Método de análisis de homotopía

Las dos trayectorias discontinuas que se muestran arriba son homotópicas en relación con sus puntos finales. La animación representa una posible homotopía.

El método de análisis de homotopía ( HAM ) es una técnica semianalítica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias / parciales no lineales . El método de análisis de homotopía emplea el concepto de homotopía de la topología para generar una solución de serie convergente para sistemas no lineales. Esto se logra mediante el uso de una serie de homotopía-Maclaurin para abordar las no linealidades en el sistema.

El HAM fue ideado por primera vez en 1992 por Liao Shijun de la Universidad Jiaotong de Shanghai en su tesis doctoral ^[1] y modificado posteriormente ^[2] en 1997 para introducir un parámetro auxiliar distinto de cero, denominado parámetro de control de convergencia , c ₀ , para construir una homotopía en un sistema diferencial en forma general. ^[3] El parámetro de control de convergencia es una variable no física que proporciona una forma sencilla de verificar y hacer cumplir la convergencia de una serie de soluciones. La capacidad del HAM para mostrar de forma natural la convergencia de la solución de la serie es inusual en los enfoques analíticos y semianalíticos de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales.

Características

El HAM se distingue de varios otros métodos analíticos en cuatro aspectos importantes. Primero, es un método de expansión de series que no depende directamente de parámetros físicos pequeños o grandes. Por lo tanto, es aplicable no solo para problemas débilmente sino también fuertemente no lineales, yendo más allá de algunas de las limitaciones inherentes de los métodos de perturbación estándar . En segundo lugar, el HAM es un método unificado para el método de parámetros pequeños artificiales de Lyapunov , el método de expansión delta, el método de descomposición de Adomian , ^[4] y el método de perturbación de homotopía . ^{[5] [6]} La mayor generalidad del método a menudo permite una fuerte convergencia de la solución en dominios espaciales y de parámetros más grandes. En tercer lugar, el HAM brinda una excelente flexibilidad en la expresión de la solución y en cómo se obtiene explícitamente la solución. Proporciona una gran libertad para elegir las funciones base de la solución deseada y el operador lineal auxiliar correspondiente de la homotopía. Finalmente, a diferencia de las otras técnicas de aproximación analítica, el HAM proporciona una forma sencilla de asegurar la convergencia de la serie de soluciones.

El método de análisis de homotopía también se puede combinar con otras técnicas empleadas en ecuaciones diferenciales no lineales, como los métodos espectrales ^[7] y los aproximantes de Padé . Además, se puede combinar con métodos computacionales, como el método de elementos de contorno , para permitir que el método lineal resuelva sistemas no lineales. A diferencia de la técnica numérica de continuación de homotopía , el método de análisis de homotopía es un método de aproximación analítica en oposición a un método computacional discreto. Además, el HAM utiliza el parámetro de homotopía solo a nivel teórico para demostrar que un sistema no lineal se puede dividir en un conjunto infinito de sistemas lineales que se resuelven analíticamente, mientras que los métodos de continuación requieren resolver un sistema lineal discreto a medida que el parámetro de homotopía varía para resolver el sistema no lineal.

Aplicaciones

En los últimos veinte años, el HAM se ha aplicado para resolver un número creciente de ecuaciones diferenciales ordinarias / parciales no lineales en ciencia, finanzas e ingeniería. ^{[8] [9]} Por ejemplo, se encontraron múltiples ondas resonantes en estado estacionario en aguas profundas y finitas ^{[10] con el criterio} de resonancia de ondas de un número arbitrario de ondas de gravedad viajeras ; esto concordó con el criterio de Phillips para cuatro ondas con pequeña amplitud. Además, un modelo de onda unificado aplicado con el HAM, ^[11] admite no solo las ondas periódicas/solitarias progresivas suaves tradicionales, sino también las ondas solitarias progresivas con cresta puntiaguda en aguas finitas. Este modelo muestra que las ondas solitarias puntiagudas son soluciones consistentes junto con las suaves conocidas. Además, el HAM se ha aplicado a muchos otros problemas no lineales como la transferencia de calor no lineal , ^[12] el ciclo límite de sistemas dinámicos no lineales, ^{[13] la} opción de venta americana , ^[14] la ecuación exacta de Navier-Stokes , ^[15] la fijación de precios de opciones bajo volatilidad estocástica , ^[16] los flujos electrohidrodinámicos , ^[17] la ecuación de Poisson-Boltzmann para dispositivos semiconductores, ^[18] y otros.

Breve descripción matemática

Una isotopía de una taza de café en una dona ( toro ).

Consideremos una ecuación diferencial no lineal general

${\displaystyle {\mathcal {N}}[u(x)]=0}$,

donde es un operador no lineal. Sea u ₀ ( x ) un operador lineal auxiliar, una estimación inicial de u ( x ), y c ₀ una constante (llamada parámetro de control de convergencia), respectivamente. Utilizando el parámetro de inserción q ∈ [0,1] de la teoría de homotopía, se puede construir una familia de ecuaciones, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle (1-q){\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=c_{0}\,q\,{\mathcal {N}}[U(x;q)],}$

llamada ecuación de deformación de orden cero, cuya solución varía continuamente con respecto al parámetro de incrustación q ∈ [0,1]. Esta es la ecuación lineal

${\displaystyle {\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=0,}$

con una estimación inicial conocida U ( x ; 0) = u ₀ ( x ) cuando q = 0, pero es equivalente a la ecuación no lineal original , cuando q = 1, es decir U ( x ; 1) = u ( x )). Por lo tanto, a medida que q aumenta de 0 a 1, la solución U ( x ; q ) de la ecuación de deformación de orden cero varía (o se deforma) desde la estimación inicial elegida u ₀ ( x ) hasta la solución u ( x ) de la ecuación no lineal considerada. ${\displaystyle {\mathcal {N}}[u(x)]=0}$

Desarrollando U ( x ; q ) en una serie de Taylor alrededor de q = 0, tenemos la serie de homotopía-Maclaurin

${\displaystyle U(x;q)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x)\,q^{m}.}$

Suponiendo que el llamado parámetro de control de convergencia c ₀ de la ecuación de deformación de orden cero se elige correctamente para que la serie anterior sea convergente en q = 1, tenemos la solución de la serie de homotopía

${\displaystyle u(x)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x).}$

A partir de la ecuación de deformación de orden cero, se puede derivar directamente la ecuación gobernante de u _m ( x )

${\displaystyle {\mathcal {L}}[u_{m}(x)-\chi _{m}u_{m-1}(x)]=c_{0}\,R_{m}[u_{0},u_{1},\ldots ,u_{m-1}],}$

llamada ecuación de deformación de ^orden m , donde y para k > 1, y el lado derecho R _m depende únicamente de los resultados conocidos u ₀ , u ₁ , ..., u _{m  − 1} y se puede obtener fácilmente utilizando un software de álgebra computacional. De esta manera, la ecuación no lineal original se transfiere a un número infinito de ecuaciones lineales, pero sin la suposición de ningún parámetro físico pequeño/grande. ${\displaystyle \chi _{1}=0}$ ${\displaystyle \chi _{k}=1}$

Dado que el HAM se basa en una homotopía, se tiene una gran libertad para elegir la aproximación inicial u ₀ ( x ), el operador lineal auxiliar y el parámetro de control de convergencia c ₀ en la ecuación de deformación de orden cero. Por lo tanto, el HAM proporciona al matemático la libertad de elegir el tipo de ecuación de la ecuación de deformación de orden superior y las funciones base de su solución. El valor óptimo del parámetro de control de convergencia c ₀ está determinado por el mínimo del error residual al cuadrado de las ecuaciones gobernantes y/o las condiciones de contorno después de que se haya resuelto la forma general para la aproximación inicial y el operador lineal elegidos. Por lo tanto, el parámetro de control de convergencia c ₀ es una forma sencilla de garantizar la convergencia de la solución de la serie de homotopía y diferencia al HAM de otros métodos de aproximación analítica. El método en general proporciona una generalización útil del concepto de homotopía. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

El HAM y el álgebra computacional

El HAM es un método de aproximación analítica diseñado para la era de la informática con el objetivo de "calcular con funciones en lugar de números". Junto con un sistema de álgebra computacional como Mathematica o Maple , se pueden obtener aproximaciones analíticas de un problema altamente no lineal a un orden arbitrariamente alto por medio del HAM en sólo unos pocos segundos. Inspirado por las recientes aplicaciones exitosas del HAM en diferentes campos, se ha puesto a disposición en línea un paquete de Mathematica basado en el HAM, llamado BVPh, para resolver problemas de valor límite no lineales [4]. BVPh es un paquete de resolución para EDO altamente no lineales con singularidades, soluciones múltiples y condiciones de límite multipunto en un intervalo finito o infinito, e incluye soporte para ciertos tipos de EDP no lineales. ^[8] Se ha producido otro código de Mathematica basado en HAM, APOh, para resolver una aproximación analítica explícita del límite de ejercicio óptimo de la opción de venta estadounidense, que también está disponible en línea [5].

Análisis de la respuesta de frecuencia para osciladores no lineales

Recientemente se ha informado que el HAM es útil para obtener soluciones analíticas para ecuaciones de respuesta de frecuencia no lineales. Dichas soluciones pueden capturar diversos comportamientos no lineales, como comportamientos de tipo endurecimiento, de tipo ablandamiento o mixtos del oscilador. ^{[19] [20]} Estas ecuaciones analíticas también son útiles para predecir el caos en sistemas no lineales. ^[21]

Referencias

1. Liao, SJ (1992), La técnica de análisis de homotopía propuesta para la solución de problemas no lineales , tesis doctoral, Universidad Jiao Tong de Shanghai
2. Liao, SJ (1999), "Una aproximación explícita y totalmente analítica de los problemas de flujo viscoso de Blasius", International Journal of Non-Linear Mechanics , 34 (4): 759–778, Bibcode :1999IJNLM..34..759L, doi :10.1016/S0020-7462(98)00056-0
3. Liao, SJ (2003), Más allá de la perturbación: Introducción al método de análisis de homotopía , Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-407-1[1]
4. Adomian, G. (1994). Solución de problemas fronterizos de la física: el método de descomposición . Kluwer Academic Publishers.
5. Liang, Songxin; Jeffrey, David J. (2009), "Comparación del método de análisis de homotopía y el método de perturbación de homotopía a través de una ecuación de evolución", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , 14 (12): 4057–4064, Bibcode :2009CNSNS..14.4057L, doi :10.1016/j.cnsns.2009.02.016
6. Sajid, M.; Hayat, T. (2008), "Comparación de los métodos HAM y HPM en ecuaciones de conducción y convección de calor no lineales", Análisis no lineal: aplicaciones en el mundo real , 9 (5): 2296–2301, doi :10.1016/j.nonrwa.2007.08.007
7. Motsa, SS; Sibanda, P.; Awad, FG; Shateyi, S. (2010), "Un nuevo método de análisis de homotopía espectral para el problema MHD Jeffery–Hamel", Computers & Fluids , 39 (7): 1219–1225, doi :10.1016/j.compfluid.2010.03.004
8. Liao, SJ (2012), Método de análisis de homotopía en ecuaciones diferenciales no lineales , Berlín y Pekín: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-7-04-032298-9[2]
9. Vajravelu, K.; Van Gorder (2013), Fenómenos de flujo no lineal y análisis de homotopía , Berlín y Pekín: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-3-642-32102-3[3]
10. Xu, DL; Lin, ZL; Liao, SJ; Stiassnie, M. (2012), "Sobre las ondas progresivas totalmente resonantes en estado estacionario en agua de profundidad finita", Journal of Fluid Mechanics , 710 : 379–418, Bibcode :2012JFM...710..379X, doi :10.1017/jfm.2012.370, S2CID  122094345
11. Liao, SJ (2013), "¿Existen realmente ondas de agua solitarias con picos?", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , 19 (6): 1792–1821, arXiv : 1204.3354 , Bibcode :2014CNSNS..19.1792L, doi :10.1016/j.cnsns.2013.09.042, S2CID  119203215
12. Abbasbandy, S. (2006), "La aplicación del método de análisis de homotopía a ecuaciones no lineales que surgen en la transferencia de calor", Physics Letters A , 360 (1): 109–113, Bibcode :2006PhLA..360..109A, doi :10.1016/j.physleta.2006.07.065
13. Chen, YM; Liu, JK (2009), "Solución uniformemente válida del ciclo límite de la ecuación de Duffing–van der Pol", Mechanics Research Communications , 36 (7): 845–850, doi :10.1016/j.mechrescom.2009.06.001
14. Zhu, SP (2006), "Una solución exacta y explícita para la valoración de las opciones de venta estadounidenses", Finanzas cuantitativas , 6 (3): 229–242, doi :10.1080/14697680600699811, S2CID  121851109
15. Turkyilmazoglu, M. (2009), "Soluciones puramente analíticas del flujo de capa límite compresible debido a un disco giratorio poroso con transferencia de calor", Physics of Fluids , 21 (10): 106104–106104–12, Bibcode :2009PhFl...21j6104T, doi :10.1063/1.3249752
16. Park, Sang-Hyeon; Kim, Jeong-Hoon (2011), "Método de análisis de homotopía para la fijación de precios de opciones bajo volatilidad estocástica", Applied Mathematics Letters , 24 (10): 1740–1744, doi : 10.1016/j.aml.2011.04.034
17. Mastroberardino, A. (2011), "Método de análisis de homotopía aplicado al flujo electrohidrodinámico", Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulat. , 16 (7): 2730–2736, Bibcode :2011CNSNS..16.2730M, doi :10.1016/j.cnsns.2010.10.004
18. Nassar, Christopher J.; Revelli, Joseph F.; Bowman, Robert J. (2011), "Aplicación del método de análisis de homotopía a la ecuación de Poisson-Boltzmann para dispositivos semiconductores", Commun Nonlinear Sci Numer Simulat , 16 (6): 2501–2512, Bibcode :2011CNSNS..16.2501N, doi :10.1016/j.cnsns.2010.09.015
19. Tajaddodianfar, Farid (2017). "Dinámica no lineal de resonadores MEMS/NEMS: solución analítica mediante el método de análisis de homotopía". Microsystem Technologies . 23 (6): 1913–1926. Código Bibliográfico :2017MiTec..23.1913T. doi :10.1007/s00542-016-2947-7. S2CID  113216381.
20. Tajaddodianfar, Farid (marzo de 2015). "Sobre la dinámica de micro/nano resonadores biestables: solución analítica y comportamiento no lineal". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 20 (3): 1078–1089. Bibcode :2015CNSNS..20.1078T. doi :10.1016/j.cnsns.2014.06.048.
21. Tajaddodianfar, Farid (enero de 2016). "Predicción del caos en micro-nano resonadores de arco accionados electrostáticamente: enfoque analítico". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 30 (1–3): 182–195. doi : 10.1016/j.cnsns.2015.06.013 .

Enlaces externos

• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm