Ecuación de Laplace

Ecuación diferencial parcial de segundo orden

En matemáticas y física , la ecuación de Laplace es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que recibe su nombre de Pierre-Simon Laplace , quien estudió por primera vez sus propiedades. A menudo se escribe como o donde es el operador de Laplace , ^{[nota 1]} es el operador de divergencia (también simbolizado "div"), es el operador de gradiente (también simbolizado "grad") y es una función de valor real dos veces diferenciable. Por lo tanto, el operador de Laplace asigna una función escalar a otra función escalar. $${\displaystyle \nabla ^{2}\!f=0}$$ $${\displaystyle \Delta f=0,}$$ ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle f(x,y,z)}$

Si el lado derecho se especifica como una función dada, , tenemos ${\displaystyle h(x,y,z)}$ $${\displaystyle \Delta f=h}$$

Esta ecuación se denomina ecuación de Poisson y es una generalización de la ecuación de Laplace. La ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson son los ejemplos más simples de ecuaciones diferenciales parciales elípticas . La ecuación de Laplace también es un caso especial de la ecuación de Helmholtz .

La teoría general de las soluciones de la ecuación de Laplace se conoce como teoría del potencial . Las soluciones dos veces continuamente diferenciables de la ecuación de Laplace son las funciones armónicas , ^[1] que son importantes en múltiples ramas de la física, en particular la electrostática, la gravitación y la dinámica de fluidos . En el estudio de la conducción de calor , la ecuación de Laplace es la ecuación de calor en estado estacionario . ^[2] En general, la ecuación de Laplace describe situaciones de equilibrio, o aquellas que no dependen explícitamente del tiempo.

Formas en diferentes sistemas de coordenadas

En coordenadas rectangulares , ^[3] $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}$$

En coordenadas cilíndricas , ^[3] $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}$$

En coordenadas esféricas , utilizando la convención, ^[3] ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

De manera más general, en coordenadas curvilíneas arbitrarias (ξ ⁱ ) , o donde g _ij es el tensor métrico euclidiano relativo a las nuevas coordenadas y Γ denota sus símbolos de Christoffel . $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\})}$$

Condiciones de contorno

Ecuación de Laplace en un anillo (radio interior r = 2 y radio exterior R = 4 ) con condiciones de contorno de Dirichlet u ( r =2) = 0 y u ( R =4) = 4 sin(5 θ )

El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace consiste en hallar una solución φ en un dominio D tal que φ en el límite de D sea igual a una función dada. Puesto que el operador de Laplace aparece en la ecuación del calor , una interpretación física de este problema es la siguiente: fijar la temperatura en el límite del dominio según la especificación dada de la condición de contorno. Dejar que el calor fluya hasta que se alcance un estado estacionario en el que la temperatura en cada punto del dominio ya no cambie. La distribución de temperatura en el interior vendrá dada entonces por la solución del problema de Dirichlet correspondiente.

Las condiciones de contorno de Neumann para la ecuación de Laplace no especifican la función φ en sí misma en el contorno de D sino su derivada normal . Físicamente, esto corresponde a la construcción de un potencial para un campo vectorial cuyo efecto se conoce solo en el contorno de D. Para el ejemplo de la ecuación del calor, equivale a prescribir el flujo de calor a través del contorno. En particular, en un contorno adiabático, la derivada normal de φ es cero.

Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas ; todas son analíticas dentro del dominio en el que se satisface la ecuación. Si dos funciones cualesquiera son soluciones de la ecuación de Laplace (o de cualquier ecuación diferencial homogénea lineal), su suma (o cualquier combinación lineal) también es una solución. Esta propiedad, llamada principio de superposición , es muy útil. Por ejemplo, las soluciones de problemas complejos se pueden construir sumando soluciones simples.

En dos dimensiones

La ecuación de Laplace en dos variables independientes en coordenadas rectangulares tiene la forma $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.}$$

Funciones analíticas

Las partes real e imaginaria de una función analítica compleja satisfacen ambas la ecuación de Laplace. Es decir, si z = x + iy , y si entonces la condición necesaria para que f ( z ) sea analítica es que u y v sean diferenciables y que se satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann : donde u _x es la primera derivada parcial de u con respecto a x . Se sigue que Por lo tanto u satisface la ecuación de Laplace. Un cálculo similar muestra que v también satisface la ecuación de Laplace. A la inversa, dada una función armónica, es la parte real de una función analítica, f ( z ) (al menos localmente). Si una forma de prueba es entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplirán si establecemos Esta relación no determina ψ , sino solo sus incrementos: La ecuación de Laplace para φ implica que se satisface la condición de integrabilidad para ψ : y por lo tanto ψ puede definirse mediante una integral de línea. La condición de integrabilidad y el teorema de Stokes implican que el valor de la integral de línea que conecta dos puntos es independiente del camino. El par de soluciones resultante de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas conjugadas . Esta construcción solo es válida localmente, o siempre que el camino no rodee una singularidad. Por ejemplo, si r y θ son coordenadas polares y entonces una función analítica correspondiente es $${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}$$ $${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}.}$$ $${\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.}$$ $${\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y),}$$ $${\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}.}$$ $${\displaystyle d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy.}$$ $${\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx},}$$ $${\displaystyle \varphi =\log r,}$$ $${\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta .}$$

Sin embargo, el ángulo θ tiene un solo valor sólo en una región que no encierra el origen.

La estrecha relación entre la ecuación de Laplace y las funciones analíticas implica que cualquier solución de la ecuación de Laplace tiene derivadas de todos los órdenes y puede desarrollarse en una serie de potencias , al menos dentro de un círculo que no encierre una singularidad. Esto contrasta marcadamente con las soluciones de la ecuación de onda , que generalmente tienen menos regularidad ^{[ cita requerida ]} .

Existe una conexión íntima entre las series de potencias y las series de Fourier . Si desarrollamos una función f en una serie de potencias dentro de un círculo de radio R , esto significa que con coeficientes adecuadamente definidos cuyas partes real e imaginaria están dadas por Por lo tanto , que es una serie de Fourier para f . Estas funciones trigonométricas pueden desarrollarse, utilizando fórmulas de ángulos múltiples . $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},}$$ $${\displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}.}$$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right],}$$

Flujo de fluidos

Sean las cantidades u y v las componentes horizontal y vertical del campo de velocidad de un flujo constante incompresible e irrotacional en dos dimensiones. La condición de continuidad para un flujo incompresible es que y la condición de que el flujo sea irrotacional es que Si definimos la diferencial de una función ψ por entonces la condición de continuidad es la condición de integrabilidad para esta diferencial: la función resultante se llama función de corriente porque es constante a lo largo de las líneas de flujo . Las primeras derivadas de ψ están dadas por y la condición de irrotacionalidad implica que ψ satisface la ecuación de Laplace. La función armónica φ que es conjugada a ψ se llama potencial de velocidad . Las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que Por lo tanto, toda función analítica corresponde a un flujo de fluido constante incompresible, irrotacional y no viscoso en el plano. La parte real es el potencial de velocidad y la parte imaginaria es la función de corriente. $${\displaystyle u_{x}+v_{y}=0,}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0.}$$ $${\displaystyle d\psi =v\,dx-u\,dy,}$$ $${\displaystyle \psi _{x}=v,\quad \psi _{y}=-u,}$$ $${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.}$$

Electrostática

Según las ecuaciones de Maxwell , un campo eléctrico ( u , v ) en dos dimensiones espaciales que es independiente del tiempo satisface y donde ρ es la densidad de carga. La primera ecuación de Maxwell es la condición de integrabilidad para el diferencial , por lo que el potencial eléctrico φ puede construirse para satisfacer La segunda de las ecuaciones de Maxwell implica entonces que es la ecuación de Poisson . La ecuación de Laplace se puede utilizar en problemas tridimensionales en electrostática y flujo de fluidos al igual que en dos dimensiones. $${\displaystyle \nabla \times (u,v,0)=(v_{x}-u_{y}){\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {0} ,}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot (u,v)=\rho ,}$$ $${\displaystyle d\varphi =-u\,dx-v\,dy,}$$ $${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.}$$ $${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho ,}$$

En tres dimensiones

Solución fundamental

Una solución fundamental de la ecuación de Laplace satisface donde la función delta de Dirac δ denota una fuente unitaria concentrada en el punto ( x ′, y ′, z ′) . Ninguna función tiene esta propiedad: de hecho es una distribución más que una función; pero puede considerarse como un límite de funciones cuyas integrales sobre el espacio son la unidad, y cuyo soporte (la región donde la función no es cero) se contrae a un punto (véase solución débil ). Es común tomar una convención de signos diferente para esta ecuación de la que se toma típicamente al definir soluciones fundamentales. Esta elección de signo es a menudo conveniente para trabajar porque −Δ es un operador positivo . La definición de la solución fundamental implica entonces que, si el laplaciano de u está integrado sobre cualquier volumen que encierra el punto fuente, entonces $${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x',y-y',z-z'),}$$ $${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=-1.}$$

La ecuación de Laplace no cambia bajo una rotación de coordenadas y, por lo tanto, podemos esperar que se pueda obtener una solución fundamental entre las soluciones que sólo dependen de la distancia r desde el punto de origen. Si elegimos que el volumen sea una bola de radio a alrededor del punto de origen, entonces el teorema de divergencia de Gauss implica que $${\displaystyle -1=\iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=\iint _{S}{\frac {du}{dr}}\,dS=\left.4\pi a^{2}{\frac {du}{dr}}\right|_{r=a}.}$$

De ello se deduce que en una esfera de radio r que está centrada en el punto fuente, y por lo tanto $${\displaystyle {\frac {du}{dr}}=-{\frac {1}{4\pi r^{2}}},}$$ $${\displaystyle u={\frac {1}{4\pi r}}.}$$

Nótese que, con la convención de signos opuestos (usada en física ), este es el potencial generado por una partícula puntual , para una fuerza de ley del inverso del cuadrado , que surge en la solución de la ecuación de Poisson . Un argumento similar muestra que en dos dimensiones donde log( r ) denota el logaritmo natural . Nótese que, con la convención de signos opuestos, este es el potencial generado por un sumidero puntual (ver partícula puntual ), que es la solución de las ecuaciones de Euler en flujo incompresible bidimensional . $${\displaystyle u=-{\frac {\log(r)}{2\pi }}.}$$

Función de Green

Una función de Green es una solución fundamental que también satisface una condición adecuada en el límite S de un volumen V . Por ejemplo, puede satisfacer $${\displaystyle G(x,y,z;x',y',z')}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \nabla G=-\delta (x-x',y-y',z-z')\qquad {\text{in }}V,}$$ $${\displaystyle G=0\quad {\text{if}}\quad (x,y,z)\qquad {\text{on }}S.}$$

Ahora bien, si u es cualquier solución de la ecuación de Poisson en V : $${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=-f,}$$

y u asume los valores límite g en S , entonces podemos aplicar la identidad de Green (una consecuencia del teorema de divergencia) que establece que

$${\displaystyle \iiint _{V}\left[G\,\nabla \cdot \nabla u-u\,\nabla \cdot \nabla G\right]\,dV=\iiint _{V}\nabla \cdot \left[G\nabla u-u\nabla G\right]\,dV=\iint _{S}\left[Gu_{n}-uG_{n}\right]\,dS.\,}$$

Las notaciones u _n y G _n denotan derivadas normales en S . En vista de las condiciones satisfechas por u y G , este resultado se simplifica a

$${\displaystyle u(x',y',z')=\iiint _{V}Gf\,dV+\iint _{S}G_{n}g\,dS.\,}$$

Así, la función de Green describe la influencia en ( x ′, y ′, z ′) de los datos f y g . Para el caso del interior de una esfera de radio a , la función de Green puede obtenerse por medio de una reflexión (Sommerfeld 1949): el punto fuente P a una distancia ρ del centro de la esfera se refleja a lo largo de su línea radial hasta un punto P' que está a una distancia

$${\displaystyle \rho '={\frac {a^{2}}{\rho }}.\,}$$

Nótese que si P está dentro de la esfera, entonces P′ estará fuera de la esfera. La función de Green está dada entonces por donde R denota la distancia al punto fuente P y R ′ denota la distancia al punto reflejado P ′. Una consecuencia de esta expresión para la función de Green es la fórmula integral de Poisson . Sean ρ , θ y φ las coordenadas esféricas para el punto fuente P . Aquí θ denota el ángulo con el eje vertical, lo cual es contrario a la notación matemática americana habitual, pero concuerda con la práctica estándar europea y física. Entonces la solución de la ecuación de Laplace con valores de contorno de Dirichlet g dentro de la esfera está dada por (Zachmanoglou & Thoe 1986, p. 228) donde es el coseno del ángulo entre ( θ , φ ) y ( θ ′, φ ′) . Una consecuencia sencilla de esta fórmula es que si u es una función armónica, entonces el valor de u en el centro de la esfera es el valor medio de sus valores en la esfera. Esta propiedad del valor medio implica inmediatamente que una función armónica no constante no puede asumir su valor máximo en un punto interior. $${\displaystyle {\frac {1}{4\pi R}}-{\frac {a}{4\pi \rho R'}},\,}$$ $${\displaystyle u(P)={\frac {1}{4\pi }}a^{3}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}\right)\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {g(\theta ',\varphi ')\sin \theta '}{(a^{2}+\rho ^{2}-2a\rho \cos \Theta )^{\frac {3}{2}}}}d\theta '\,d\varphi '}$$ $${\displaystyle \cos \Theta =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')}$$

Armónicos esféricos de Laplace

Armónicos esféricos reales (de Laplace) Y _ℓ ^m para ℓ = 0, ..., 4 (de arriba hacia abajo) y m = 0, ..., ℓ (de izquierda a derecha). Los armónicos zonales, sectoriales y tesserales se representan a lo largo de la columna más a la izquierda, la diagonal principal y en otros lugares, respectivamente. (Los armónicos de orden negativo se mostrarían rotados sobre el eje z con respecto a los de orden positivo). ${\displaystyle Y_{\ell }^{-m}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }/m}$

La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es: ^[4]

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

Consideremos el problema de hallar soluciones de la forma f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . Por separación de variables , resultan dos ecuaciones diferenciales imponiendo la ecuación de Laplace:

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$$

La segunda ecuación se puede simplificar suponiendo que Y tiene la forma Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Aplicando nuevamente la separación de variables a la segunda ecuación se obtiene el par de ecuaciones diferenciales

$${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$$ $${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$$

para algún número m . A priori, m es una constante compleja, pero como Φ debe ser una función periódica cuyo periodo divide exactamente a 2 π , m es necesariamente un entero y Φ es una combinación lineal de las exponenciales complejas e ^{± imφ} . La función solución Y ( θ , φ ) es regular en los polos de la esfera, donde θ = 0, π . Imponer esta regularidad en la solución Θ de la segunda ecuación en los puntos límite del dominio es un problema de Sturm–Liouville que fuerza al parámetro λ a tener la forma λ = ℓ ( ℓ + 1) para algún entero no negativo con ℓ ≥ | m | ; esto también se explica a continuación en términos del momento angular orbital . Además, un cambio de variables t = cos θ transforma esta ecuación en la ecuación de Legendre , cuya solución es un múltiplo del polinomio de Legendre asociado P _ℓ ^m (cos θ ) . Finalmente, la ecuación para R tiene soluciones de la forma R ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{− ℓ − 1} ; requiriendo que la solución sea regular en todo R ³ fuerzas B = 0 . ^{[nota 2]}

Aquí se supuso que la solución tenía la forma especial Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Para un valor dado de ℓ , hay 2 ℓ + 1 soluciones independientes de esta forma, una para cada entero m con − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Estas soluciones angulares son un producto de funciones trigonométricas , aquí representadas como una exponencial compleja , y polinomios de Legendre asociados: que cumplen $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$$ $${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Aquí Y _ℓ ^m se denomina función armónica esférica de grado ℓ y orden m , P _ℓ ^m es un polinomio de Legendre asociado , N es una constante de normalización y θ y φ representan la colatitud y la longitud, respectivamente. En particular, la colatitud θ , o ángulo polar, varía de 0 en el Polo Norte, a π /2 en el Ecuador, a π en el Polo Sur, y la longitud φ , o acimut , puede asumir todos los valores con 0 ≤ φ < 2 π . Para un entero fijo ℓ , cada solución Y ( θ , φ ) del problema de valor propio es una combinación lineal de Y _ℓ ^m . De hecho, para cualquier solución de este tipo, r ^ℓ Y ( θ , φ ) es la expresión en coordenadas esféricas de un polinomio homogéneo que es armónico (ver más abajo ), y por lo tanto el conteo de dimensiones muestra que hay 2 ℓ + 1 polinomios linealmente independientes de este tipo. $${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$$

La solución general de la ecuación de Laplace en una bola centrada en el origen es una combinación lineal de las funciones armónicas esféricas multiplicadas por el factor de escala apropiado r ^ℓ , donde f _ℓ ^m son constantes y los factores r ^ℓ Y _ℓ ^m se conocen como armónicos sólidos . Tal expansión es válida en la bola $${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$ $${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$$

Para , se eligen en cambio los armónicos sólidos con potencias negativas de . En ese caso, es necesario expandir la solución de las regiones conocidas en la serie de Laurent (aproximadamente ), en lugar de la serie de Taylor (aproximadamente ), para que coincidan los términos y hallar . ${\displaystyle r>R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$

Electrostática

Sea el campo eléctrico, la densidad de carga eléctrica y la permitividad del espacio libre. Entonces, la ley de Gauss para la electricidad (primera ecuación de Maxwell) en forma diferencial establece ^[5] ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

Ahora bien, el campo eléctrico puede expresarse como el gradiente negativo del potencial eléctrico , si el campo es irrotacional, . La irrotacionalidad de también se conoce como condición electrostática. ^[5] ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V,}$$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}V=-\nabla \cdot \mathbf {E} }$$

Introduciendo esta relación en la ley de Gauss, obtenemos la ecuación de Poisson para la electricidad, ^[5] $${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

En el caso particular de una región libre de fuentes, la ecuación de Poisson se reduce a la ecuación de Laplace para el potencial eléctrico. ^[5] ${\displaystyle \rho =0}$

Si el potencial electrostático se especifica en el límite de una región , entonces está determinado de manera única. Si está rodeado por un material conductor con una densidad de carga especificada y si se conoce la carga total, entonces también es único. ^[6] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$

Un potencial que no satisface la ecuación de Laplace junto con la condición de contorno es un potencial electrostático no válido.

Gravitación

Sea el campo gravitatorio, la densidad de masa y la constante gravitatoria. Entonces, la ley de Gauss para la gravitación en forma diferencial es ^[7] ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$$

El campo gravitacional es conservativo y, por lo tanto, puede expresarse como el gradiente negativo del potencial gravitacional: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {g} &=-\nabla V,\\\nabla \cdot \mathbf {g} &=\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V,\\\implies \nabla ^{2}V&=-\nabla \cdot \mathbf {g} .\end{aligned}}}$$

Utilizando la forma diferencial de la ley de gravitación de Gauss, tenemos que es la ecuación de Poisson para campos gravitacionales. ^[7] $${\displaystyle \nabla ^{2}V=4\pi G\rho ,}$$

En el espacio vacío, tenemos que es la ecuación de Laplace para los campos gravitacionales. ${\displaystyle \rho =0}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}V=0,}$$

En la métrica de Schwarzschild

S. Persides ^[8] resolvió la ecuación de Laplace en el espacio-tiempo de Schwarzschild sobre hipersuperficies de constante t . Utilizando las variables canónicas r , θ , φ la solución es donde Y _l ( θ , φ ) es una función armónica esférica , y $${\displaystyle \Psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{l}(\theta ,\varphi ),}$$ $${\displaystyle R(r)=(-1)^{l}{\frac {(l!)^{2}r_{s}^{l}}{(2l)!}}P_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right)+(-1)^{l+1}{\frac {2(2l+1)!}{(l)!^{2}r_{s}^{l+1}}}Q_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right).}$$

Aquí P _l y Q _l son funciones de Legendre de primera y segunda especie, respectivamente, mientras que r _s es el radio de Schwarzschild . El parámetro l es un entero no negativo arbitrario.

Véase también

• Coordenadas de 6 esferas , un sistema de coordenadas bajo el cual la ecuación de Laplace se vuelve R -separable
• Ecuación de Helmholtz , un caso general de la ecuación de Laplace.
• Armónico esférico
• Dominios de cuadratura
• Teoría del potencial
• Flujo potencial
• Transformada de Bateman
• El teorema de Earnshaw utiliza la ecuación de Laplace para demostrar que la suspensión ferromagnética estática estable es imposible.
• Laplaciano vectorial
• Solución fundamental

Notas

1. El símbolo delta, Δ, también se utiliza comúnmente para representar un cambio finito en alguna cantidad, por ejemplo, . Su uso para representar el laplaciano no debe confundirse con este uso. ${\displaystyle \Delta x=x_{1}-x_{2}}$
2. Las aplicaciones físicas a menudo toman la solución que se desvanece en el infinito, lo que hace que A = 0. Esto no afecta la porción angular de los armónicos esféricos.

Referencias

1. Stewart, James. Cálculo: trascendentales tempranas . 7.ª ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Capítulo 14: Derivadas parciales. pág. 908. ISBN  978-0-538-49790-9 .
2. Zill, Dennis G y Michael R Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera . 8.ª edición/ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Capítulo 12: Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares. pág. 462. ISBN 978-1-111-82706-9 . 
3. Griffiths, David J. Introducción a la electrodinámica . 4.ª ed., Pearson, 2013. Portada interior. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
4. El enfoque de los armónicos esféricos adoptado aquí se encuentra en (Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5).
5. Griffiths, David J. Introducción a la electrodinámica . 4.ª ed., Pearson, 2013. Capítulo 2: Electrostática. pág. 83-4. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
6. Griffiths, David J. Introducción a la electrodinámica . 4.ª ed., Pearson, 2013. Capítulo 3: Potenciales. págs. 119-121. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
7. Chicone, C.; Mashhoon, B. (2011-11-20). "Gravedad no local: ecuación de Poisson modificada". Revista de física matemática . 53 (4): 042501. arXiv : 1111.4702 . doi :10.1063/1.3702449. S2CID  118707082.
8. Persides, S. (1973). "Las ecuaciones de Laplace y Poisson en el espacio-tiempo de Schwarzschild". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 43 (3): 571–578. Bibcode :1973JMAA...43..571P. doi : 10.1016/0022-247X(73)90277-1 .

Fuentes

• Courant, Richard ; Hilbert, David (1962), Métodos de física matemática, Volumen I , Wiley-Interscience.
• Sommerfeld, A. (1949). Ecuaciones diferenciales parciales en física . Nueva York: Academic Press.
• Zachmanoglou, EC; Thoe, Dale W. (1986). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales con aplicaciones . Nueva York: Dover. ISBN 9780486652511.

Lectura adicional

• Evans, LC (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence: Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-0772-9.
• Petrovsky, IG (1967). Ecuaciones diferenciales parciales . Filadelfia: WB Saunders.
• Polyanin, AD (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos . Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-299-2.

Enlaces externos

• "Ecuación de Laplace", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuación de Laplace (soluciones particulares y problemas de valores en la frontera) en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ejemplos de problemas de valores iniciales en la frontera que utilizan la ecuación de Laplace de exampleproblems.com.
• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Laplace". MathWorld .
• Descubra cómo los problemas de valores en la frontera regidos por la ecuación de Laplace pueden resolverse numéricamente mediante el método de elementos de frontera.