Capa límite

Capa de fluido en las inmediaciones de una superficie delimitadora.

La capa límite alrededor de una mano humana, fotografía schlieren . La capa límite es el borde verde brillante, más visible en el dorso de la mano (haga clic para ver la imagen de alta resolución).

En física y mecánica de fluidos , una capa límite es la capa delgada de fluido en las inmediaciones de una superficie delimitadora formada por el fluido que fluye a lo largo de la superficie. La interacción del fluido con la pared induce una condición de contorno antideslizante (velocidad cero en la pared). Luego, la velocidad del flujo aumenta monótonamente por encima de la superficie hasta que regresa a la velocidad del flujo total. La capa delgada que consiste en un fluido cuya velocidad aún no ha regresado a la velocidad del flujo total se llama capa límite de velocidad.

El aire al lado de un ser humano se calienta, lo que da como resultado un flujo de aire convectivo inducido por la gravedad, lo que da como resultado una capa límite térmica y de velocidad. Una brisa altera la capa límite y el cabello y la ropa la protegen, haciendo que el ser humano se sienta más fresco o más cálido. En el ala de un avión , la capa límite de velocidad es la parte del flujo cercana al ala, donde las fuerzas viscosas distorsionan el flujo no viscoso circundante. En la atmósfera terrestre , la capa límite atmosférica es la capa de aire (~ 1 km) cerca del suelo. Se ve afectado por la superficie; Flujos de calor día-noche causados ​​por el sol que calienta el suelo, la humedad o la transferencia de impulso hacia o desde la superficie.

Tipos de capas límite

Visualización de la capa límite, que muestra la transición de una condición laminar a una turbulenta.

Las capas límite laminares se pueden clasificar en términos generales según su estructura y las circunstancias bajo las cuales se crean. La delgada capa de corte que se desarrolla sobre un cuerpo oscilante es un ejemplo de capa límite de Stokes , mientras que la capa límite de Blasius se refiere a la conocida solución de similitud cerca de una placa plana adjunta sostenida en un flujo unidireccional que se aproxima y la capa límite de Falkner-Skan . una generalización del perfil de Blasius. Cuando un fluido gira y las fuerzas viscosas se equilibran mediante el efecto Coriolis (en lugar de la inercia convectiva), se forma una capa de Ekman . En la teoría de la transferencia de calor se produce una capa límite térmica. Una superficie puede tener varios tipos de capa límite simultáneamente.

La naturaleza viscosa del flujo de aire reduce las velocidades locales en una superficie y es responsable de la fricción de la piel. La capa de aire sobre la superficie del ala que se ralentiza o detiene por la viscosidad es la capa límite. Hay dos tipos diferentes de flujo en la capa límite: laminar y turbulento. ^[1]

Flujo de capa límite laminar

El límite laminar es un flujo muy suave, mientras que la capa límite turbulenta contiene remolinos o "remolinos". El flujo laminar crea menos fricción superficial que el flujo turbulento, pero es menos estable. El flujo de la capa límite sobre la superficie de un ala comienza como un flujo laminar suave. A medida que el flujo regresa desde el borde de ataque, la capa límite laminar aumenta de espesor.

Flujo turbulento de la capa límite

A cierta distancia del borde de ataque, el flujo laminar suave se rompe y pasa a un flujo turbulento. Desde el punto de vista de la resistencia, es aconsejable tener la transición de flujo laminar a turbulento lo más atrás posible en el ala, o tener una gran cantidad de superficie del ala dentro de la porción laminar de la capa límite. El flujo laminar de baja energía, sin embargo, tiende a descomponerse más repentinamente que la capa turbulenta.

El concepto de capa límite de Prandtl

Luis Prandtl

Perfil de velocidad de la capa límite laminar

La hipótesis de la capa límite aerodinámica fue formulada por primera vez por Ludwig Prandtl en un artículo presentado el 12 de agosto de 1904 en el tercer Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg, Alemania . Simplifica las ecuaciones del flujo de fluidos al dividir el campo de flujo en dos áreas: una dentro de la capa límite, dominada por la viscosidad y que crea la mayor parte de la resistencia experimentada por el cuerpo límite; y uno fuera de la capa límite, donde la viscosidad puede despreciarse sin efectos significativos sobre la solución. Esto permite una solución de forma cerrada para el flujo en ambas áreas al realizar simplificaciones significativas de las ecuaciones completas de Navier-Stokes . La misma hipótesis es aplicable a otros fluidos (además del aire) con una viscosidad de moderada a baja, como el agua. Para el caso en el que existe una diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido a granel, se encuentra que la mayor parte de la transferencia de calor hacia y desde un cuerpo tiene lugar en las proximidades de la capa límite de velocidad. Esto nuevamente permite simplificar las ecuaciones en el campo de flujo fuera de la capa límite. La distribución de presión a lo largo de la capa límite en la dirección normal a la superficie (como un perfil aerodinámico ) permanece relativamente constante en toda la capa límite y es la misma que en la superficie misma.

El espesor de la capa límite de velocidad normalmente se define como la distancia desde el cuerpo sólido hasta el punto en el que la velocidad del flujo viscoso es el 99% de la velocidad de la corriente libre (la velocidad superficial de un flujo no viscoso). ^[2] El espesor de desplazamiento es una definición alternativa que establece que la capa límite representa un déficit en el flujo másico en comparación con el flujo no viscoso con deslizamiento en la pared. Es la distancia que tendría que desplazarse la pared en el caso no viscoso para dar el mismo flujo másico total que en el caso viscoso. La condición de no deslizamiento requiere que la velocidad del flujo en la superficie de un objeto sólido sea cero y que la temperatura del fluido sea igual a la temperatura de la superficie. La velocidad del flujo aumentará rápidamente dentro de la capa límite, gobernada por las ecuaciones de la capa límite que se detallan a continuación.

El espesor de la capa límite térmica es igualmente la distancia desde el cuerpo a la que la temperatura es el 99% de la temperatura de la corriente libre. La relación entre los dos espesores se rige por el número de Prandtl . Si el número de Prandtl es 1, las dos capas límite tienen el mismo espesor. Si el número de Prandtl es mayor que 1, la capa límite térmica es más delgada que la capa límite de velocidad. Si el número de Prandtl es menor que 1, como es el caso del aire en condiciones estándar, la capa límite térmica es más gruesa que la capa límite de velocidad.

En diseños de alto rendimiento, como planeadores y aviones comerciales, se presta mucha atención al control del comportamiento de la capa límite para minimizar la resistencia. Hay que considerar dos efectos. Primero, la capa límite aumenta el espesor efectivo del cuerpo, a través del espesor de desplazamiento , aumentando así la resistencia a la presión. En segundo lugar, las fuerzas de corte en la superficie del ala crean una fricción superficial .

Con números de Reynolds elevados , típicos de aviones de tamaño completo, es deseable tener una capa límite laminar . Esto da como resultado una menor fricción cutánea debido al perfil de velocidad característico del flujo laminar. Sin embargo, la capa límite inevitablemente se espesa y se vuelve menos estable a medida que el flujo se desarrolla a lo largo del cuerpo, y eventualmente se vuelve turbulenta , proceso conocido como transición de la capa límite . Una forma de solucionar este problema es aspirar la capa límite a través de una superficie porosa (ver Succión de la capa límite ). Esto puede reducir la resistencia, pero normalmente no es práctico debido a su complejidad mecánica y la potencia necesaria para mover el aire y eliminarlo. Las técnicas de flujo laminar natural (FLN) empujan la transición de la capa límite hacia atrás remodelando el perfil aerodinámico o el fuselaje para que su punto más grueso esté más hacia atrás y menos grueso. Esto reduce las velocidades en la parte delantera y se consigue el mismo número de Reynolds con una longitud mayor.

Con números de Reynolds más bajos , como los que se observan en los modelos de aviones, es relativamente fácil mantener el flujo laminar. Esto proporciona una baja fricción con la piel, lo cual es deseable. Sin embargo, el mismo perfil de velocidad que le da a la capa límite laminar su baja fricción superficial también hace que se vea gravemente afectada por gradientes de presión adversos . A medida que la presión comienza a recuperarse sobre la parte trasera de la cuerda del ala, una capa límite laminar tenderá a separarse de la superficie. Tal separación del flujo provoca un gran aumento en la resistencia a la presión , ya que aumenta en gran medida el tamaño efectivo de la sección del ala. En estos casos, puede resultar ventajoso provocar deliberadamente que la capa límite entre en turbulencia en un punto anterior al lugar de la separación laminar, utilizando un turbulador . El perfil de velocidad más completo de la capa límite turbulenta le permite mantener el gradiente de presión adverso sin separarse. Por tanto, aunque aumenta la fricción de la piel, disminuye la resistencia general. Este es el principio detrás de los hoyuelos en las pelotas de golf, así como de los generadores de vórtices en los aviones. También se han diseñado secciones de ala especiales que adaptan la recuperación de presión de modo que la separación laminar se reduzca o incluso se elimine. Esto representa un compromiso óptimo entre la resistencia a la presión de la separación del flujo y la fricción superficial de la turbulencia inducida.

Cuando se utilizan semimodelos en túneles de viento, a veces se utiliza un peniche para reducir o eliminar el efecto de la capa límite.

Ecuaciones de la capa límite

La deducción de las ecuaciones de la capa límite fue uno de los avances más importantes en dinámica de fluidos. Utilizando un análisis de orden de magnitud , las conocidas ecuaciones que rigen el flujo de fluidos viscosos de Navier-Stokes se pueden simplificar enormemente dentro de la capa límite. En particular, la característica de las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) se vuelve parabólica, en lugar de la forma elíptica de las ecuaciones completas de Navier-Stokes. Esto simplifica enormemente la solución de las ecuaciones. Al realizar la aproximación de la capa límite, el flujo se divide en una porción no viscosa (que es fácil de resolver mediante varios métodos) y la capa límite, que se rige por una PDE más fácil de resolver . Las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes para un flujo bidimensional estable e incompresible en coordenadas cartesianas vienen dadas por

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)}$

${\displaystyle u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon {\partial \upsilon \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}\upsilon \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\upsilon \over \partial y^{2}}\right)}$

donde y son las componentes de la velocidad, es la densidad, es la presión y es la viscosidad cinemática del fluido en un punto. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \upsilon }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu }$

La aproximación establece que, para un número de Reynolds suficientemente alto , el flujo sobre una superficie se puede dividir en una región exterior de flujo no viscoso que no se ve afectada por la viscosidad (la mayor parte del flujo) y una región cercana a la superficie donde la viscosidad es importante (la capa límite). Sean y velocidades en el sentido de la corriente y transversales (normales a la pared), respectivamente, dentro de la capa límite. Utilizando el análisis de escala , se puede demostrar que las ecuaciones de movimiento anteriores se reducen dentro de la capa límite para convertirse en ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \upsilon }$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0}$

y si el fluido es incompresible (como lo son los líquidos en condiciones estándar):

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

El análisis del orden de magnitud supone que la escala de longitud a lo largo de la corriente es significativamente mayor que la escala de longitud transversal dentro de la capa límite. De ello se deduce que las variaciones en las propiedades en la dirección de la corriente son generalmente mucho menores que las de la dirección normal a la pared. Aplicar esto a la ecuación de continuidad muestra que , la velocidad normal de la pared, es pequeña en comparación con la velocidad en el sentido de la corriente. ${\displaystyle \upsilon }$ ${\displaystyle u}$

Dado que la presión estática es independiente de , entonces la presión en el borde de la capa límite es la presión a lo largo de la capa límite en una posición determinada en el sentido de la corriente. La presión externa se puede obtener mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli . Sea la velocidad del fluido fuera de la capa límite, donde y son ambos paralelos. Esto da al sustituir el siguiente resultado. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=U{\frac {dU}{dx}}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Para un flujo en el que la presión estática tampoco cambia en la dirección del flujo ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=0}$

por lo que permanece constante. ${\displaystyle U}$

Por lo tanto, la ecuación de movimiento se simplifica para convertirse en

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Estas aproximaciones se utilizan en una variedad de problemas prácticos de flujo de interés científico y de ingeniería. El análisis anterior es para cualquier capa límite laminar o turbulenta instantánea , pero se utiliza principalmente en estudios de flujo laminar ya que el flujo medio es también el flujo instantáneo porque no hay fluctuaciones de velocidad presentes. Esta ecuación simplificada es una PDE parabólica y se puede resolver utilizando una solución de similitud a menudo denominada capa límite de Blasius .

Teorema de transposición de Prandtl

Prandtl observó que a partir de cualquier solución que satisfaga las ecuaciones de la capa límite, se puede construir una solución adicional, que también satisfaga las ecuaciones de la capa límite, escribiendo ^[3] ${\displaystyle u(x,y,t),\ v(x,y,t)}$ ${\displaystyle u^{*}(x,y,t),\ v^{*}(x,y,t)}$

${\displaystyle u^{*}(x,y,t)=u(x,y+f(x),t),\quad v^{*}(x,y,t)=v(x,y+f(x),t)-f'(x)u(x,y+f(x),t)}$

donde es arbitrario. Dado que la solución no es única desde una perspectiva matemática, ^[4] a la solución se le puede agregar cualquiera de un conjunto infinito de funciones propias como lo muestran Stewartson ^[5] y Paul A. Libby . ^{[6] [7]} ${\displaystyle f(x)}$

Integral de momento de von Kármán

Von Kármán derivó la ecuación integral integrando la ecuación de la capa límite a través de la capa límite en 1921. ^[8] La ecuación es

${\displaystyle {\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}={\frac {1}{U^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(U\delta _{1})+{\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {2\delta _{2}+\delta _{1}}{U}}{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}}$

dónde

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0},\quad v_{w}=v(x,0,t),\quad \delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy,\quad \delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \tau _{w}}$es el esfuerzo cortante de la pared, es la velocidad de succión/inyección en la pared, es el espesor del desplazamiento y es el espesor del momento. La aproximación de Kármán-Pohlhausen se deriva de esta ecuación. ${\displaystyle v_{w}}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$

Integral de energía

La integral de energía fue deducida por Wieghardt. ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}={\frac {1}{U}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\delta _{1}+\delta _{2})+{\frac {2\delta _{2}}{U^{2}}}{\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {1}{U^{3}}}{\frac {\partial }{\partial x}}(U^{3}\delta _{3})+{\frac {v_{w}}{U}}}$

dónde

${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{\infty }\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}dy,\quad \delta _{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u^{2}}{U^{2}}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \varepsilon }$es la tasa de disipación de energía debido a la viscosidad a través de la capa límite y es el espesor de energía. ^[11] ${\displaystyle \delta _{3}}$

Transformación de von Mises

Para capas límite bidimensionales estables, von Mises ^[12] introdujo una transformación que toma y ( función de flujo ) como variables independientes en lugar de y y usa una variable dependiente en lugar de . La ecuación de la capa límite se convierte entonces en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \chi =U^{2}-u^{2}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial \chi }{\partial x}}=\nu {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial \psi ^{2}}}}$

Las variables originales se recuperan de

${\displaystyle y=\int {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,d\psi ,\quad u={\sqrt {U^{2}-\chi }},\quad v=u\int {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{u}}\right)\,d\psi .}$

Esta transformación se extiende posteriormente a la capa límite compresible por von Kármán y HS Tsien . ^[13]

La transformación de Crocco

Para una capa límite compresible bidimensional estable, Luigi Crocco ^[14] introdujo una transformación que toma y como variables independientes en lugar de y y utiliza una variable dependiente (esfuerzo cortante) en lugar de . La ecuación de la capa límite entonces se convierte en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \tau =\mu \partial u/\partial y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu \rho u{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}-\mu {\frac {dp}{dx}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)=0,\\[5pt]&{\text{if }}{\frac {dp}{dx}}=0,{\text{ then }}{\frac {\mu \rho }{\tau ^{2}}}{\frac {\partial \tau }{\partial x}}={\frac {1}{u}}{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}.\end{aligned}}}$

La coordenada original se recupera de

${\displaystyle y=\mu \int {\frac {du}{\tau }}.}$

Capas límite turbulentas

El tratamiento de capas límite turbulentas es mucho más difícil debido a la variación de las propiedades del flujo en función del tiempo. Una de las técnicas más utilizadas en la que se abordan flujos turbulentos es aplicar la descomposición de Reynolds . Aquí las propiedades del flujo instantáneo se descomponen en un componente medio y fluctuante con el supuesto de que la media del componente fluctuante es siempre cero. La aplicación de esta técnica a las ecuaciones de la capa límite proporciona las ecuaciones completas de la capa límite turbulenta que no suelen aparecer en la literatura:

${\displaystyle {\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})}$

Utilizando un análisis de orden de magnitud similar, las ecuaciones anteriores se pueden reducir a términos de orden principal. Al elegir escalas de longitud para cambios en la dirección transversal y para cambios en la dirección de la corriente, con , la ecuación del momento x se simplifica a: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta <<L}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

Esta ecuación no satisface la condición de no deslizamiento en la pared. Como hizo Prandtl con sus ecuaciones de capa límite, se debe utilizar una nueva escala de longitud más pequeña para permitir que el término viscoso se convierta en el orden principal en la ecuación de momento. Al elegir como escala y , la ecuación de impulso de orden principal para esta "capa límite interna" viene dada por: ${\displaystyle \eta <<\delta }$

${\displaystyle 0=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

En el límite del número de Reynolds infinito, se puede demostrar que el término del gradiente de presión no tiene ningún efecto en la región interna de la capa límite turbulenta. La nueva "escala de longitud interior" es una escala de longitud viscosa y tiene el orden de ser la escala de velocidad de las fluctuaciones turbulentas, en este caso una velocidad de fricción . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\frac {\nu }{u_{*}}}}$ ${\displaystyle u_{*}}$

A diferencia de las ecuaciones de la capa límite laminar, la presencia de dos regímenes regidos por diferentes conjuntos de escalas de flujo (es decir, la escala interna y externa) ha hecho que encontrar una solución de similitud universal para la capa límite turbulenta sea difícil y controvertido. Para encontrar una solución de similitud que abarque ambas regiones del flujo, es necesario hacer coincidir asintóticamente las soluciones de ambas regiones del flujo. Tal análisis producirá la llamada ley logarítmica o la ley potencial .

También se han aplicado enfoques similares al análisis anterior para las capas límite térmicas, utilizando la ecuación de energía en flujos compresibles. ^{[15] [16]}

El término adicional en las ecuaciones de la capa límite turbulenta se conoce como esfuerzo cortante de Reynolds y se desconoce a priori . Por lo tanto, la solución de las ecuaciones de la capa límite turbulenta requiere el uso de un modelo de turbulencia , cuyo objetivo es expresar la tensión cortante de Reynolds en términos de variables o derivadas de flujo conocidas. La falta de precisión y generalidad de tales modelos es un obstáculo importante en la predicción exitosa de las propiedades del flujo turbulento en la dinámica de fluidos moderna. ${\displaystyle {\overline {u'v'}}}$

Existe una capa de tensión constante en la región cercana a la pared. Debido a la amortiguación de las fluctuaciones de velocidad vertical cerca de la pared, el término de tensión de Reynolds se volverá insignificante y encontramos que existe un perfil de velocidad lineal. Esto sólo es cierto para la región más cercana a la pared .

Transferencia de calor y masa.

En 1928, el ingeniero francés André Lévêque observó que la transferencia de calor por convección en un fluido en movimiento se ve afectada únicamente por los valores de velocidad muy cercanos a la superficie. ^{[17] [18]} Para flujos de gran número de Prandtl, la transición temperatura/masa desde la temperatura de la superficie a la temperatura de la corriente libre tiene lugar a través de una región muy delgada cerca de la superficie. Por lo tanto, las velocidades de los fluidos más importantes son aquellas dentro de esta región muy delgada en la que el cambio de velocidad puede considerarse lineal con la distancia normal desde la superficie. De esta manera, para

${\displaystyle u(y)=U\left[1-{\frac {(y-h)^{2}}{h^{2}}}\right]=U{\frac {y}{h}}\left[2-{\frac {y}{h}}\right]\;,}$

Cuando entonces ${\displaystyle y\rightarrow 0}$

${\displaystyle u(y)\approx 2U{\frac {y}{h}}=\theta y,}$

donde θ es la tangente de la parábola de Poiseuille que corta la pared. Aunque la solución de Lévêque era específica de la transferencia de calor en un flujo de Poiseuille, su conocimiento ayudó a llevar a otros científicos a una solución exacta del problema de la capa límite térmica. ^[19] Schuh observó que en una capa límite, u es nuevamente una función lineal de y , pero que en este caso, la tangente a la pared es una función de x . ^[20] Lo expresó con una versión modificada del perfil de Lévêque,

${\displaystyle u(y)=\theta (x)y.}$

Esto da como resultado una muy buena aproximación, incluso para números bajos, de modo que sólo los metales líquidos con un valor mucho menor que 1 no pueden tratarse de esta manera. ^[19] En 1962, Kestin y Persen publicaron un artículo que describe soluciones para la transferencia de calor cuando la capa límite térmica está contenida completamente dentro de la capa de momento y para varias distribuciones de temperatura de la pared. ^[21] Para el problema de una placa plana con un salto de temperatura en , proponen una sustitución que reduce la ecuación parabólica de la capa límite térmica a una ecuación diferencial ordinaria. La solución de esta ecuación, la temperatura en cualquier punto del fluido, se puede expresar como una función gamma incompleta . ^[18] Schlichting propuso una sustitución equivalente que reduce la ecuación de la capa límite térmica a una ecuación diferencial ordinaria cuya solución es la misma función gamma incompleta. ^[22] ${\displaystyle Pr}$ ${\displaystyle Pr}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$

Constantes de transferencia convectiva del análisis de la capa límite.

Paul Richard Heinrich Blasius derivó una solución exacta a las ecuaciones de la capa límite laminar anteriores . ^[23] El espesor de la capa límite es función del número de Reynolds para el flujo laminar. ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta \approx 5.0{x \over {\sqrt {Re}}}}$

${\displaystyle \delta }$= el espesor de la capa límite: la región de flujo donde la velocidad es inferior al 99% de la velocidad del campo lejano ; es la posición a lo largo de la placa semiinfinita y es el número de Reynolds dado por ( densidad y viscosidad dinámica). ${\displaystyle v_{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle \rho v_{\infty }x/\mu }$ ${\displaystyle \rho =}$ ${\displaystyle \mu =}$

La solución de Blasius utiliza condiciones de contorno en forma adimensional:

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}={v_{y} \over v_{\infty }}=0}$     en      ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}=1}$     en y      ${\displaystyle y=\infty }$ ${\displaystyle x=0}$

La capa límite de velocidad (arriba, naranja) y la capa límite de temperatura (abajo, verde) comparten una forma funcional debido a la similitud en los equilibrios de momento/energía y las condiciones de contorno.

Tenga en cuenta que, en muchos casos, la condición de frontera de no deslizamiento mantiene que la velocidad del fluido en la superficie de la placa es igual a la velocidad de la placa en todos los lugares. Si la placa no se mueve, entonces . Se requiere una derivación mucho más complicada si se permite el deslizamiento de fluidos. ^[24] ${\displaystyle v_{S}}$ ${\displaystyle v_{S}=0}$

De hecho, la solución de Blasius para el perfil de velocidad laminar en la capa límite sobre una placa semiinfinita se puede ampliar fácilmente para describir las capas límite térmicas y de concentración para la transferencia de calor y masa, respectivamente. En lugar del equilibrio diferencial del momento x (ecuación de movimiento), se utiliza un equilibrio de energía y masa derivado de manera similar:

Energía:         ${\displaystyle v_{x}{\partial T \over \partial x}+v_{y}{\partial T \over \partial y}={k \over \rho C_{p}}{\partial ^{2}T \over \partial y^{2}}}$

Masa:           ${\displaystyle v_{x}{\partial c_{A} \over \partial x}+v_{y}{\partial c_{A} \over \partial y}=D_{AB}{\partial ^{2}c_{A} \over \partial y^{2}}}$

Para el equilibrio del momento, la viscosidad cinemática puede considerarse como la difusividad del momento . En el balance de energía esto se reemplaza por la difusividad térmica y por la difusividad de masa en el balance de masa. En difusividad térmica de una sustancia, está su conductividad térmica, es su densidad y es su capacidad calorífica. El subíndice AB denota la difusividad de la especie A que se difunde en la especie B. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \alpha ={k/\rho C_{P}}}$ ${\displaystyle D_{AB}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C_{P}}$

Bajo el supuesto de que , estas ecuaciones se vuelven equivalentes al equilibrio de momento. Por tanto, para el número de Prandtl y el número de Schmidt se aplica directamente la solución de Blasius. ${\displaystyle \alpha =D_{AB}=\nu }$ ${\displaystyle Pr=\nu /\alpha =1}$ ${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}=1}$

En consecuencia, esta derivación utiliza una forma relacionada de las condiciones de contorno, reemplazando con o (temperatura absoluta o concentración de la especie A). El subíndice S denota una condición de superficie. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle c_{A}}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=0}$     en      ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=1}$     en y      ${\displaystyle y=\infty }$ ${\displaystyle x=0}$

Utilizando la función aerodinámica, Blasius obtuvo la siguiente solución para el esfuerzo cortante en la superficie de la placa.

${\displaystyle \tau _{0}=\left({\partial v_{x} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{v_{\infty } \over x}Re^{1/2}}$

Y a través de las condiciones de contorno, se sabe que

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}}$

Se nos dan las siguientes relaciones para el flujo de calor/masa fuera de la superficie de la placa

${\displaystyle \left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{T_{\infty }-T_{S} \over x}Re^{1/2}}$

${\displaystyle \left({\partial c_{A} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{c_{A\infty }-c_{AS} \over x}Re^{1/2}}$

entonces para ${\displaystyle Pr=Sc=1}$

${\displaystyle \delta =\delta _{T}=\delta _{c}={5.0x \over {\sqrt {Re}}}}$

¿Dónde están las regiones de flujo donde y son menos del 99% de sus valores de campo lejano? ^[25] ${\displaystyle \delta _{T},\delta _{c}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle c_{A}}$

Debido a que el número de Prandtl de un fluido en particular no suele ser la unidad, el ingeniero alemán E. Polhausen, que trabajó con Ludwig Prandtl , intentó ampliar empíricamente estas ecuaciones para aplicarlas . Sus resultados también se pueden aplicar . ^[26] Encontró que para un número de Prandtl mayor que 0,6, el espesor de la capa límite térmica estaba aproximadamente dado por: ${\displaystyle Pr\neq 1}$ ${\displaystyle Sc}$

Gráfico que muestra el espesor relativo de la capa límite térmica versus la capa límite de velocidad (en rojo) para varios números de Prandtl. Para , los dos son iguales. ${\displaystyle Pr=1}$

${\displaystyle {\delta \over \delta _{T}}=Pr^{1/3}}$          y por lo tanto           ${\displaystyle {\delta \over \delta _{c}}=Sc^{1/3}}$

A partir de esta solución, es posible caracterizar las constantes de transferencia convectiva de calor/masa en función de la región de flujo de la capa límite. La ley de conducción de Fourier y la ley de enfriamiento de Newton se combinan con el término de flujo derivado anteriormente y el espesor de la capa límite.

${\displaystyle {q \over A}=-k\left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{\infty })}$

${\displaystyle h_{x}=0.332{k \over x}Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Esto da la constante convectiva local en un punto del plano semiinfinito. La integración a lo largo de la placa da un promedio ${\displaystyle h_{x}}$

${\displaystyle h_{L}=0.664{k \over x}Re_{L}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Siguiendo la derivación con términos de transferencia de masa ( = constante de transferencia de masa convectiva, = difusividad de la especie A en la especie B, ), se obtienen las siguientes soluciones: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D_{AB}}$ ${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}}$

${\displaystyle k'_{x}=0.332{D_{AB} \over x}Re_{x}^{1/2}Sc^{1/3}}$

${\displaystyle k'_{L}=0.664{D_{AB} \over x}Re_{L}^{1/2}Sc^{1/3}}$

Estas soluciones se aplican para flujo laminar con un número de Prandtl/Schmidt superior a 0,6. ^[25]

Arquitectura naval

Muchos de los principios que se aplican a las aeronaves también se aplican a los barcos, submarinos y plataformas marinas, siendo el agua el principal fluido de preocupación en lugar del aire. Como el agua no es un fluido ideal, los barcos que se mueven en el agua experimentan resistencia. Las partículas de fluido se adhieren al casco del barco debido a la fuerza adhesiva entre el agua y el barco, creando una capa límite donde la velocidad del flujo del fluido forma un gradiente de velocidad pequeño pero pronunciado , con el fluido en contacto ideal con el barco. tiene una velocidad relativa de 0, y el fluido en el borde de la capa límite es la velocidad de la corriente libre , o la velocidad relativa del fluido alrededor del barco. ^[27]

Mientras que la parte delantera del barco enfrenta fuerzas de presión normales debido al fluido que lo rodea, la parte trasera ve un componente de presión que actúa más bajo debido a la capa límite. Esto conduce a una mayor resistencia debido a la presión conocida como "arrastre de presión viscosa" o " arrastre de forma ". ^[27]

En el caso de los barcos, a diferencia de los aviones, se trata de flujos incompresibles, donde el cambio en la densidad del agua es insignificante (un aumento de presión cercano a 1000 kPa conduce a un cambio de sólo 2 a 3 kg/m ³ ). Este campo de la dinámica de fluidos se llama hidrodinámica. Un ingeniero naval diseña primero teniendo en cuenta la hidrodinámica y sólo después la resistencia. El desarrollo, la descomposición y la separación de la capa límite se vuelven críticos porque la alta viscosidad del agua produce altas tensiones de corte.

Turbina de capa límite

Este efecto se aprovechó en la turbina Tesla , patentada por Nikola Tesla en 1913. Se la conoce como turbina sin aspas porque utiliza el efecto de capa límite y no un fluido que incide sobre las aspas como en una turbina convencional. Las turbinas de capa límite también se conocen como turbina de cohesión, turbina sin aspas y turbina de capa Prandtl (en honor a Ludwig Prandtl ).

Predecir el espesor de la capa límite transitoria en un cilindro mediante análisis dimensional

Al utilizar las ecuaciones de fuerza transitoria y viscosa para un flujo cilíndrico, se puede predecir el espesor de la capa límite transitoria encontrando el número de Womersley ( ). ${\displaystyle N_{w}}$

Fuerza transitoria = ${\displaystyle \rho vw}$

Fuerza Viscosa = ${\displaystyle {\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Al igualarlos entre sí se obtiene:

${\displaystyle \rho vw={\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Resolviendo para delta se obtiene:

${\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\mu \over \rho w}}={\sqrt {\ v \over \ w}}}$

En forma adimensional:

${\displaystyle {L \over \delta _{1}}={L{\sqrt {w \over \ v}}}=N_{w}}$

donde = Número de Womersley; = densidad; = velocidad;  ?; = longitud de la capa límite transitoria; = viscosidad; = longitud característica. ${\displaystyle N_{w}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w=}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L}$

Predecir las condiciones de flujo convectivo en la capa límite de un cilindro mediante análisis dimensional

Al utilizar las ecuaciones de fuerza convectiva y viscosa en la capa límite para un flujo cilíndrico, se pueden predecir las condiciones del flujo convectivo en la capa límite al encontrar el número de Reynolds adimensional ( ). ${\displaystyle Re}$

Fuerza convectiva: ${\displaystyle \rho v^{2} \over \ L}$

Fuerza viscosa: ${\displaystyle {\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Al igualarlos entre sí se obtiene:

${\displaystyle {\rho v^{2} \over \ L}={\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Resolviendo para delta se obtiene:

${\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {\mu L \over \rho v}}}$

En forma adimensional:

${\displaystyle {L \over \delta _{2}}={\sqrt {\rho vL \over \mu }}={\sqrt {Re}}}$

donde = Número de Reynolds; = densidad; = velocidad; = longitud de la capa límite convectiva; = viscosidad; = longitud característica. ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L}$

Ingestión de capa límite

La ingestión de la capa límite promete un aumento en la eficiencia del combustible de las aeronaves con un propulsor montado en la popa que ingiere la capa límite lenta del fuselaje y reenergiza la estela para reducir la resistencia y mejorar la eficiencia propulsiva . Para funcionar con un flujo de aire distorsionado, el ventilador es más pesado y su eficiencia se reduce, y su integración es un desafío. Se utiliza en conceptos como el Aurora D8 o el Nova de la agencia de investigación francesa Onera , ahorrando un 5% en crucero al ingerir el 40% de la capa límite del fuselaje. ^[28]

Airbus presentó el concepto Nautilius en el congreso ICAS en septiembre de 2018: para absorber toda la capa límite del fuselaje, minimizando al mismo tiempo la distorsión del flujo azimutal , el fuselaje se divide en dos ejes con ventiladores con una relación de derivación de 13-18:1 . Las eficiencias de propulsión son de hasta el 90 % como las de los rotores abiertos contrarrotativos con motores más pequeños, ligeros, menos complejos y ruidosos. Podría reducir el consumo de combustible en más de un 10 % en comparación con un motor habitual con una relación de derivación de 15:1 debajo del ala. ^[28]

Ver también

• Separación de la capa límite
• Espesor de la capa límite
• Espesor y forma de la capa límite térmica.
• Succión de capa límite
• Control de capa límite
• Micrófono de superficie
• Capa límite de Blasius
• Capa límite Falkner-Skan
• capa de ekman
• Capa límite planetaria
• Teoría de la perturbación
• Ley logarítmica de la pared.
• Factor de forma (flujo de capa límite)
• Esfuerzo cortante
• Capa superficial

Referencias

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enlaces externos

• Biblioteca Digital Nacional de Ciencias - Capa límite
• Moore, Franklin K., " Efecto de desplazamiento de una capa límite tridimensional ". Informe NACA 1124, 1953.
• Benson, Tom, " Capa límite ". Tecnologías de aprendizaje Glenn de la NASA.
• Separación de la capa límite
• Ecuaciones de la capa límite: soluciones exactas - de EqWorld
• Jones, TRANSFERENCIA DE CALOR DE LA CAPA LÍMITE DE TV
• "El concepto revolucionario de" capa límite "y su prevalencia en la aeronáutica por Sourabh S. Diwan". YouTube . Centro Internacional de Ciencias Teóricas. 18 de febrero de 2022.