Flujo en punto de estancamiento

En dinámica de fluidos , un flujo de punto de estancamiento se refiere a un flujo de fluido en la vecindad de un punto de estancamiento (en flujos bidimensionales) o una línea de estancamiento (en flujos tridimensionales) con lo cual el punto/línea de estancamiento se refiere a un punto/línea donde la velocidad es cero en la aproximación no viscosa. El flujo considera específicamente una clase de puntos de estancamiento conocidos como puntos de silla en donde las líneas de corriente entrantes se desvían y se dirigen hacia afuera en una dirección diferente; las desviaciones de la línea de corriente son guiadas por separatrices. El flujo en la vecindad del punto o línea de estancamiento generalmente se puede describir utilizando la teoría del flujo potencial , aunque los efectos viscosos no se pueden descuidar si el punto de estancamiento se encuentra en una superficie sólida.

Flujo en punto de estancamiento sin superficies sólidas

Cuando dos corrientes de naturaleza bidimensional o axisimétrica chocan entre sí, se crea un plano de estancamiento, donde las corrientes entrantes se desvían tangencialmente hacia afuera; por lo tanto, en el plano de estancamiento, el componente de velocidad normal a ese plano es cero, mientras que el componente tangencial es distinto de cero. En las proximidades del punto de estancamiento, se puede describir una descripción local del campo de velocidad.

Campo de velocidad tridimensional general

El flujo del punto de estancamiento corresponde a una dependencia lineal de las coordenadas, que se puede describir en coordenadas cartesianas con componentes de velocidad de la siguiente manera ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$

${\displaystyle v_{x}=\alpha x,\quad v_{y}=\beta y,\quad v_{z}=\gamma z}$

donde son constantes (o funciones dependientes del tiempo) denominadas tasas de deformación; las tres tasas de deformación no son completamente arbitrarias ya que la ecuación de continuidad requiere , es decir, solo dos de las tres constantes son independientes. Supondremos que el flujo se dirige hacia el punto de estancamiento en la dirección y se aleja del punto de estancamiento en la dirección . Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que . El campo de flujo se puede clasificar en diferentes tipos en función de un único parámetro ^[1] ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0}$ ${\displaystyle \gamma <0\leq \alpha }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}}$

Flujo de punto de estancamiento planar

El flujo de punto de estancamiento bidimensional pertenece al caso . El campo de flujo se describe de la siguiente manera ${\displaystyle \beta =0\,(\lambda =1)}$

${\displaystyle v_{x}=kx,\quad v_{z}=-kz}$

donde dejamos . Este campo de flujo fue investigado ya en 1934 por GI Taylor . ^[2] En el laboratorio, este campo de flujo se crea utilizando un aparato de cuatro molinos, aunque estos campos de flujo son omnipresentes en flujos turbulentos. ${\displaystyle k=\alpha =-\gamma >0}$

Flujo axisimétrico en punto de estancamiento

El flujo de punto de estancamiento axisimétrico corresponde a . El campo de flujo se puede describir de manera sencilla en un sistema de coordenadas cilíndricas con componentes de velocidad de la siguiente manera ${\displaystyle \alpha =\beta \,(\lambda =0)}$ ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle (v_{r},0,v_{z})}$

${\displaystyle v_{r}=kr,\quad v_{z}=-2kz}$

donde dejamos . ${\displaystyle k=\alpha =\beta =-\gamma /2>0}$

Flujos de estancamiento radial

En los flujos de estancamiento radial, en lugar de un punto de estancamiento, tenemos un círculo de estancamiento y el plano de estancamiento se reemplaza por un cilindro de estancamiento. El flujo de estancamiento radial se describe utilizando el sistema de coordenadas cilíndricas con componentes de velocidad de la siguiente manera ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle (r,z)}$ ${\displaystyle (v_{r},v_{z})}$

${\displaystyle v_{r}=-k\left(r-{\frac {r_{s}^{2}}{r}}\right),\quad v_{z}=2kz}$

¿Dónde está la ubicación del cilindro de estancamiento? ${\displaystyle r_{s}}$

Flujo de Hiemenz

Flujo de punto de estancamiento bidimensional

El flujo debido a la presencia de una superficie sólida en un flujo de punto de estancamiento plano fue descrito por primera vez por Karl Hiemenz en 1911, ^[6] cuyos cálculos numéricos para las soluciones fueron mejorados más tarde por Leslie Howarth . ^[7] Un ejemplo familiar donde es aplicable el flujo de Hiemenz es la línea de estancamiento hacia adelante que ocurre en el flujo sobre un cilindro circular. ^{[8] [9]} ${\displaystyle z=0}$

La superficie sólida se encuentra sobre la . Según la teoría del flujo potencial, el movimiento del fluido descrito en términos de la función de corriente y los componentes de velocidad están dados por ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (v_{x},0,v_{z})}$

${\displaystyle \psi =kxz,\quad v_{x}=kx,\quad v_{z}=-kz.}$

La línea de estancamiento para este flujo es . El componente de velocidad no es cero en la superficie sólida, lo que indica que el campo de velocidad anterior no satisface la condición límite de no deslizamiento en la pared. Para encontrar los componentes de velocidad que satisfacen la condición límite de no deslizamiento, se supone la siguiente forma ${\displaystyle (x,y,z)=(0,y,0)}$ ${\displaystyle v_{x}}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta ),\quad \eta ={\frac {z}{\sqrt {\nu /k}}}}$

donde es la viscosidad cinemática y es el espesor característico donde los efectos viscosos son significativos. La existencia de un valor constante para el espesor de los efectos viscosos se debe al equilibrio competitivo entre la convección del fluido que se dirige hacia la superficie sólida y la difusión viscosa que se dirige lejos de la superficie. Por lo tanto, la vorticidad producida en la superficie sólida es capaz de difundirse solo a distancias del orden de ; situaciones análogas que se asemejan a este comportamiento ocurren en el perfil de succión asintótica y el flujo arremolinado de von Kármán . Los componentes de velocidad, presión y ecuaciones de Navier-Stokes se convierten entonces en ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\sqrt {\nu /k}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\nu /k}}}$

${\displaystyle v_{x}=kxF',\quad v_{z}=-{\sqrt {\nu k}}F,\quad {\frac {p_{o}-p}{\rho }}={\frac {1}{2}}k^{2}x^{2}+k\nu F'+{\frac {1}{2}}k\nu F^{2}}$

${\displaystyle F'''+FF''-F'^{2}+1=0}$

Los requisitos que en y que como se traducen a ${\displaystyle (v_{x},v_{z})=(0,0)}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle v_{x}\rightarrow kx}$ ${\displaystyle z\rightarrow \infty }$

${\displaystyle F(0)=0,\ F'(0)=0,F'(\infty )=1.}$

La condición para que no se puede prescribir y se obtiene como parte de la solución. El problema formulado aquí es un caso especial de capa límite de Falkner-Skan . La solución se puede obtener a partir de integraciones numéricas y se muestra en la figura. Los comportamientos asintóticos para grandes son ${\displaystyle v_{z}}$ ${\displaystyle z\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \eta \rightarrow \infty }$

${\displaystyle F\sim \eta -0.6479,\quad v_{x}\sim kx,\quad v_{z}\sim -k(z-\delta ^{*}),\quad \delta ^{*}=0.6479\delta }$

¿Dónde está el espesor de desplazamiento ? ${\displaystyle \delta ^{*}}$

Flujo en punto de estancamiento con pared traslacional

Rott (1956) resolvió el problema del flujo de Hiemenz cuando la pared sólida se traslada con una velocidad constante a lo largo de la línea . ^[10] Este problema describe el flujo en la vecindad de la línea de estancamiento hacia adelante que ocurre en un flujo sobre un cilindro giratorio. ^[11] La función de corriente requerida es ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta )+U\delta \int _{0}^{\eta }G(\eta )d\eta }$

donde la función satisface ${\displaystyle G(\eta )}$

${\displaystyle G''+FG'-F'G=0,\quad G(0)=1,\quad G(\infty )=0}$

La solución de la ecuación anterior viene dada por ${\displaystyle G(\eta )=F''(\eta )/F''(0).}$

Flujo de punto de estancamiento oblicuo

Si la corriente entrante es perpendicular a la línea de estancamiento, pero se aproxima oblicuamente, el flujo externo no es potencial, sino que tiene una vorticidad constante . La función de corriente adecuada para el flujo en el punto de estancamiento oblicuo está dada por ${\displaystyle -\zeta _{o}}$

${\displaystyle \psi =kxz+{\frac {1}{2}}\zeta _{o}z^{2}}$

Los efectos viscosos debidos a la presencia de una pared sólida fueron estudiados por Stuart (1959), ^[12] Tamada (1979) ^[13] y Dorrepaal (1986). ^[14] En su enfoque, la función de corriente toma la forma

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta )+\zeta _{o}\delta ^{2}\int _{0}^{\eta }H(\eta )d\eta }$

donde la función ${\displaystyle H(\eta )}$

${\displaystyle H''+FH'-F'H=0,\quad H(0)=0,\quad H'(\infty )=1}$.

Flujo de Homann

Flujo de Homann con inyección

Flujo Homann con succión

La solución para el flujo de punto de estancamiento axisimétrico en presencia de una pared sólida fue obtenida por primera vez por Homann (1936). ^[15] Un ejemplo típico de este flujo es el punto de estancamiento hacia adelante que aparece en un flujo que pasa por una esfera. Paul A. Libby (1974) ^[16] (1976) ^[17] amplió el trabajo de Homann al permitir que la pared sólida se trasladara a lo largo de su propio plano con una velocidad constante y permitiendo una succión o inyección constante en la superficie sólida.

La solución de este problema se obtiene en el sistema de coordenadas cilíndricas introduciendo ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle \eta ={\frac {z}{\sqrt {\nu /k}}},\quad \gamma =-{\frac {V}{2{\sqrt {k\nu }}}},\quad v_{r}=krF'(\eta )+U\cos \theta G(\eta ),\quad v_{\theta }=-U\sin \theta G(\eta ),\quad v_{z}=-2{\sqrt {k\nu }}F(\eta )}$

donde es la velocidad de traslación de la pared y es la velocidad de inyección (o succión) en la pared. El problema es axisimétrico solo cuando . La presión está dada por ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U=0}$

${\displaystyle {\frac {p-p_{o}}{\rho }}=-{\frac {1}{2}}k^{2}r^{2}-2k\nu (F^{2}+F')}$

Las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen entonces a

${\displaystyle {\begin{aligned}F'''+2FF''-F'^{2}+1&=0,\\G''+2FG'-F'G&=0\end{aligned}}}$

junto con las condiciones de contorno,

${\displaystyle F(0)=\gamma ,\quad F'(0)=0,\quad F'(\infty )=1,\quad G(0)=1,\quad G(\infty )=0.}$

Cuando se recupera el problema clásico de Homann. ${\displaystyle U=V=0}$

Contracorrientes de plano

Los chorros que emergen de una ranura crean un punto de estancamiento entre ellos según la teoría del potencial. El flujo cerca del punto de estancamiento se puede estudiar utilizando una solución autosimilar. Esta configuración se utiliza ampliamente en experimentos de combustión . El estudio inicial de los flujos de estancamiento que chocan se debe a CY Wang. ^{[18] [19]} Dejemos que dos fluidos con propiedades constantes denotadas con el sufijo que fluyen desde direcciones opuestas choquen y supongamos que los dos fluidos son inmiscibles y que la interfaz (ubicada en ) es plana. La velocidad está dada por ${\displaystyle 1({\text{top}}),\ 2({\text{bottom}})}$ ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle u_{1}=k_{1}x,\quad v_{1}=-k_{1}y,\quad u_{2}=k_{2}x,\quad v_{2}=-k_{2}y}$

donde son las tasas de deformación de los fluidos. En la interfaz, las velocidades, la tensión tangencial y la presión deben ser continuas. Introduciendo la transformación autosimilar, ${\displaystyle k_{1},\ k_{2}}$

${\displaystyle \eta _{1}={\sqrt {\frac {\nu _{1}}{k_{1}}}}y,\quad u_{1}=k_{1}xF_{1}',\quad v_{1}=-{\sqrt {\nu _{1}k_{1}}}F_{1}}$

${\displaystyle \eta _{2}={\sqrt {\frac {\nu _{2}}{k_{2}}}}y,\quad u_{2}=k_{2}xF_{2}',\quad v_{2}=-{\sqrt {\nu _{2}k_{2}}}F_{2}}$

ecuaciones de resultados,

${\displaystyle F_{1}'''+F_{1}F_{1}''-F_{1}'^{2}+1=0,\quad {\frac {p_{o1}-p_{1}}{\rho _{1}}}={\frac {1}{2}}k_{1}^{2}x^{2}+k_{1}\nu _{1}F_{1}'+{\frac {1}{2}}k_{1}\nu _{1}F_{1}^{2}}$

${\displaystyle F_{2}'''+F_{2}F_{2}''-F_{2}'^{2}+1=0,\quad {\frac {p_{o2}-p_{2}}{\rho _{2}}}={\frac {1}{2}}k_{2}^{2}x^{2}+k_{2}\nu _{2}F_{2}'+{\frac {1}{2}}k_{2}\nu _{2}F_{2}^{2}.}$

La condición de no penetración en la interfaz y la condición de flujo libre lejos del plano de estancamiento se convierten en

${\displaystyle F_{1}(0)=0,\quad F_{1}'(\infty )=1,\quad F_{2}(0)=0,\quad F_{2}'(-\infty )=1.}$

Pero las ecuaciones requieren dos condiciones de contorno más. En , las velocidades tangenciales , la tensión tangencial y la presión son continuas. Por lo tanto, ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle u_{1}=u_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\nu _{1}\partial u_{1}/\partial y=\rho _{2}\nu _{2}\partial u_{2}/\partial y}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}F_{1}'(0)&=k_{2}F_{2}'(0),\\\rho _{1}{\sqrt {\nu _{1}k_{1}^{3}}}F_{1}''(0)&=\rho _{2}{\sqrt {\nu _{2}k_{2}^{3}}}F_{2}''(0),\\p_{o1}-\rho _{1}\nu _{1}k_{1}F_{1}'(0)&=p_{o2}-\rho _{2}\nu _{2}k_{2}F_{2}'(0).\end{aligned}}}$

donde se utiliza (del problema de no viscosidad externa). Ambos no se conocen a priori , pero se derivan de las condiciones coincidentes. La tercera ecuación determina la variación de la presión externa debido al efecto de la viscosidad. Por lo tanto, solo hay dos parámetros que gobiernan el flujo, que son ${\displaystyle \rho _{1}k_{1}^{2}=\rho _{2}k_{2}^{2}}$ ${\displaystyle F_{i}'(0),F_{i}''(0)}$ ${\displaystyle p_{o1}-p_{o2}}$

${\displaystyle \Lambda ={\frac {k_{1}}{k_{2}}}=\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{1/2},\quad \Gamma ={\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}}$

Entonces las condiciones de contorno se convierten en

${\displaystyle F_{1}'(0)=\Lambda F_{2}'(0),\quad F_{1}''(0)={\sqrt {\frac {\Gamma }{\Lambda }}}F_{2}''(0)}$.

Referencias

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8. Rosenhead, Louis, editor (1963) Capas límite laminares , Clarendon Press
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11. Drazin, Philip G. y Norman Riley (2006) Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. N.º 334. Cambridge University Press
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13. Tamada, Ko. "Flujo de punto de estancamiento bidimensional que incide oblicuamente sobre una pared plana". Journal of the Physical Society of Japan 46 (1979): 310.
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