Ecuación diferencial parcial separable

Una ecuación diferencial parcial separable se puede descomponer en un conjunto de ecuaciones de menor dimensionalidad (menos variables independientes) mediante un método de separación de variables . Generalmente, se basa en que el problema tenga alguna forma o simetría especial . De esta manera, la ecuación diferencial parcial (EDP) se puede resolver resolviendo un conjunto de EDP más simples, o incluso ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) si el problema se puede descomponer en ecuaciones unidimensionales.

La forma más común de separación de variables es la separación simple de variables. Se obtiene una solución suponiendo una solución de la forma dada por un producto de funciones de cada coordenada individual. Existe una forma especial de separación de variables llamada -separación de variables que se logra escribiendo la solución como una función fija particular de las coordenadas multiplicada por un producto de funciones de cada coordenada individual. La ecuación de Laplace es un ejemplo de una ecuación diferencial parcial que admite soluciones a través de -separación de variables; en el caso tridimensional, esto utiliza coordenadas de 6-esferas . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle R}$

(Esto no debe confundirse con el caso de una EDO separable, que se refiere a una clase algo diferente de problemas que pueden dividirse en un par de integrales ; consulte separación de variables ).

Ejemplo

Por ejemplo, considere la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

${\displaystyle [-\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )]\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )}$

para la función (en unidades adimensionales, para simplificar). (De manera equivalente, considere la ecuación no homogénea de Helmholtz ). Si la función en tres dimensiones tiene la forma ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle V(x_{1},x_{2},x_{3})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3}),}$

Entonces resulta que el problema se puede separar en tres EDO unidimensionales para las funciones , , y , y la solución final se puede escribir como . (De manera más general, los casos separables de la ecuación de Schrödinger fueron enumerados por Eisenhart en 1948. ^[1] ) ${\displaystyle \psi _{1}(x_{1})}$ ${\displaystyle \psi _{2}(x_{2})}$ ${\displaystyle \psi _{3}(x_{3})}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\psi _{1}(x_{1})\cdot \psi _{2}(x_{2})\cdot \psi _{3}(x_{3})}$

Referencias

1. Eisenhart, LP (1 de julio de 1948). "Enumeración de potenciales para los cuales las ecuaciones de Schrödinger de una partícula son separables". Physical Review . 74 (1). American Physical Society (APS): 87–89. Bibcode :1948PhRv...74...87E. doi :10.1103/physrev.74.87. ISSN  0031-899X.