Símbolo de Levi-Civita

Objeto de permutación antisimétrica que actúa sobre tensores.

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , análisis de tensores y geometría diferencial , el símbolo de Levi-Civita o Levi-Civita épsilon representa una colección de números; definido a partir del signo de una permutación de los números naturales 1, 2, ..., n , para algún entero positivo n . Lleva el nombre del matemático y físico italiano Tullio Levi-Civita . Otros nombres incluyen símbolo de permutación , símbolo antisimétrico o símbolo alterno , que hacen referencia a su propiedad antisimétrica y a su definición en términos de permutaciones.

Las letras estándar para denotar el símbolo de Levi-Civita son la minúscula griega épsilon ε o ϵ , o menos comúnmente la minúscula latina e . La notación de índice permite mostrar permutaciones de una manera compatible con el análisis de tensor:

$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}$$

cadai ₁ , i ₂ , ..., _in toma1, 2, ..., nn ⁿε _{i 1 i 2 ... i n}de nla antisimetría total

$${\displaystyle \varepsilon _{\dots i_{p}\dots i_{q}\dots }=-\varepsilon _{\dots i_{q}\dots i_{p}\dots }.}$$

Si dos índices son iguales, el símbolo es cero. Cuando todos los índices son desiguales, tenemos:

$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{1\,2\,\dots n},}$$

pi ₁ , i ₂ , ..., i _n1, 2, ..., n( −1) ^psigno o firmaε _{1 2 ... n}ε _{1 2 ... n} = +1

El término " símbolo de Levi-Civita n- dimensional" se refiere a que el número de índices del símbolo n coincide con la dimensionalidad del espacio vectorial en cuestión, que puede ser euclidiano o no euclidiano , por ejemplo, o espacio de Minkowski . Los valores del símbolo de Levi-Civita son independientes de cualquier tensor métrico y sistema de coordenadas . Además, el término específico "símbolo" enfatiza que no es un tensor por cómo se transforma entre sistemas de coordenadas; sin embargo, puede interpretarse como una densidad tensorial . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

El símbolo de Levi-Civita permite expresar el determinante de una matriz cuadrada y el producto cruzado de dos vectores en el espacio euclidiano tridimensional en notación de índice de Einstein .

Definición

El símbolo de Levi-Civita se utiliza con mayor frecuencia en tres y cuatro dimensiones, y hasta cierto punto en dos dimensiones, por lo que se dan aquí antes de definir el caso general.

Dos dimensiones

En dos dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por:

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{if }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{if }}i=j\end{cases}}}$$

matriz antisimétrica

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$$

El uso del símbolo bidimensional es común en materia condensada y en ciertos temas especializados de alta energía como la supersimetría ^[1] y la teoría de twistores , ^[2] donde aparece en el contexto de 2- espinores .

Tres dimensiones

Para los índices ( i , j , k ) en ε _ijk , los valores 1, 2, 3 que ocurren en el El orden cíclico (1, 2, 3) corresponde a ε = +1 , mientras que ocurre en el El orden cíclico inverso corresponde a ε = −1 , de lo contrario ε = 0 .

En tres dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por: ^[3]

$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k){\text{ is }}(1,2,3),(2,3,1),{\text{ or }}(3,1,2),\\-1&{\text{if }}(i,j,k){\text{ is }}(3,2,1),(1,3,2),{\text{ or }}(2,1,3),\\\;\;\,0&{\text{if }}i=j,{\text{ or }}j=k,{\text{ or }}k=i\end{cases}}}$$

Es decir, ε _ijk es 1 si ( i , j , k ) es una permutación par de (1, 2, 3) , −1 si es una permutación impar y 0 si se repite algún índice. Sólo en tres dimensiones, las permutaciones cíclicas de (1, 2, 3) son todas permutaciones pares, de manera similar, las permutaciones anticíclicas son todas permutaciones impares. Esto significa que en 3d es suficiente tomar permutaciones cíclicas o anticíclicas de (1, 2, 3) y obtener fácilmente todas las permutaciones pares o impares.

De manera análoga a las matrices bidimensionales, los valores del símbolo tridimensional de Levi-Civita se pueden organizar en una matriz de 3 × 3 × 3 :

donde i es la profundidad ( azul : i = 1 ; rojo : i = 2 ; verde : i = 3 ), j es la fila y k es la columna.

Algunos ejemplos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}}$$

Cuatro dimensiones

En cuatro dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por:

$${\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Estos valores se pueden organizar en una matriz de 4 × 4 × 4 × 4 , aunque en 4 dimensiones y más esto es difícil de dibujar.

Algunos ejemplos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}}$$

Generalización a n dimensiones

De manera más general, en n dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por: ^[4]

$${\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Por tanto, es el signo de la permutación en el caso de una permutación y cero en caso contrario.

Usando la notación pi mayúscula Π para la multiplicación ordinaria de números, una expresión explícita para el símbolo es: ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}}$$

función signumsgnvalor absolutonn = 0n = 1producto vacíocomplejidad temporalO( n ² )ciclos disjuntosO( n log( n ))

Propiedades

Un tensor cuyos componentes en una base ortonormal están dados por el símbolo de Levi-Civita (un tensor de rango covariante n ) a veces se denomina tensor de permutación .

Según las reglas de transformación ordinarias para tensores, el símbolo de Levi-Civita no cambia bajo rotaciones puras, lo que es coherente con el hecho de que es (por definición) el mismo en todos los sistemas de coordenadas relacionados mediante transformaciones ortogonales. Sin embargo, el símbolo de Levi-Civita es un pseudotensor porque bajo una transformación ortogonal del determinante jacobiano −1, por ejemplo, una reflexión en un número impar de dimensiones, debería adquirir un signo menos si fuera un tensor. Como no cambia en absoluto, el símbolo de Levi-Civita es, por definición, un pseudotensor.

Como el símbolo de Levi-Civita es un pseudotensor, el resultado de tomar un producto vectorial es un pseudovector , no un vector. ^[5]

Bajo un cambio de coordenadas general , los componentes del tensor de permutación se multiplican por el jacobiano de la matriz de transformación . Esto implica que en sistemas de coordenadas diferentes a aquel en el que se definió el tensor, sus componentes pueden diferir de los del símbolo de Levi-Civita por un factor global. Si el marco es ortonormal, el factor será ±1 dependiendo de si la orientación del marco es la misma o no. ^[5]

En notación tensorial sin índice, el símbolo de Levi-Civita se reemplaza por el concepto de dual de Hodge . ^{[ cita necesaria ]}

Los símbolos de suma se pueden eliminar utilizando la notación de Einstein , donde un índice repetido entre dos o más términos indica la suma sobre ese índice. Por ejemplo,

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}}$.

En los siguientes ejemplos, se utiliza la notación de Einstein.

Dos dimensiones

En dos dimensiones, cuando todos i , j , m , n toman cada uno los valores 1 y 2: ^[3]

Tres dimensiones

Valores de índice y símbolo

En tres dimensiones, cuando todos i , j , k , m , n toman cada uno los valores 1, 2 y 3: ^[3]

Producto

El símbolo de Levi-Civita está relacionado con el delta del Kronecker . En tres dimensiones, la relación viene dada por las siguientes ecuaciones (las líneas verticales indican el determinante): ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}}$

Un caso especial de este resultado ocurre cuando uno de los índices se repite y se suma:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}$

En notación de Einstein, la duplicación del índice i implica la suma en i . Lo anterior se denota entonces ε _ijk ε _imn = δ _jm δ _kn − δ _jn δ _km .

Si dos índices se repiten (y se suman), esto se reduce aún más a:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}$

n dimensiones

Valores de índice y símbolo

En n dimensiones, cuando todos i ₁ , ..., in _, j ₁ , ..., jn _toman valores 1, 2, ..., n : ^{[ cita necesaria ]}

donde el signo de exclamación ( ! ) denota el factorial , y δ^{α ...}
_{β ...}es el delta de Kronecker generalizado . Para cualquier n , la propiedad

${\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!}$

se desprende de los hechos que

• toda permutación es par o impar,
• (+1) ² = (−1) ² = 1 , y
• ¡El número de permutaciones de cualquier conjunto de n elementos es exactamente n ! .

El caso particular de ( 8 ) con es ${\textstyle k=n-2}$

$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-2}jk}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n-2}lm}=(n-2)!(\delta _{j}^{l}\delta _{k}^{m}-\delta _{j}^{m}\delta _{l}^{k})\,.}$$

Producto

En general, para n dimensiones, se puede escribir el producto de dos símbolos de Levi-Civita como:

$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}.}$$

Prueba: ${\displaystyle i_{1}\leq \cdots \leq i_{n},j_{1}\leq \cdots \leq j_{n}}$ ${\displaystyle i_{c}=i_{c+1}}$ ${\displaystyle j_{c}=j_{c+1}}$ ${\displaystyle i_{1}<\cdots <i_{n},j_{1}<\cdots <j_{n}}$

Pruebas

Para ( 1 ), ambos lados son antisimétricos con respecto a ij y mn . Por lo tanto, sólo necesitamos considerar el caso i ≠ j y m ≠ n . Por sustitución, vemos que la ecuación se cumple para ε ₁₂ ε ¹² , es decir, para i = m = 1 y j = n = 2 . (Ambos lados son entonces uno). Dado que la ecuación es antisimétrica en ij y mn , cualquier conjunto de valores para estos puede reducirse al caso anterior (que se cumple). Por tanto, la ecuación es válida para todos los valores de ij y mn .

Usando ( 1 ), tenemos para ( 2 )

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{i}{}^{i}\delta _{j}{}^{n}-\delta _{i}{}^{n}\delta _{j}{}^{i}=2\delta _{j}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}=\delta _{j}{}^{n}\,.}$

Aquí utilizamos la convención de suma de Einstein con i yendo de 1 a 2. A continuación, ( 3 ) se sigue de manera similar a ( 2 ).

Para establecer ( 5 ), observe que ambos lados desaparecen cuando i ≠ j . De hecho, si i ≠ j , entonces no se pueden elegir m y n de modo que ambos símbolos de permutación de la izquierda sean distintos de cero. Entonces, con i = j fijo, sólo hay dos formas de elegir myn de los dos índices restantes. Para cualquiera de estos índices, tenemos

${\displaystyle \varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=\left(\varepsilon ^{imn}\right)^{2}=1}$

(sin suma), y el resultado sigue.

¡Entonces ( 6 ) sigue desde 3! = 6 y para cualquier índice distinto i , j , k que tome los valores 1, 2, 3 , tenemos

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=1}$ (sin suma, distinta i , j , k )

Aplicaciones y ejemplos

Determinantes

En álgebra lineal, el determinante de una matriz cuadrada de 3 × 3 A = [ a _ij ] se puede escribir ^[6]

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}}$

De manera similar, el determinante de una matriz n × n A = [ a _ij ] se puede escribir como ^[5]

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}\dots a_{ni_{n}},}$

donde cada i _r debe sumarse entre 1, ..., n o equivalente:

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\dots a_{i_{n}j_{n}},}$

donde ahora cada i _r y cada j _r deben sumarse en 1, ..., n . De manera más general, tenemos la identidad ^[5]

${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2},\dots }\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{i_{1}\,j_{1}}\dots a_{i_{n}\,j_{n}}=\det(\mathbf {A} )\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$

Producto cruzado vectorial

Producto cruzado (dos vectores)

Sea una base ortonormal orientada positivamente de un espacio vectorial. Si ( a ¹ , a ² , a ³ ) y ( b ¹ , b ² , b ³ ) son las coordenadas de los vectores a y b en esta base, entonces su producto cruzado se puede escribir como un determinante: ^[5] ${\displaystyle (\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} )}$

${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k}}$

de ahí que también se utilice el símbolo de Levi-Civita, y más simplemente:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )^{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.}$

En la notación de Einstein, los símbolos de suma pueden omitirse y el i- ésimo componente de su producto vectorial es igual a ^[4]

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )^{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.}$

El primer componente es

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )^{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\,,}$

luego, mediante permutaciones cíclicas de 1, 2, 3, los demás se pueden derivar inmediatamente, sin calcularlos explícitamente a partir de las fórmulas anteriores:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a\times b} )^{2}&=a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\,,\\(\mathbf {a\times b} )^{3}&=a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\,.\end{aligned}}}$

Producto escalar triple (tres vectores)

De la expresión anterior para el producto cruzado, tenemos:

${\displaystyle \mathbf {a\times b} =-\mathbf {b\times a} }$.

Si c = ( c ¹ , c ² , c ³ ) es un tercer vector, entonces el producto escalar triple es igual

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.}$

De esta expresión se puede ver que el triple producto escalar es antisimétrico cuando se intercambia cualquier par de argumentos. Por ejemplo,

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a\times c} )}$.

Curl (un campo vectorial)

Si F = ( F ¹ , F ² , F ³ ) es un campo vectorial definido en algún conjunto abierto de como función de la posición x = ( x ¹ , x ² , x ³ ) (usando coordenadas cartesianas ). Entonces la i -ésima componente del rizo de F es igual a ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )^{i}(\mathbf {x} )=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(\mathbf {x} ),}$

que se desprende de la expresión del producto cruzado anterior, sustituyendo componentes del operador de vector gradiente (nabla).

Densidad tensorial

En cualquier sistema de coordenadas curvilíneo arbitrario e incluso en ausencia de una métrica en la variedad , el símbolo de Levi-Civita como se define anteriormente puede considerarse como un campo de densidad tensorial de dos maneras diferentes. Puede considerarse como una densidad tensorial contravariante de peso +1 o como una densidad tensorial covariante de peso -1. En n dimensiones utilizando el delta de Kronecker generalizado, ^{[7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}&=\delta _{\,1\,\dots \,n}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\,\\\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}&=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\,1\,\dots \,n}\,.\end{aligned}}}$

Observe que estos son numéricamente idénticos. En particular, el signo es el mismo.

Tensores de Levi-Civita

En una variedad pseudo-riemanniana , se puede definir un campo tensor covariante de coordenadas invariantes cuya representación de coordenadas concuerda con el símbolo de Levi-Civita siempre que el sistema de coordenadas sea tal que la base del espacio tangente sea ortonormal con respecto a la métrica y coincida con una orientación seleccionada. Este tensor no debe confundirse con el campo de densidad del tensor mencionado anteriormente. La presentación en esta sección sigue de cerca a Carroll 2004.

El tensor covariante de Levi-Civita (también conocido como forma de volumen de Riemann ) en cualquier sistema de coordenadas que coincida con la orientación seleccionada es

${\displaystyle E_{a_{1}\dots a_{n}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}\,,}$

donde g _ab es la representación de la métrica en ese sistema de coordenadas. De manera similar, podemos considerar un tensor contravariante de Levi-Civita elevando los índices con la métrica como de costumbre,

${\displaystyle E^{a_{1}\dots a_{n}}=E_{b_{1}\dots b_{n}}\prod _{i=1}^{n}g^{a_{i}b_{i}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}}\,,}$

pero observe que si la firma métrica contiene un número impar de valores propios negativos q , entonces el signo de los componentes de este tensor difiere del símbolo estándar de Levi-Civita: ^[9]

${\displaystyle E^{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} \left(\det[g_{ab}]\right)}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}},}$

donde sgn(det[g _ab ]) = (−1) ^q , es el símbolo habitual de Levi-Civita que se analiza en el resto de este artículo, y utilizamos la definición del determinante métrico en la derivación. Más explícitamente, cuando la orientación del tensor y la base se eligen de manera que , tenemos eso . ${\displaystyle \varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}}$ ${\textstyle E_{01\dots n}=+{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$ ${\displaystyle E^{01\dots n}={\frac {\operatorname {sgn}(\det[g_{ab}])}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}}$

De esto podemos inferir la identidad,

${\displaystyle E^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}E_{\mu _{1}\dots \mu _{p}\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}=(-1)^{q}p!\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}\,,}$

dónde

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}=(n-p)!\delta _{\beta _{1}}^{\lbrack \alpha _{1}}\dots \delta _{\beta _{n-p}}^{\alpha _{n-p}\rbrack }}$

es el delta de Kronecker generalizado.

Ejemplo: espacio de Minkowski

En el espacio de Minkowski (el espacio -tiempo de cuatro dimensiones de la relatividad especial ), el tensor covariante de Levi-Civita es

${\displaystyle E_{\alpha \beta \gamma \delta }=\pm {\sqrt {\left|\det[g_{\mu \nu }]\right|}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,,}$

donde el signo depende de la orientación de la base. El tensor contravariante de Levi-Civita es

${\displaystyle E^{\alpha \beta \gamma \delta }=g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }E_{\zeta \eta \theta \iota }\,.}$

Los siguientes son ejemplos de la identidad general anterior especializada en el espacio de Minkowski (con el signo negativo que surge del número impar de negativos en la firma del tensor métrico en cualquiera de las convenciones de signos):

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu }&=-g_{\alpha \zeta }g_{\beta \eta }g_{\gamma \theta }g_{\delta \iota }\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\zeta \eta \theta \iota }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E^{\rho \sigma \mu \nu }&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }\delta _{\zeta \eta \theta \iota }^{\rho \sigma \mu \nu }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\alpha \beta \gamma \delta }&=-24\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \beta \gamma \delta }&=-6\delta _{\rho }^{\alpha }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \gamma \delta }&=-2\delta _{\rho \sigma }^{\alpha \beta }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \theta \delta }&=-\delta _{\rho \sigma \theta }^{\alpha \beta \gamma }\,.\end{aligned}}}$

Ver también

• Lista de temas de permutación
• tensor simétrico

Notas

1. Etiqueta, P. (2010). Supersimetría . Desmitificado. McGraw-Hill. págs. 57–58. ISBN 978-0-07-163641-4.
2. Hadrovich, F. "Twistor Primer" . Consultado el 3 de septiembre de 2013 .
3. Tyldesley, JR (1973). Una introducción al análisis tensorial: para ingenieros y científicos aplicados . Longman. ISBN 0-582-44355-5.
4. Kay, DC (1988). Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum. McGraw-Hill. ISBN 0-07-033484-6.
5. Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (2010). Métodos Matemáticos para la Física y la Ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
6. Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Álgebra lineal . Esquemas de Schaum (4ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
7. Murnaghan, F. D. (1925), "El símbolo de Kronecker generalizado y su aplicación a la teoría de los determinantes", Amer. Matemáticas. Mensual , 32 (5): 233–241, doi :10.2307/2299191, JSTOR  2299191
8. Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Publicaciones de Courier Dover. pag. 113.ISBN​ 0-486-65840-6.
9. Nakahara, Mikio (31 de enero de 2017). Geometría, Topología y Física (2 ed.). Boca Ratón: CRC Press. doi :10.1201/9781315275826. ISBN 978-1-315-27582-6.

Referencias

• Misner, C.; Thorne, KS; Wheeler, JA (1973). Gravitación . W. H. Freeman & Co. págs. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
• Neuenschwander, DE (2015). Cálculo tensorial para física . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. págs.11, 29, 95. ISBN 978-1-4214-1565-9.
• Carroll, Sean M. (2004), Espacio-tiempo y geometría, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8732-3

enlaces externos

Este artículo incorpora material del símbolo de permutación de Levi-Civita en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• Weisstein, Eric W. "Tensor de permutación". MundoMatemático .