Capa límite de Falkner-Skan

Capa límite que se forma en una cuña

En dinámica de fluidos, la capa límite de Falkner-Skan (nombrada en honor a VM Falkner y Sylvia W. Skan ^{[1] ) describe la} capa límite laminar bidimensional constante que se forma en una cuña, es decir, flujos en los que la placa no es paralela al flujo. También es representativa del flujo en una placa plana con un gradiente de presión impuesto a lo largo de la longitud de la placa, una situación que se encuentra a menudo en el flujo del túnel de viento. Es una generalización de la capa límite de Blasius de placa plana en la que el gradiente de presión a lo largo de la placa es cero.

Flujo en cuña.

Ecuaciones de la capa límite de Prandtl

La base del enfoque de Falkner-Skan son las ecuaciones de capa límite de Prandtl . Ludwig Prandtl ^[2] simplificó las ecuaciones para el fluido que fluye a lo largo de una pared (cuña) dividiendo el flujo en dos áreas: una cerca de la pared dominada por la viscosidad y otra fuera de esta región de capa límite cercana a la pared donde la viscosidad puede despreciarse sin efectos significativos en la solución. Esto significa que aproximadamente la mitad de los términos en las ecuaciones de Navier-Stokes son despreciables en flujos de capa límite cercanos a la pared (excepto en una pequeña región cerca del borde delantero de la placa). Este conjunto reducido de ecuaciones se conoce como ecuaciones de capa límite de Prandtl . Para un flujo incompresible constante con viscosidad y densidad constantes, se leen:

Continuidad de masa: ${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}+{\dfrac {\partial v}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle x}$-Impulso: ${\displaystyle u{\dfrac {\partial u}{\partial x}}+v{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial x}}+{\nu }{\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

${\displaystyle y}$-Impulso: ${\displaystyle 0=-{\dfrac {\partial p}{\partial y}}}$

Aquí el sistema de coordenadas se elige con apuntando paralelo a la placa en la dirección del flujo y la coordenada apuntando hacia la corriente libre, y son los componentes de velocidad y , es la presión , es la densidad y es la viscosidad cinemática . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$

Se han encontrado varias soluciones de similitud para estas ecuaciones para varios tipos de flujo. Falkner y Skan desarrollaron la solución de similitud para el caso del flujo laminar a lo largo de una cuña en 1930. El término similitud se refiere a la propiedad de que los perfiles de velocidad en diferentes posiciones en el flujo parecen similares, aparte de los factores de escala en el espesor de la capa límite y una velocidad característica de la capa límite. Estos factores de escala reducen las ecuaciones diferenciales parciales a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias relativamente fáciles de resolver .

Ecuación de Falkner-Skan: capa límite de primer orden

Fuente: ^[3]

Falkner y Skan generalizaron la capa límite de Blasius considerando una cuña con un ángulo de desde algún campo de velocidad uniforme . La primera suposición clave de Falkner y Skan fue que el término de gradiente de presión en la ecuación de Prandtl x -momentum podría reemplazarse por la forma diferencial de la ecuación de Bernoulli en el límite alto del número de Reynolds . ^[4] Por lo tanto: ${\displaystyle \pi \beta /2}$ ${\displaystyle U_{0}}$

${\displaystyle -{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial x}}=u_{e}{\dfrac {du_{e}}{dx}}\quad .}$

Aquí está la velocidad en el borde de la capa límite y es la solución de las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) en la región exterior. ${\displaystyle u_{e}(x)}$

Después de realizar la sustitución de la ecuación de Bernoulli , Falkner y Skan señalaron que las soluciones de similitud se obtienen cuando se supone que el espesor de la capa límite y los factores de escala de velocidad son funciones de potencia simples de x . ^[5] Es decir, asumieron que el factor de escala de similitud de velocidad está dado por:

${\displaystyle u_{e}(x)=U_{0}\left({\frac {x}{L}}\right)^{m}\quad ,}$

donde es la longitud de la cuña y m es una constante adimensional. Falkner y Skan también supusieron que el factor de escala del espesor de la capa límite es proporcional a: ^{[6] : 164} ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \delta (x)\;=\;{\sqrt {\frac {2\nu L}{U_{0}(m+1)}}}\left({\frac {x}{L}}\right)^{(1+m)/2}\quad .}$

Perfiles de capa límite de Falkner-Skan para valores seleccionados de . ${\displaystyle m}$

La conservación de la masa se garantiza automáticamente cuando las ecuaciones de la capa límite de momento de Prandtl se resuelven utilizando un enfoque de función de corriente. La función de corriente, en términos de los factores de escala, se da por: ^{[7] : 543}

${\displaystyle \psi (x,y)\;=\;u_{e}(x)\delta (x)f(\eta )\quad ,}$

donde y las velocidades vienen dadas por: ${\displaystyle \eta ={y}/{\delta (x)}}$

${\displaystyle u(x,y)\;=\;{\frac {\partial \psi (x,y)}{\partial y}},\quad {\rm {and}}\quad v(x,y)\;=\;-{\frac {\partial \psi (x,y)}{\partial x}}\quad .}$

Esto significa

${\displaystyle \psi (x,y)\;=\;{\sqrt {\frac {2\nu U_{0}L}{m+1}}}\left({\frac {x}{L}}\right)^{(m+1)/2}f(\eta )\quad .}$

La ecuación de momento x de Prandtl no dimensionalizada que utiliza los factores de escala de longitud y velocidad de similitud junto con las velocidades basadas en la función de corriente da como resultado una ecuación conocida como ecuación de Falkner-Skan y se da por:

${\displaystyle f'''+ff''+\beta \left[1-(f')^{2}\right]=0\quad ,}$

donde cada guión representa la diferenciación con respecto a (nótese que a veces se utiliza otra ecuación equivalente con una diferente que involucra a an . Esto cambia f y sus derivadas pero finalmente da como resultado las mismas soluciones extraídas y extraídas ). Esta ecuación se puede resolver con certeza como una EDO con condiciones de contorno: ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(0)=f'(0)=0,\quad f'(\infty )=1.}$

El ángulo de cuña, después de cierta manipulación, viene dado por:

${\displaystyle \beta ={\frac {2m}{m+1}}\quad .}$

El caso corresponde a la solución de capa límite de Blasius . Cuando , el problema se reduce al flujo de Hiemenz . Aquí, m  < 0 corresponde a un gradiente de presión adverso (que a menudo resulta en la separación de la capa límite ) mientras que m  > 0 representa un gradiente de presión favorable. En 1937, Douglas Hartree demostró que las soluciones físicas a la ecuación de Falkner-Skan existen solo en el rango . Para valores más negativos de m , es decir, para gradientes de presión adversos más fuertes, todas las soluciones que satisfacen las condiciones de contorno en η  = 0 tienen la propiedad de que f ( η ) > 1 para un rango de valores de η . Esto es físicamente inaceptable porque implica que la velocidad en la capa límite es mayor que en el flujo principal. ^[8] Se pueden encontrar más detalles en Wilcox (2007). ${\displaystyle m=\beta =0}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle -0.090429\leq m\leq 2\ (-0.198838\leq \beta \leq 4/3)}$

Con la solución para f y sus derivadas en la mano, las velocidades de Falkner y Skan se convierten en: ^{[9] : 164}

${\displaystyle u(x,y)=u_{e}(x)f'\quad ,}$

y

${\displaystyle v(x,y)=-{\sqrt {{\frac {(m+1)\nu U_{0}}{2L}}\left({\frac {x}{L}}\right)^{m-1}}}\left(f+{\frac {m-1}{m+1}}\eta f'\right)\quad .}$

La ecuación de momento de Prandtl se puede reorganizar para obtener el gradiente de presión, / , (esta es la fórmula ^[10] apropiada para el caso =1 y =2m/(m+1)) como ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\partial p}}$ ${\displaystyle {\partial y}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{u_{e}^{2}\delta _{1}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\;=\;-{\frac {1}{4}}(m+1)(3m-1)f''+{\frac {1}{4}}(m+1)(1-m)\eta f'''-{\frac {1}{4}}(m+1)^{2}ff'+{\frac {1}{4}}(m-1)^{2}\eta f'^{2}-{\frac {1}{4}}(m+1)(m-1)\eta ff''\quad \quad ,}$

donde el espesor de desplazamiento, , para el perfil de Falkner-Skan viene dado por: ${\displaystyle \delta _{1}}$

${\displaystyle \delta _{1}(x)=\left({\frac {2}{m+1}}\right)^{1/2}\left({\frac {\nu x}{U}}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }(1-f')d\eta }$

y la tensión cortante que actúa en la cuña está dada por

${\displaystyle \tau _{w}(x)=\mu \left({\frac {m+1}{2}}\right)^{1/2}\left({\frac {U^{3}}{\nu x}}\right)^{1/2}f''(0)}$

Capa límite compresible de Falkner-Skan

Fuente: ^[11]

Aquí se estudia la capa límite de Falkner-Skan con una entalpía específica especificada en la pared. La densidad , la viscosidad y la conductividad térmica ya no son constantes aquí. En la aproximación de bajo número de Mach , la ecuación para la conservación de la masa, el momento y la energía se convierte en ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial y}}&=0,\\\left(u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right),\\\rho \left(u{\frac {\partial h}{\partial x}}+v{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\mu }{Pr}}{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)\end{aligned}}}$

donde es el número de Prandtl con sufijo que representa propiedades evaluadas en el infinito. Las condiciones de contorno se convierten en ${\displaystyle Pr=c_{p_{\infty }}\mu _{\infty }/\kappa _{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle u=v=h-h_{w}(x)=0\ {\text{for}}\ y=0}$,

${\displaystyle u-U=h-h_{\infty }=0\ {\text{for}}\ y=\infty \ {\text{or}}\ x=0}$.

A diferencia de la capa límite incompresible, la solución de similitud solo puede existir si la transformación

${\displaystyle x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}},\quad h\rightarrow h,\quad \rho \rightarrow \rho ,\quad \mu \rightarrow \mu }$

se cumple y esto sólo es posible si . ${\displaystyle h_{w}={\text{constant}}}$

Transformación de Howarth

Introducción de variables autosimilares mediante la transformación de Howarth-Dorodnitsyn

${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {U_{o}(m+1)}{2\nu _{\infty }L^{m}}}}x^{\frac {m-1}{2}}\int _{0}^{y}{\frac {\rho }{\rho _{\infty }}}dy,\quad \psi ={\sqrt {\frac {2U_{o}\nu _{\infty }}{(m+1)L^{m}}}}x^{\frac {m+1}{2}}f(\eta ),\quad {\tilde {h}}(\eta )={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {\rho }}={\frac {\rho }{\rho _{\infty }}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}}}$

Las ecuaciones se reducen a

${\displaystyle {\begin{aligned}({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f'')'+ff''+\beta [{\tilde {h}}-(f')^{2}]=0,\\({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}{\tilde {h}}')'+Prf{\tilde {h}}'=0\end{aligned}}}$

La ecuación se puede resolver una vez que se especifican las condiciones de contorno. ${\displaystyle {\tilde {\rho }}={\tilde {\rho }}({\tilde {h}}),\ {\tilde {\mu }}={\tilde {\mu }}({\tilde {h}})}$

${\displaystyle f(0)=f'(0)=\theta (0)-{\tilde {h}}_{w}=f'(\infty )-1={\tilde {h}}(\infty )-1=0.}$

Las expresiones que se usan comúnmente para el aire son . Si es constante, entonces . ${\displaystyle \gamma =1.4,\ Pr=0.7,\ {\tilde {\rho }}={\tilde {h}}^{-1},\ {\tilde {\mu }}={\tilde {h}}^{2/3}}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {\theta }}=T/T_{\infty }}$

Véase también

• Capa límite de Blasius

Referencias

1. Falkner, VM y Skan, SW, (1930). Aero. Res. Coun. Rep. y Mem. n.º 1314.
2. Prandtl, L. (1904). "Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung". Verhandlinger 3. Int. Matemáticas. Kongr. Heidelberg : 484–491.
3. Rosenhead, Louis, ed. Capas límite laminares. Clarendon Press, 1963.
4. Falkner, VM y Skan, SW, (1930).
5. Falkner, VM y Skan, SW, (1930).
6. Schlichting, H., (1979). Teoría de la capa límite , 7.ª ed., McGraw-Hill, Nueva York.
7. Panton, R., (2013). Flujo incompresible , 4.ª ed., John Wiley, Nueva Jersey.
8. Stewartson, K. (3 de diciembre de 1953). «Further Solutions of the Falkner-Skan Equation» (PDF) . Transacciones matemáticas de la Cambridge Philosophical Society . 50 (3): 454–465. doi :10.1017/S030500410002956X. S2CID  120914473. Consultado el 2 de marzo de 2017 .
9. Schlichting, H., (1979). Teoría de la capa límite , 7.ª ed., McGraw-Hill, Nueva York.
10. Weyburne, D. (febrero de 2022). Aspectos de la teoría de la capa límite. pág. 46. ISBN 978-0-578-98334-9. Consultado el 4 de mayo de 2022 .
11. Lagerstrom, Paco Axel. Teoría del flujo laminar. Princeton University Press, 1996.