Vórtice de hamburguesas

Solución de las ecuaciones de Navier-Stokes

En dinámica de fluidos , el vórtice de Burgers o vórtice de Burgers-Rott es una solución exacta a las ecuaciones de Navier-Stokes que rigen el flujo viscoso , llamado así por Jan Burgers ^[1] y Nicholas Rott. ^[2] El vórtice de Burgers describe un flujo estacionario y autosimilar . Un flujo radial hacia adentro tiende a concentrar la vorticidad en una columna estrecha alrededor del eje de simetría, mientras que un estiramiento axial hace que la vorticidad aumente. Al mismo tiempo, la difusión viscosa tiende a extender la vorticidad. El vórtice de Burgers estacionario surge cuando los tres efectos están en equilibrio.

El vórtice de Burgers, además de servir como ilustración del mecanismo de estiramiento del vórtice , puede describir dichos flujos como tornados, donde la vorticidad es proporcionada por el estiramiento del vórtice impulsado por la convección continua .

Campo de flujo

Velocidad azimutal y vorticidad de los componentes en un vórtice de Burgers ${\displaystyle z}$

El flujo del vórtice de Burgers se describe en coordenadas cilíndricas. Suponiendo simetría axial (sin dependencia), el campo de flujo asociado con el flujo de punto de estancamiento axisimétrico se considera: ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{r}=-\alpha r,}$

${\displaystyle v_{z}=2\alpha z,}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}g(r),}$

donde (velocidad de deformación) y (circulación) son constantes. El flujo satisface la ecuación de continuidad mediante las dos primeras ecuaciones anteriores. La ecuación de momento azimutal de las ecuaciones de Navier-Stokes se reduce entonces a ^[3] ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \Gamma >0}$

${\displaystyle r{\frac {d^{2}g}{dr^{2}}}+\left({\frac {\alpha r^{2}}{\nu }}-1\right){\frac {dg}{dr}}=0}$

donde es la viscosidad cinemática del fluido. La ecuación se integra con la condición de que en el infinito la solución se comporte como un vórtice potencial, pero en una posición finita, el flujo sea rotacional. La elección se asegura en el eje. La solución es ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle g(\infty )=1}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle v_{\theta }=0}$

${\displaystyle g=1-\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).}$

La ecuación de vorticidad sólo da un componente no trivial en la dirección , dado por ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu }}\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).}$

Intuitivamente, el flujo se puede entender observando los tres términos de la ecuación de vorticidad para , ${\displaystyle \omega _{z}}$

${\displaystyle -\alpha r{\frac {d\omega _{z}}{dr}}=2\alpha \omega _{z}+{\frac {\nu }{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d\omega _{z}}{dr}}\right).}$

El primer término del lado derecho de la ecuación anterior corresponde al estiramiento del vórtice que intensifica la vorticidad del núcleo del vórtice debido al componente de velocidad axial . La vorticidad intensificada intenta difundirse hacia afuera radialmente debido al segundo término del lado derecho, pero se ve impedida por la convección de vorticidad radial debido a que surge en el lado izquierdo de la ecuación anterior. El equilibrio de tres vías establece una solución estable. El vórtice de Burgers es una solución estable de las ecuaciones de Navier-Stokes. ^[4] ${\displaystyle v_{z}=2\alpha z}$ ${\displaystyle v_{r}=-\alpha r}$

Una de las propiedades importantes del vórtice de Burgers que fue demostrada por Jan Burgers es que la tasa total de disipación viscosa por unidad de longitud axial es independiente de la viscosidad, lo que indica que la disipación por el vórtice de Burgers no es cero incluso en el límite . Por esta razón, sirve como un candidato adecuado para modelar y comprender los tubos de vórtice estirados observados en flujos turbulentos. La tasa total de disipación por unidad de longitud axial es, en flujos incompresibles, simplemente igual a la enstrofia total por unidad de longitud, que está dada por ^[5] ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \nu \to 0}$

${\displaystyle \Phi =\nu \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\omega _{z}^{2}\,rdrd\theta ={\frac {\alpha \Gamma ^{2}}{4\pi }}.}$

Evolución inestable hacia el vórtice de Burgers

Se dispone de una solución exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes dependientes del tiempo para una función arbitraria . En particular, cuando es constante, el campo de vorticidad con una distribución inicial arbitraria viene dado por ^[6] ${\displaystyle \alpha =\alpha (t)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega (r,t)}$ ${\displaystyle \Omega (r)=\omega (r,0)}$

${\displaystyle \omega (r,t)={\frac {\alpha }{2\pi \nu (1-e^{-2\alpha t})}}\iint \Omega \left({\sqrt {\xi _{1}^{2}+\eta _{1}^{2}}}~\right)\exp \left[{\frac {-(x-\xi _{1}e^{-\alpha t})^{2}-(y-\eta _{1}e^{-\alpha t})^{2}}{(2\nu /\alpha )(1-e^{-2\alpha t})}}\right]\,d\xi _{1}d\eta _{1}.}$

Como , el comportamiento asintótico viene dado por ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \omega (r,t)={\frac {\alpha }{2\pi \nu }}\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)\left[\Gamma +e^{-2\alpha t}\int _{0}^{\infty }\Omega (s)\left({\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}-1\right)\left({\frac {\alpha s^{2}}{2\nu }}-1\right)2\pi s\,ds+O(e^{-4\alpha t})\right],\qquad \Gamma =\int _{0}^{\infty }\Omega (s)2\pi s\,ds}$

Por lo tanto, siempre que , una distribución de vorticidad arbitraria se aproxime al vórtice de Burgers. ^[7] Si , digamos en el caso en que la condición inicial está compuesta por dos vórtices iguales y opuestos, entonces el primer término es cero y el segundo término implica que la vorticidad decae a cero como ${\displaystyle \Gamma \neq 0}$ ${\displaystyle \Gamma =0}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty .}$

Capa de vórtice de hamburguesas

${\displaystyle y}$-componente de velocidad y -componente de vorticidad en una capa de vórtice de Burgers ${\displaystyle z}$

La capa de vórtice de Burgers o lámina de vórtice de Burgers es una capa de cizallamiento deformada, que es un análogo bidimensional del vórtice de Burgers. Esta es también una solución exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes, descritas por primera vez por Albert A. Townsend en 1951. ^[8] El campo de velocidad expresado en coordenadas cartesianas es ${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$

${\displaystyle v_{x}=-\alpha x,}$

${\displaystyle v_{z}=\alpha z,}$

${\displaystyle v_{y}=U\operatorname {erf} \left({\frac {{\sqrt {\alpha }}x}{\sqrt {2\nu }}}\right),}$

donde es la tasa de deformación y . El valor se interpreta como la fuerza de la lámina de vórtice . La ecuación de vorticidad solo da un componente no trivial en la dirección , dado por ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle v_{y}(+\infty )=U}$ ${\displaystyle v_{y}(-\infty )=-U}$ ${\displaystyle 2U}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \omega _{z}=2U{\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi \nu }}}\exp \left(-{\frac {\alpha x^{2}}{2\nu }}\right).}$

^{KN Beronov y S. Kida [9]} han demostrado que la capa de vórtices de Burgers es inestable ante pequeñas perturbaciones, por lo que sufre inicialmente inestabilidad de Kelvin-Helmholtz , seguida de segundas inestabilidades ^{[10] [11]} y posiblemente una transición a vórtices de Kerr-Dold en números de Reynolds moderadamente grandes, pero se vuelve turbulenta en números de Reynolds grandes.

Vórtices de Burgers no axisimétricos

Los vórtices de Burgers no axisimétricos surgen en flujos deformados no axisimétricos. La teoría para el vórtice de Burgers no axisimétrico para números de Reynolds de vórtice pequeños fue desarrollada por AC Robinson y Philip Saffman en 1984, ^[4] mientras que Keith Moffatt , S. Kida y K. Ohkitani desarrollaron la teoría para en 1994. ^[12] La estructura de los vórtices de Burgers no axisimétricos para valores arbitrarios del número de Reynolds de vórtice se puede discutir a través de integraciones numéricas. ^[13] El campo de velocidad toma la forma ${\displaystyle Re=\Gamma /(2\pi \nu )}$ ${\displaystyle Re\gg 1}$

${\displaystyle v_{x}=-\alpha x+u(x,y),}$

${\displaystyle v_{y}=-\beta y+v(x,y),}$

${\displaystyle v_{z}=\gamma z}$

sujeto a la condición . Sin pérdida de generalidad, se supone que y . La sección transversal del vórtice se encuentra en el plano, lo que proporciona un componente de vorticidad distinto de cero en la dirección ${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

El vórtice de Burgers axisimétrico se recupera cuando mientras que la capa del vórtice de Burgers se recupera cuando y . ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma /2}$ ${\displaystyle \alpha =\gamma }$ ${\displaystyle \beta =0}$

Vórtice de hamburguesas en superficies de estancamiento cilíndricas

P. Rajamanickam y AD Weiss resolvieron explícitamente las ecuaciones de Navier-Stokes para el vórtice de Burgers en superficies de estancamiento cilíndricas estiradas. ^[14] La solución se expresa en el sistema de coordenadas cilíndricas de la siguiente manera

${\displaystyle v_{r}=-\alpha \left(r-{\frac {r_{s}^{2}}{r}}\right),}$

${\displaystyle v_{z}=2\alpha z,}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}P\left(1+{\frac {\alpha r_{s}^{2}}{2\nu }},{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right),}$

donde es la tasa de deformación, es la ubicación radial de la superficie de estancamiento cilíndrica, es la circulación y es la función gamma regularizada . Esta solución no es otra cosa que el vórtice de Burgers en presencia de una fuente lineal con una intensidad de fuente . La ecuación de vorticidad solo da un componente no trivial en la dirección , dada por ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle r_{s}\geq 0}$ ${\displaystyle \Gamma >0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q=2\pi \alpha r_{s}^{2}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu {\tilde {\Gamma }}(1+\alpha r_{s}^{2}/2\nu )}}\left({\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)^{\alpha r_{s}^{2}/2\nu }\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)}$

donde en la expresión anterior está la función gamma . Como , la solución se reduce a la solución del vórtice de Burgers y como , la solución se convierte en la solución de la capa del vórtice de Burgers. También existe una solución explícita para el vórtice de Sullivan en una superficie de estancamiento cilíndrica. ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$ ${\displaystyle r_{s}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle r_{s}\rightarrow \infty }$

Véase también

• Vórtice de Sullivan
• Vórtice de Kerr-Dold

Referencias

1. Burgers, JM (1948). Un modelo matemático que ilustra la teoría de la turbulencia. En Advances in applied mechanics (Vol. 1, págs. 171-199). Elsevier.
2. Rott, N. (1958). Sobre el núcleo viscoso de un vórtice lineal. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik ZAMP, 9(5–6), 543–553.
3. Drazin, PG y Riley, N. (2006). Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas (n.º 334). Cambridge University Press.
4. Robinson, AC, y Saffman, PG (1984). Estabilidad y estructura de vórtices estirados. Estudios en matemáticas aplicadas, 70(2), 163–181.
5. Moffatt, HK (2011). Una breve introducción a la dinámica de vórtices y la turbulencia. En Environmental hazards: the fluid dynamics and geophysics of extreme events (Págs. 1-27).
6. Kambe, T. (1984). Solución de vórtice axisimétrico de la ecuación de Navier-Stokes. Journal of the Physical Society of Japan, 53(1), 13–15.
7. Batchelor, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos. Cambridge University Press. Página 272.
8. Townsend, AA (1951). Sobre la estructura de escala fina de la turbulencia. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas, 208(1095), 534–542.
9. Beronov, KN y Kida, S. (1996). Estabilidad lineal bidimensional de una capa de vórtice de Burgers. Física de fluidos, 8(4), 1024–1035.
10. Neu, JC (1984). La dinámica de los vórtices estirados. Journal of Fluid Mechanics, 143, 253–276.
11. Lin, SC y Corcos, GM (1984). La capa de mezcla: modelos deterministas de un flujo turbulento. Parte 3. El efecto de la deformación plana en la dinámica de los vórtices en el sentido de la corriente. Journal of Fluid Mechanics, 141, 139–178.
12. Moffatt, HK, Kida, S. y Ohkitani, K. (1994). Vórtices estirados: los nervios de la turbulencia; asintóticas de números de Reynolds grandes. Journal of Fluid Mechanics, 259, 241–264.
13. Prochazka, A., y Pullin, DI (1998). Estructura y estabilidad de vórtices de Burgers no simétricos. Journal of Fluid Mechanics, 363, 199–228.
14. Rajamanickam, P. y Weiss, AD (2021). Vórtices axisimétricos estacionarios en flujos de estancamiento radial. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 74(3), 367–378.