El problema de Bernstein

Problema de geometría diferencial

En geometría diferencial , el problema de Bernstein es el siguiente: si la gráfica de una función en R ^{n −1} es una superficie mínima en R ⁿ , ¿esto implica que la función es lineal? Esto es cierto para n como máximo 8, pero falso para n como mínimo 9. El problema recibe su nombre de Sergei Natanovich Bernstein, quien resolvió el caso  n  = 3 en 1914.

Declaración

Supongamos que f es una función de n  − 1 variables reales. La gráfica de f es una superficie en R ⁿ , y la condición de que ésta sea una superficie mínima es que f satisfaga la ecuación de superficie mínima

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}=0}$

El problema de Bernstein pregunta si una función entera (una función definida en R ^{n −1} ) que resuelve esta ecuación es necesariamente un polinomio de grado 1.

Historia

Bernstein (1915-1917) demostró el teorema de Bernstein de que un gráfico de una función real en R ² que también es una superficie mínima en R ³ debe ser un plano.

Fleming (1962) dio una nueva prueba del teorema de Bernstein al deducirlo del hecho de que no existe ningún cono no plano que minimice el área en R ³ .

De Giorgi (1965) demostró que si no hay un cono no plano que minimice el área en R ^{n −1} , entonces el análogo del teorema de Bernstein es verdadero para los grafos en R ⁿ , lo que en particular implica que es verdadero en R ⁴ .

Almgren (1966) demostró que no hay conos minimizadores no planos en R ⁴ , extendiendo así el teorema de Bernstein a R ⁵ .

Simons (1968) demostró que no hay conos minimizadores no planos en R ⁷ , extendiendo así el teorema de Bernstein a R ⁸ . También demostró que la superficie definida por

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}}$

es un cono localmente estable en R ⁸ y se preguntó si minimiza el área globalmente.

Bombieri, De Giorgi y Giusti (1969) demostraron que el cono de Simons efectivamente se minimiza globalmente y que en R ⁿ para n ≥9 hay grafos que son mínimos, pero no hiperplanos. Combinado con el resultado de Simons, esto demuestra que el análogo del teorema de Bernstein es verdadero en R ⁿ para n ≤8 y falso en dimensiones superiores.

Referencias

• Almgren, FJ (1966), "Algunos teoremas de regularidad interior para superficies mínimas y una extensión del teorema de Bernstein", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 84 (2): 277–292, doi :10.2307/1970520, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970520, MR  0200816
• Bernstein, SN (1915-1917), "Sur une théorème de géometrie et ses apps aux équations dérivées partielles du type elliptique", Comm. Soc. Matemáticas. Jarkov , 15 : 38–45Traducción al alemán en Bernstein, Serge (1927), "Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus", Mathematische Zeitschrift (en alemán), 26 , Springer Berlin / Heidelberg: 551–558, doi :10.1007/BF01475472 , ISSN  0025-5874
• Bombieri, Enrico ; De Giorgi, Ennio ; Giusti, E. (1969), "Los conos mínimos y el problema de Bernstein", Inventiones Mathematicae , 7 (3): 243–268, doi :10.1007/BF01404309, ISSN  0020-9910, MR  0250205, S2CID  59816096
• De Giorgi, Ennio (1965), "Una extensión del teorema di Bernstein", Ann. Norma de la escuela. Sorber. Pisa (3) , 19 : 79–85, SEÑOR  0178385
• Fleming, Wendell H. (1962), "Sobre el problema de la meseta orientada", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II , 11 : 69–90, doi : 10.1007/BF02849427, ISSN  0009-725X, SEÑOR  0157263
• Sabitov, I. Kh. (2001) [1994], "Teorema de Bernstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Simons, James (1968), "Variedades mínimas en variedades riemannianas", Annals of Mathematics , Segunda serie, 88 (1): 62–105, doi :10.2307/1970556, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970556, MR  0233295
• Straume, E. (2001) [1994], "Problema de Bernstein en geometría diferencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el teorema de Bernstein