Método de análisis de homotopía.

Los dos caminos discontinuos que se muestran arriba son homotópicos en relación con sus puntos finales. La animación representa una posible homotopía.

El método de análisis de homotopía ( HAM ) es una técnica semianalítica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias / parciales no lineales . El método de análisis de homotopía emplea el concepto de homotopía de la topología para generar una solución en serie convergente para sistemas no lineales. Esto se logra utilizando una serie de homotopía-Maclaurin para abordar las no linealidades del sistema.

El HAM fue ideado por primera vez en 1992 por Liao Shijun de la Universidad Jiaotong de Shanghai en su tesis doctoral ^[1] y modificado ^[2] en 1997 para introducir un parámetro auxiliar distinto de cero, denominado parámetro de control de convergencia , c ₀ , construir una homotopía en un sistema diferencial en forma general. ^[3] El parámetro de control de convergencia es una variable no física que proporciona una forma sencilla de verificar y hacer cumplir la convergencia de una serie de soluciones. La capacidad del HAM para mostrar naturalmente la convergencia de la solución en serie es inusual en enfoques analíticos y semianalíticos de ecuaciones diferenciales parciales no lineales.

Características

El HAM se distingue de otros métodos analíticos en cuatro aspectos importantes. Primero, es un método de expansión en serie que no depende directamente de parámetros físicos grandes o pequeños. Por lo tanto, es aplicable no sólo a problemas débilmente sino también fuertemente no lineales, yendo más allá de algunas de las limitaciones inherentes de los métodos de perturbación estándar . En segundo lugar, HAM es un método unificado para el método de parámetros pequeños artificiales de Lyapunov , el método de expansión delta, el método de descomposición de Adomian , ^[4] y el método de perturbación de homotopía . ^{[5] [6]} La mayor generalidad del método a menudo permite una fuerte convergencia de la solución en dominios espaciales y de parámetros más grandes. En tercer lugar, el HAM ofrece una excelente flexibilidad en la expresión de la solución y en cómo se obtiene explícitamente la solución. Proporciona gran libertad para elegir las funciones base de la solución deseada y el correspondiente operador lineal auxiliar de la homotopía. Finalmente, a diferencia de otras técnicas de aproximación analítica, el HAM proporciona una manera sencilla de asegurar la convergencia de la serie de soluciones.

El método de análisis de homotopía también se puede combinar con otras técnicas empleadas en ecuaciones diferenciales no lineales, como los métodos espectrales ^[7] y las aproximantes de Padé . Además, puede combinarse con métodos computacionales, como el método del elemento límite, para permitir que el método lineal resuelva sistemas no lineales. A diferencia de la técnica numérica de continuación de homotopía , el método de análisis de homotopía es un método de aproximación analítica en lugar de un método computacional discreto. Además, el HAM utiliza el parámetro de homotopía sólo a nivel teórico para demostrar que un sistema no lineal puede dividirse en un conjunto infinito de sistemas lineales que se resuelven analíticamente, mientras que los métodos de continuación requieren resolver un sistema lineal discreto a medida que varía el parámetro de homotopía. para resolver el sistema no lineal.

Aplicaciones

En los últimos veinte años, el HAM se ha aplicado para resolver un número creciente de ecuaciones diferenciales ordinarias / parciales no lineales en ciencia, finanzas e ingeniería. ^{[8] [9]} Por ejemplo, se encontraron múltiples ondas resonantes en estado estacionario en aguas profundas y de profundidad finita ^{[10] con el criterio} de resonancia de ondas de un número arbitrario de ondas de gravedad viajeras ; esto concordaba con el criterio de Phillips para cuatro ondas con pequeña amplitud. Además, un modelo de onda unificado aplicado con el HAM ^[11] admite no solo las tradicionales ondas periódicas/solitarias progresivas suaves, sino también las ondas progresivas solitarias con cresta puntiaguda en una profundidad de agua finita. Este modelo muestra que las ondas solitarias puntiagudas son soluciones consistentes junto con las conocidas suaves. Además, el HAM se ha aplicado a muchos otros problemas no lineales, como la transferencia de calor no lineal , ^[12] el ciclo límite de sistemas dinámicos no lineales, ^{[13] la} opción de venta estadounidense , ^[14] la ecuación exacta de Navier-Stokes , ^[15] la fijación de precios de opciones bajo volatilidad estocástica , ^[16] los flujos electrohidrodinámicos , ^[17] la ecuación de Poisson-Boltzmann para dispositivos semiconductores, ^[18] y otros.

Breve descripción matemática

Una isotopía de una taza de café en un donut ( toro ).

Considere una ecuación diferencial no lineal general.

${\displaystyle {\mathcal {N}}[u(x)]=0}$,

donde es un operador no lineal. Denotemos un operador lineal auxiliar, u ₀ ( x ) una estimación inicial de u ( x ) y c ₀ una constante (llamada parámetro de control de convergencia), respectivamente. Usando el parámetro de incrustación q ∈ [0,1] de la teoría de la homotopía, se puede construir una familia de ecuaciones, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle (1-q){\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=c_{0}\,q\,{\mathcal {N}}[U(x;q)],}$

denominada ecuación de deformación de orden cero, cuya solución varía continuamente con respecto al parámetro de incrustación q ∈ [0,1]. Esta es la ecuación lineal

${\displaystyle {\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=0,}$

con estimación inicial conocida U ( x ; 0) = u ₀ ( x ) cuando q = 0, pero es equivalente a la ecuación no lineal original , cuando q = 1, es decir, U ( x ; 1) = u ( x )). Por lo tanto, a medida que q aumenta de 0 a 1, la solución U ( x ; q ) de la ecuación de deformación de orden cero varía (o se deforma) desde la estimación inicial elegida u ₀ ( x ) hasta la solución u ( x ) de la ecuación considerada. ecuación no lineal. ${\displaystyle {\mathcal {N}}[u(x)]=0}$

Desarrollando U ( x ; q ) en una serie de Taylor alrededor de q = 0, tenemos la serie de homotopía-Maclaurin

${\displaystyle U(x;q)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x)\,q^{m}.}$

Suponiendo que el llamado parámetro de control de convergencia c ₀ de la ecuación de deformación de orden cero se elige correctamente y que la serie anterior es convergente en q = 1, tenemos la solución de la serie de homotopía

${\displaystyle u(x)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x).}$

A partir de la ecuación de deformación de orden cero, se puede derivar directamente la ecuación gobernante de u _m ( x )

${\displaystyle {\mathcal {L}}[u_{m}(x)-\chi _{m}u_{m-1}(x)]=c_{0}\,R_{m}[u_{0},u_{1},\ldots ,u_{m-1}],}$

llamada ecuación de deformación ^{de orden} m , donde y para k > 1, y el lado derecho R _m depende sólo de los resultados conocidos u ₀ , u ₁ , ..., u _{m  − 1} y se puede obtener fácilmente utilizando software de álgebra informática. De esta manera, la ecuación no lineal original se transfiere a un número infinito de ecuaciones lineales, pero sin asumir parámetros físicos pequeños o grandes. ${\displaystyle \chi _{1}=0}$ ${\displaystyle \chi _{k}=1}$

Dado que el HAM se basa en una homotopía, uno tiene gran libertad para elegir la estimación inicial u ₀ ( x ), el operador lineal auxiliar y el parámetro de control de convergencia c ₀ en la ecuación de deformación de orden cero. Por lo tanto, el HAM proporciona al matemático libertad para elegir el tipo de ecuación de la ecuación de deformación de alto orden y las funciones base de su solución. El valor óptimo del parámetro de control de convergencia c ₀ está determinado por el mínimo del error residual cuadrado de las ecuaciones gobernantes y/o condiciones de contorno después de que se haya resuelto la forma general para la estimación inicial y el operador lineal elegidos. Por lo tanto, el parámetro de control de convergencia c ₀ es una forma sencilla de garantizar la convergencia de la solución de la serie de homotopía y diferencia al HAM de otros métodos de aproximación analítica. El método en general ofrece una generalización útil del concepto de homotopía. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

El HAM y el álgebra informática.

El HAM es un método de aproximación analítica diseñado para la era de las computadoras con el objetivo de "calcular con funciones en lugar de números". En combinación con un sistema de álgebra computacional como Mathematica o Maple , se pueden obtener aproximaciones analíticas de un problema altamente no lineal a un orden arbitrariamente alto mediante el HAM en sólo unos segundos. Inspirado por las recientes aplicaciones exitosas del HAM en diferentes campos, se ha puesto a disposición en línea un paquete de Mathematica basado en el HAM, llamado BVPh, para resolver problemas de valores en la frontera no lineales [4]. BVPh es un paquete de solución para EDO altamente no lineales con singularidades, soluciones múltiples y condiciones de contorno multipunto en un intervalo finito o infinito, e incluye soporte para ciertos tipos de PDE no lineales. ^[8] Se ha producido otro código de Mathematica basado en HAM, APOh, para resolver una aproximación analítica explícita del límite de ejercicio óptimo de la opción de venta estadounidense, que también está disponible en línea [5].

Análisis de respuesta de frecuencia para osciladores no lineales.

Recientemente se ha informado que el HAM es útil para obtener soluciones analíticas para ecuaciones de respuesta de frecuencia no lineales. Estas soluciones son capaces de capturar diversos comportamientos no lineales, como comportamientos de tipo endurecido, de tipo suavizado o mixtos del oscilador. ^{[19] [20]} Estas ecuaciones analíticas también son útiles en la predicción del caos en sistemas no lineales. ^[21]

Referencias

1. Liao, SJ (1992), La técnica de análisis de homotopía propuesta para la solución de problemas no lineales , tesis doctoral, Universidad Jiao Tong de Shanghai
2. Liao, SJ (1999), "Una aproximación explícita y totalmente analítica de los problemas de flujo viscoso de Blasius", Revista Internacional de Mecánica No Lineal , 34 (4): 759–778, Bibcode :1999IJNLM..34..759L, doi :10.1016/S0020-7462(98)00056-0
3. Liao, SJ (2003), Más allá de la perturbación: Introducción al método de análisis de homotopía , Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-407-1[1]
4. Adomian, G. (1994). Resolución de problemas de Frontera de la Física: El método de descomposición . Editores académicos de Kluwer.
5. Liang, Songxin; Jeffrey, David J. (2009), "Comparación del método de análisis de homotopía y el método de perturbación de homotopía mediante una ecuación de evolución", Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica , 14 (12): 4057–4064, Bibcode :2009CNSNS..14.4057L, doi :10.1016/j.cnsns.2009.02.016
6. Sajid, M.; Hayat, T. (2008), "Comparación de los métodos HAM y HPM en ecuaciones de convección y conducción de calor no lineales", Análisis no lineal: aplicaciones del mundo real , 9 (5): 2296–2301, doi :10.1016/j.nonrwa.2007.08. 007
7. Motsa, SS; Sibanda, P.; Awad, FG; Shateyi, S. (2010), "Un nuevo método de análisis de homotopía espectral para el problema MHD Jeffery-Hamel", Computers & Fluids , 39 (7): 1219–1225, doi :10.1016/j.compfluid.2010.03.004
8. Liao, SJ (2012), Método de análisis de homotopía en ecuaciones diferenciales no lineales , Berlín y Beijing: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-7-04-032298-9[2]
9. Vajravelu, K.; Van Gorder (2013), Fenómenos de flujo no lineal y análisis de homotopía , Berlín y Beijing: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-3-642-32102-3[3]
10. Xu, DL; Lin, ZL; Liao, SJ; Stiassnie, M. (2012), "Sobre las ondas progresivas totalmente resonantes en estado estacionario en agua de profundidad finita", Journal of Fluid Mechanics , 710 : 379–418, Bibcode : 2012JFM...710..379X, doi : 10.1017 /jfm.2012.370, S2CID  122094345
11. Liao, SJ (2013), "¿Existen realmente ondas de agua solitarias puntiagudas?", Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica , 19 (6): 1792–1821, arXiv : 1204.3354 , Bibcode : 2014CNSNS..19.1792L, doi : 10.1016/j.cnsns.2013.09.042, S2CID  119203215
12. Abbasbandy, S. (2006), "La aplicación del método de análisis de homotopía a ecuaciones no lineales que surgen en la transferencia de calor", Physics Letters A , 360 (1): 109–113, Bibcode :2006PhLA..360..109A, doi : 10.1016/j.physleta.2006.07.065
13. Chen, YM; Liu, JK (2009), "Solución uniformemente válida del ciclo límite de la ecuación de Duffing-van der Pol", Mechanics Research Communications , 36 (7): 845–850, doi :10.1016/j.mechrescom.2009.06.001
14. Zhu, SP (2006), "Una solución exacta y explícita para la valoración de opciones de venta estadounidenses", Finanzas cuantitativas , 6 (3): 229–242, doi :10.1080/14697680600699811, S2CID  121851109
15. Turkyilmazoglu, M. (2009), "Soluciones puramente analíticas del flujo de la capa límite comprimible debido a un disco giratorio poroso con transferencia de calor", Física de fluidos , 21 (10): 106104–106104–12, Bibcode :2009PhFl.. .21j6104T, doi :10.1063/1.3249752
16. Parque, Sang-Hyeon; Kim, Jeong-Hoon (2011), "Método de análisis de homotopía para la fijación de precios de opciones en condiciones de volatilidad estocástica", Applied Mathematics Letters , 24 (10): 1740–1744, doi : 10.1016/j.aml.2011.04.034
17. Mastroberardino, A. (2011), "Método de análisis de homotopía aplicado al flujo electrohidrodinámico", Commun. No lineal. Ciencia. Número. Simulado. , 16 (7): 2730–2736, Bibcode :2011CNSNS..16.2730M, doi :10.1016/j.cnsns.2010.10.004
18. Nassar, Christopher J.; Revelli, José F.; Bowman, Robert J. (2011), "Aplicación del método de análisis de homotopía a la ecuación de Poisson-Boltzmann para dispositivos semiconductores", Commun Nonlinear Sci Numer Simulat , 16 (6): 2501–2512, Bibcode :2011CNSNS..16.2501N, doi :10.1016/j.cnsns.2010.09.015
19. Tajaddodianfar, Farid (2017). "Dinámica no lineal de resonadores MEMS/NEMS: solución analítica por el método de análisis de homotopía". Tecnologías de microsistemas . 23 (6): 1913-1926. doi :10.1007/s00542-016-2947-7. S2CID  113216381.
20. Tajaddodianfar, Farid (marzo de 2015). "Sobre la dinámica de micro/nanoresonadores biestables: solución analítica y comportamiento no lineal". Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 20 (3): 1078–1089. Código Bib : 2015CNSNS..20.1078T. doi : 10.1016/j.cnsns.2014.06.048.
21. Tajaddodianfar, Farid (enero de 2016). "Predicción del caos en micronanoresonadores de arco accionados electrostáticamente: enfoque analítico". Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 30 (1–3): 182–195. doi : 10.1016/j.cnsns.2015.06.013 .

enlaces externos

• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm