es eloperador de derivada del material , u es la velocidad del flujo , ρ es la densidad del fluido local , p es la presión local , τ es el tensor de tensión viscosa y B representa la suma de las fuerzas externas del cuerpo . El primer término fuente en el lado derecho representa el estiramiento del vórtice .
La ecuación es válida en ausencia de pares concentrados y fuerzas lineales para un fluido newtoniano compresible . En el caso de un flujo incompresible (es decir, un número de Mach bajo ) y fluidos isotrópicos , con fuerzas corporales conservativas , la ecuación se simplifica a la ecuación de transporte de vorticidad :
donde ν es la viscosidad cinemática y es el operador de Laplace . Suponiendo además que el flujo es bidimensional, la ecuación se simplifica a:
Interpretación física
- El término D ω/Dt en el lado izquierdo está la derivada material del vector de vorticidad ω . Describe la tasa de cambio de la vorticidad de la partícula de fluido en movimiento. Este cambio se puede atribuir a la inestabilidad del flujo ( ∂ω/∂ , el término inestable ) o debido al movimiento de la partícula de fluido a medida que se mueve de un punto a otro ( ( u ∙ ∇) ω , el término de convección ).
- El término ( ω ∙ ∇) u en el lado derecho describe el estiramiento o inclinación de la vorticidad debido a los gradientes de velocidad del flujo. Nótese que ( ω ∙ ∇) u es una cantidad vectorial, ya que ω ∙ ∇ es un operador diferencial escalar, mientras que ∇ u es una cantidad tensorial de nueve elementos.
- El término ω (∇ ∙ u ) describe el estiramiento de la vorticidad debido a la compresibilidad del flujo. Se deduce de la ecuación de Navier-Stokes para la continuidad , es decir, donde v = 1/ρ es el volumen específico del elemento fluido. Se puede pensar en ∇ ∙ u como una medida de compresibilidad del flujo. A veces, el signo negativo se incluye en el término.
- El término 1/ρ2 ∇ ρ × ∇ p es el término baroclínico . Representa los cambios en la vorticidad debido a la intersección de las superficies de densidad y presión.
- El término ∇ × ( ∇ ∙ τ/ρ) , explica la difusión de la vorticidad debido a los efectos viscosos .
- El término ∇ × B se refiere a los cambios debidos a fuerzas externas del cuerpo. Se trata de fuerzas que se extienden sobre una región tridimensional del fluido, como la gravedad o las fuerzas electromagnéticas (a diferencia de las fuerzas que actúan solo sobre una superficie (como el arrastre sobre una pared) o una línea (como la tensión superficial alrededor de un menisco ).
Simplificaciones
Por lo tanto, para un fluido barotrópico no viscoso con fuerzas corporales conservativas, la ecuación de vorticidad se simplifica a
Alternativamente, en el caso de un fluido incompresible y no viscoso con fuerzas corporales conservadoras,
- [1]
Para una breve revisión de casos adicionales y simplificaciones, consulte también. [2] Para la ecuación de vorticidad en la teoría de la turbulencia, en el contexto de los flujos en los océanos y la atmósfera, consulte. [3]
Derivación
La ecuación de vorticidad se puede derivar de la ecuación de Navier-Stokes para la conservación del momento angular . En ausencia de pares concentrados y fuerzas lineales, se obtiene:
Ahora bien, la vorticidad se define como el rizo del vector de velocidad del flujo; tomando el rizo de la ecuación de momento se obtiene la ecuación deseada. Las siguientes identidades son útiles para la derivación de la ecuación:
¿Dónde está cualquier campo escalar?
Notación tensorial
La ecuación de vorticidad se puede expresar en notación tensorial utilizando la convención de suma de Einstein y el símbolo de Levi-Civita e ijk :
En ciencias específicas
Ciencias atmosféricas
En las ciencias atmosféricas , la ecuación de vorticidad puede enunciarse en términos de la vorticidad absoluta del aire con respecto a un sistema inercial, o de la vorticidad con respecto a la rotación de la Tierra. La versión absoluta es
Aquí, η es el componente polar ( z ) de la vorticidad, ρ es la densidad atmosférica , u , v y w son los componentes de la velocidad del viento , y ∇ h es la del bidimensional (es decir, solo el componente horizontal) .
Véase también
Referencias
- ^ Fetter, Alexander L.; Walecka, John D. (2003). Mecánica teórica de partículas y continuos (1.ª ed.). Dover Publications. pág. 351. ISBN 978-0-486-43261-8.
- ^ Burr, K. P. "Hidrodinámica marina, lección 9" (PDF) . Conferencias del MIT .
- ^ Salmon, Richard L. "Conferencias sobre dinámica de fluidos geofísicos, Capítulo 4" (PDF) . Oxford University Press; 1.ª edición (26 de febrero de 1998) .
Lectura adicional
- Manna, Utpal; Sritharan, S. S. (2007). "Funcionales de Lyapunov y disipatividad local para la ecuación de vorticidad en espacios L p y Besov". Ecuaciones diferenciales e integrales . 20 (5): 581–598. arXiv : 0802.2898 . doi :10.57262/die/1356039440. S2CID 50701138.
- Barbu, V.; Sritharan, S. S. (2000). "Cuantización M-acretiva de la ecuación de vorticidad" (PDF) . En Balakrishnan, A. V. (ed.). Semigrupos de operadores: teoría y aplicaciones . Boston: Birkhauser. págs. 296–303.
- Krigel, A. M. (1983). "Evolución de vórtices". Dinámica de fluidos geofísica y astrofísica . 24 (3): 213–223. Código Bibliográfico :1983GApFD..24..213K. doi :10.1080/03091928308209066.