Flujo potencial

Campo de velocidad como gradiente de una función escalar

Líneas de flujo potencial alrededor de un perfil aerodinámico NACA 0012 en un ángulo de ataque de 11° , con tubos de flujo superior e inferior identificados. El flujo es bidimensional y el perfil aerodinámico tiene una envergadura infinita.

En dinámica de fluidos , flujo potencial o flujo irrotacional se refiere a una descripción de un flujo de fluido sin vorticidad . Esta descripción surge típicamente en el límite de la viscosidad evanescente , es decir, para un fluido no viscoso y sin vorticidad presente en el flujo.

El flujo potencial describe el campo de velocidad como el gradiente de una función escalar: el potencial de velocidad . Como resultado, un flujo potencial se caracteriza por un campo de velocidad irrotacional , que es una aproximación válida para varias aplicaciones. La irrotacionalidad de un flujo potencial se debe a que la curvatura del gradiente de un escalar siempre es igual a cero.

En el caso de un flujo incompresible, el potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace y la teoría del potencial es aplicable. Sin embargo, los flujos potenciales también se han utilizado para describir flujos compresibles y flujos de Hele-Shaw . El enfoque del flujo potencial ocurre en el modelado de flujos tanto estacionarios como no estacionarios.

Las aplicaciones del flujo potencial incluyen: el campo de flujo exterior para perfiles aerodinámicos , ondas de agua , flujo electroosmótico y flujo de agua subterránea . Para flujos (o partes de ellos) con fuertes efectos de vorticidad , la aproximación del flujo potencial no es aplicable.

Descripción y características

Un flujo potencial se construye sumando flujos elementales simples y observando el resultado.

Líneas de corriente para el flujo potencial incompresible alrededor de un cilindro circular en un flujo de entrada uniforme.

En flujo potencial o irrotacional, el campo vectorial de vorticidad es cero, es decir,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0}$,

¿Dónde está el campo de velocidades? Como cualquier campo vectorial que tenga curvatura cero, el campo de velocidad se puede expresar como el gradiente de cierto escalar, por ejemplo llamado potencial de velocidad , ya que la curvatura del gradiente es siempre cero. Por lo tanto tenemos ^[1] ${\displaystyle \mathbf {(} \mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$

En regiones de flujo donde se sabe que la vorticidad es importante, como las estelas y las capas límite , la teoría del flujo potencial no puede proporcionar predicciones razonables del flujo. ^[2] Afortunadamente, a menudo hay grandes regiones de un flujo donde la suposición de irrotacionalidad es válida, razón por la cual el flujo potencial se utiliza para diversas aplicaciones. Por ejemplo, en: flujo alrededor de aeronaves , flujo de aguas subterráneas , acústica , ondas de agua y flujo electroosmótico . ^[3]

En flujo potencial, la circulación alrededor de cualquier contorno simplemente conexo es cero. Esto se puede demostrar usando el teorema de Stokes , ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \Gamma \equiv \oint _{C}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int \nabla \times \mathbf {v} \cdot d\mathbf {f} =0}$

donde es el elemento de línea en la curva de nivel y es el elemento de área de cualquier superficie delimitada por la curva de nivel. En un espacio multiconexo (por ejemplo, alrededor de un contorno que encierra un cuerpo sólido en dos dimensiones o alrededor de un contorno que encierra un toro en tres dimensiones) o en presencia de vórtices concentrados (por ejemplo, en los llamados vórtices irrotacionales o vórtices puntuales , o en anillos de humo), la circulación no tiene por qué ser cero. En el primer caso, el teorema de Stokes no se puede aplicar y en el segundo caso, es distinto de cero dentro de la región delimitada por el contorno. Alrededor de un contorno que rodea un cilindro sólido infinitamente largo con el cual el contorno gira veces, tenemos ${\displaystyle d\mathbf {l} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Gamma =N\gamma }$

donde es una constante cíclica. Este ejemplo pertenece a un espacio doblemente conexo. En un espacio conexo , hay constantes cíclicas, a saber, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ply}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{n-1}.}$

Flujo incompresible

En caso de un flujo incompresible , por ejemplo de un líquido o un gas con números de Mach bajos ; pero no para las ondas sonoras : la velocidad v tiene divergencia cero : ^[1]

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0\,,}$

con el punto que indica el producto interior . Como resultado, el potencial de velocidad φ debe satisfacer la ecuación de Laplace ^[1]

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0\,,}$

donde ∇ ² = ∇ ⋅ ∇ es el operador de Laplace (a veces también escrito Δ ). En este caso, el flujo se puede determinar completamente a partir de su cinemática : los supuestos de irrotacionalidad y divergencia cero del flujo. La dinámica sólo tiene que aplicarse después, si uno está interesado en calcular presiones: por ejemplo, para el flujo alrededor de superficies aerodinámicas mediante el uso del principio de Bernoulli .

En dos dimensiones, el flujo potencial se reduce a un sistema muy simple que se analiza mediante análisis complejos (ver más abajo).

Flujo compresible

Flujo constante

La teoría del flujo potencial también se puede utilizar para modelar el flujo compresible irrotacional. La derivación de la ecuación gobernante a partir de la ecuación de Euler es bastante sencilla. Las ecuaciones de continuidad y momento (flujo potencial) para flujos estacionarios están dadas por ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho }$

donde la última ecuación se deriva del hecho de que la entropía es constante para una partícula fluida y el cuadrado de la velocidad del sonido es . Eliminando de las dos ecuaciones gobernantes se obtiene ${\displaystyle c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}}$ ${\displaystyle \nabla \rho }$

${\displaystyle c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.}$

La versión incompresible surge en el límite . Sustituir aquí da como resultado ^{[4] [5]} ${\displaystyle c\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$

${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0}$

donde se expresa en función de la magnitud de la velocidad . Para un gas politrópico , donde es la relación de calor específico y es la entalpía de estancamiento . En dos dimensiones, la ecuación se simplifica a ${\displaystyle c=c(v)}$ ${\displaystyle v^{2}=(\nabla \phi )^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle h_{0}}$

${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}$

Validez: Tal como está, la ecuación es válida para cualquier flujo potencial no viscoso, independientemente de si el flujo es subsónico o supersónico (por ejemplo, flujo de Prandtl-Meyer ). Sin embargo, en los flujos supersónicos y también en los transónicos, pueden producirse ondas de choque que pueden introducir entropía y vorticidad en el flujo, haciéndolo rotacional. Sin embargo, hay dos casos en los que el flujo potencial prevalece incluso en presencia de ondas de choque, que se explican a partir de la ecuación del momento (no necesariamente potencial) escrita de la siguiente forma

${\displaystyle \nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s}$

donde es la entalpía específica , es el campo de vorticidad , es la temperatura y es la entropía específica. Dado que delante de la onda de choque principal tenemos un flujo potencial, la ecuación de Bernoulli muestra que es constante, que también es constante a lo largo de la onda de choque ( condiciones de Rankine-Hugoniot ) y por lo tanto podemos escribir ^[4] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h+v^{2}/2}$

${\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s}$

1) Cuando la onda de choque tiene una intensidad constante, la discontinuidad de entropía a través de la onda de choque también es constante, es decir, y por lo tanto la producción de vorticidad es cero. Las ondas de choque en el borde de ataque puntiagudo de una cuña bidimensional o un cono tridimensional ( flujo de Taylor-Maccoll ) tienen una intensidad constante. 2) Para ondas de choque débiles, el salto de entropía a través de la onda de choque es una cantidad de tercer orden en términos de fuerza de la onda de choque y, por lo tanto, puede despreciarse. Las ondas de choque en cuerpos delgados se encuentran casi paralelas al cuerpo y son débiles. ${\displaystyle \nabla s=0}$ ${\displaystyle \nabla s}$

Flujos casi paralelos: cuando el flujo es predominantemente unidireccional con pequeñas desviaciones, como en el flujo que pasa por cuerpos delgados, la ecuación completa se puede simplificar aún más. Seamos la corriente principal y consideremos pequeñas desviaciones de este campo de velocidades. El potencial de velocidad correspondiente se puede escribir como donde caracteriza la pequeña desviación del flujo uniforme y satisface la versión linealizada de la ecuación completa. Esto está dado por ${\displaystyle U\mathbf {e} _{x}}$ ${\displaystyle \varphi =xU+\phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle (1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}$

donde es el número de Mach constante correspondiente al flujo uniforme. Esta ecuación es válida siempre que no se acerque a la unidad. Cuando es pequeño (flujo transónico), tenemos la siguiente ecuación no lineal ^[4] ${\displaystyle M=U/c_{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |M-1|}$

${\displaystyle 2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

donde es el valor crítico de y es el volumen específico. El flujo transónico se caracteriza completamente por un único parámetro , que para el gas politrópico toma el valor . Bajo transformación hodógrafa , la ecuación transónica en dos dimensiones se convierte en la ecuación de Euler-Tricomi . ${\displaystyle \alpha _{*}}$ ${\displaystyle \alpha =(c^{4}/2V^{3})(\partial ^{2}V/\partial p^{2})_{s}}$ ${\displaystyle V=1/\rho }$ ${\displaystyle \alpha _{*}}$ ${\displaystyle \alpha _{*}=(\gamma +1)/2}$

flujo inestable

Las ecuaciones de continuidad y momento (flujo potencial) para flujos inestables están dadas por

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.}$

La primera integral de la ecuación del momento (flujo potencial) está dada por

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}-g(t)}$

donde y son funciones arbitrarias. Sin pérdida de generalidad, podemos establecer que since no está definido de forma única. Combinando estas ecuaciones obtenemos ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)=f'(t)}$ ${\displaystyle f(t)=g(t)=0}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}=c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} .}$

Sustituir aquí da como resultado ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{tt}+{\frac {1}{2}}(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).}$

Flujos casi paralelos: como antes, para flujos casi paralelos, podemos escribir (después de introducir un tiempo recalibrado ) ${\displaystyle \tau =c_{\infty }t}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

siempre que el número de Mach constante no esté cerca de la unidad. Cuando es pequeño (flujo transónico), tenemos la siguiente ecuación no lineal ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |M-1|}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.}$

Ondas sonoras: en las ondas sonoras, la magnitud de la velocidad (o el número de Mach) es muy pequeña, aunque el término inestable ahora es comparable a los otros términos principales de la ecuación. Así, ignorando todos los términos cuadráticos y de orden superior y observando que, en la misma aproximación, es una constante (por ejemplo, en un gas politrópico ), tenemos ^{[6] [4]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)h_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,}$

que es una ecuación de onda lineal para el potencial de velocidad φ . Nuevamente, la parte oscilatoria del vector velocidad v está relacionada con el potencial de velocidad mediante v = ∇ φ , mientras que, como antes, Δ es el operador de Laplace y c es la velocidad promedio del sonido en el medio homogéneo . Tenga en cuenta que también las partes oscilatorias de la presión p y la densidad ρ satisfacen individualmente la ecuación de onda, en esta aproximación.

Aplicabilidad y limitaciones

El flujo potencial no incluye todas las características de los flujos que se encuentran en el mundo real. La teoría del flujo potencial no se puede aplicar a flujos internos viscosos , ^[2] excepto a flujos entre placas muy espaciadas . Richard Feynman consideraba que el flujo potencial era tan poco físico que el único fluido que obedecía los supuestos era el "agua seca" (citando a John von Neumann). ^[7] El flujo potencial incompresible también hace una serie de predicciones inválidas, como la paradoja de d'Alembert , que establece que la resistencia de cualquier objeto que se mueve a través de un fluido infinito que de otro modo estaría en reposo es cero. ^[8] Más precisamente, el flujo potencial no puede explicar el comportamiento de los flujos que incluyen una capa límite . ^[2] Sin embargo, comprender el flujo potencial es importante en muchas ramas de la mecánica de fluidos. En particular, los flujos potenciales simples (llamados flujos elementales ), como el vórtice libre y la fuente puntual, poseen soluciones analíticas listas. Estas soluciones se pueden superponer para crear flujos más complejos que satisfagan una variedad de condiciones de contorno. Estos flujos se corresponden estrechamente con los flujos de la vida real en toda la mecánica de fluidos; Además, surgen muchas ideas valiosas al considerar la desviación (a menudo leve) entre un flujo observado y el flujo potencial correspondiente. El flujo potencial encuentra muchas aplicaciones en campos como el diseño de aeronaves. Por ejemplo, en dinámica de fluidos computacional , una técnica consiste en acoplar una solución de flujo potencial fuera de la capa límite a una solución de las ecuaciones de la capa límite dentro de la capa límite. La ausencia de efectos de capa límite significa que cualquier línea de corriente puede ser reemplazada por un límite sólido sin cambios en el campo de flujo, una técnica utilizada en muchos enfoques de diseño aerodinámico. Otra técnica sería la utilización de sólidos de Riabouchinsky . ^{[ dudoso ]}

Análisis de flujo incompresible bidimensional.

El flujo potencial en dos dimensiones es sencillo de analizar mediante mapeo conforme , mediante el uso de transformaciones del plano complejo . Sin embargo, no es necesario el uso de números complejos, como por ejemplo en el análisis clásico del flujo de fluido que pasa por un cilindro. No es posible resolver un flujo potencial utilizando números complejos en tres dimensiones. ^[9]

La idea básica es utilizar una función holomorfa (también llamada analítica ) o meromorfa f , que asigna el dominio físico ( x , y ) al dominio transformado ( φ , ψ ) . Si bien x , y , φ y ψ tienen todos valores reales , es conveniente definir las cantidades complejas

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\,,{\text{ and }}&w&=\varphi +i\psi \,.\end{aligned}}}$

Ahora, si escribimos el mapeo f como ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+iy)&=\varphi +i\psi \,,{\text{ or }}&f(z)&=w\,.\end{aligned}}}$

Entonces, debido a que f es una función holomorfa o meromorfa, tiene que satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Las componentes de la velocidad ( u , v ) , en las direcciones ( x , y ) respectivamente, se pueden obtener directamente de f diferenciando con respecto a z . Eso es ^[9]

${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=u-iv}$

Entonces el campo de velocidad v = ( u , v ) está especificado por ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},&v&={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Tanto φ como ψ satisfacen la ecuación de Laplace : ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ and }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}$

Entonces φ puede identificarse como el potencial de velocidad y ψ se llama función de corriente . ^{[9] Las líneas de} ψ constante se conocen como líneas de corriente y las líneas de φ constante se conocen como líneas equipotenciales (ver superficie equipotencial ).

Las líneas de corriente y las líneas equipotenciales son ortogonales entre sí, ya que ^[9]

${\displaystyle \nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.}$

Por tanto, el flujo se produce a lo largo de las líneas de ψ constante y en ángulo recto con las líneas de φ constante . ^[9]

También se cumple Δ ψ = 0 , siendo esta relación equivalente a ∇ × v = 0 . Entonces el flujo es irrotacional. La condición automática∂ ² Ψ/∂ x ∂ y=∂ ² Ψ/∂y ∂x​​luego da la restricción de incompresibilidad ∇ · v = 0 .

Ejemplos de flujos bidimensionales incompresibles.

Se puede utilizar cualquier función diferenciable para f . Los ejemplos que siguen utilizan una variedad de funciones elementales ; También se pueden utilizar funciones especiales . Tenga en cuenta que se pueden utilizar funciones de valores múltiples, como el logaritmo natural , pero la atención debe limitarse a una sola superficie de Riemann .

Leyes de potencia

Ejemplos de aplicaciones conformes para la ley de potencia w = Az ⁿ

Ejemplos de aplicaciones conformes para la ley de potencia w = Az ⁿ , para diferentes valores de la potencia n . Se muestra el plano z , que muestra líneas de potencial constante φ y función de corriente ψ , mientras que w = φ + iψ .

En caso de que se aplique el siguiente mapa conforme a la ley de potencias , desde z = x + iy hasta w = φ + iψ : ^[10]

${\displaystyle w=Az^{n}\,,}$

entonces, escribiendo z en coordenadas polares como z = x + iy = re ^iθ , tenemos ^[10]

${\displaystyle \varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.}$

En las figuras de la derecha se dan ejemplos para varios valores de n . La línea negra es el límite del flujo, mientras que las líneas azules más oscuras son líneas de corriente y las líneas azules más claras son líneas equipotenciales. Algunos poderes n interesantes son: ^[10]

• norte =1/2: esto corresponde al flujo alrededor de una placa semiinfinita,
• norte =2/3: fluir alrededor de una esquina derecha,
• n = 1 : un caso trivial de flujo uniforme,
• n = 2 : flujo a través de una esquina, o cerca de un punto de estancamiento, y
• n = −1 : flujo debido a un doblete de fuente

La constante A es un parámetro de escala: su valor absoluto | Un | determina la escala, mientras que su argumento arg( A ) introduce una rotación (si es distinta de cero).

Leyes de potencia con n = 1 : flujo uniforme

Si w = Az ¹ , es decir, una ley potencial con n = 1 , las líneas de corriente (es decir, líneas de ψ constante ) son un sistema de líneas rectas paralelas al eje x . Esto es más fácil de ver escribiendo en términos de componentes reales e imaginarios:

${\displaystyle f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy}$

dando así φ = Ax y ψ = Ay . Este flujo puede interpretarse como un flujo uniforme paralelo al eje x .

Leyes de potencia con n = 2

Si n = 2 , entonces w = Az ² y la línea de corriente correspondiente a un valor particular de ψ son aquellos puntos que satisfacen

${\displaystyle \psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,}$

que es un sistema de hipérbolas rectangulares . Esto puede verse reescribiendo nuevamente en términos de componentes reales e imaginarios. Observando que sin 2 θ = 2 sin θ cos θ y reescribiendo sin θ =y/ry porque θ =X/rse ve (al simplificar) que las líneas de corriente están dadas por

${\displaystyle \psi =2Axy\,.}$

El campo de velocidades viene dado por ∇ φ , o

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}$

En dinámica de fluidos, el campo de flujo cerca del origen corresponde a un punto de estancamiento . Tenga en cuenta que el fluido en el origen está en reposo (esto se deduce de la diferenciación de f (z) = z ² en z = 0 ). La línea de corriente ψ = 0 es particularmente interesante: tiene dos (o cuatro) ramas, siguiendo los ejes de coordenadas, es decir, x = 0 e y = 0 . Como ningún fluido fluye a través del eje x , éste (el eje x ) puede tratarse como un límite sólido. Por tanto, es posible ignorar el flujo en el semiplano inferior donde y < 0 y centrarse en el flujo en el semiplano superior. Según esta interpretación, el flujo es el de un chorro dirigido verticalmente que incide sobre una placa plana horizontal. El flujo también puede interpretarse como un flujo hacia una esquina de 90 grados si se ignoran las regiones especificadas por (digamos) x , y < 0 .

Leyes de potencia con n = 3

Si n = 3 , el flujo resultante es una especie de versión hexagonal del caso n = 2 considerado anteriormente. Las líneas de corriente están dadas por ψ = 3 x ² y − y ³ y el flujo en este caso puede interpretarse como un flujo hacia una esquina de 60°.

Leyes de potencia con n = −1 : doblete

Si n = −1 , las líneas de corriente vienen dadas por

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .}$

Esto se interpreta más fácilmente en términos de componentes reales e imaginarios:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}$

Por tanto, las líneas de corriente son círculos tangentes al eje x en el origen. Por lo tanto, los círculos en el semiplano superior fluyen en el sentido de las agujas del reloj, los del semiplano inferior en el sentido contrario a las agujas del reloj. Tenga en cuenta que los componentes de la velocidad son proporcionales a r ⁻² ; y sus valores en el origen son infinitos. Este patrón de flujo generalmente se denomina doblete o dipolo y puede interpretarse como la combinación de un par fuente-sumidero de fuerza infinita mantenido a una distancia infinitamente pequeña. El campo de velocidades está dado por

${\displaystyle (u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.}$

o en coordenadas polares:

${\displaystyle (u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.}$

Leyes de potencia con n = −2 : cuadrupolo

Si n = −2 , las líneas de corriente vienen dadas por

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.}$

Este es el campo de flujo asociado con un cuadrupolo . ^[11]

Fuente de línea y sumidero

Una línea de fuerza de fuente o sumidero ( para fuente y para sumidero) está dada por el potencial ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z}$

donde de hecho es el flujo de volumen por unidad de longitud a través de una superficie que encierra la fuente o el sumidero. El campo de velocidades en coordenadas polares es ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0}$

es decir, un flujo puramente radial.

vórtice de línea

Una línea de vórtice de fuerza está dada por ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z}$

¿Dónde está la circulación alrededor de cualquier contorno cerrado simple que encierre el vórtice? El campo de velocidades en coordenadas polares es ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$

es decir, un flujo puramente azimutal.

Análisis de flujos tridimensionales incompresibles.

Para flujos tridimensionales, no se puede obtener un potencial complejo.

Fuente puntual y sumidero

El potencial de velocidad de una fuente puntual o sumidero de fuerza ( para fuente y para sumidero) en coordenadas polares esféricas viene dado por ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle \phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}}$

donde , de hecho, es el flujo de volumen a través de una superficie cerrada que encierra la fuente o el sumidero. El campo de velocidades en coordenadas polares esféricas son ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.}$

Ver también

• Flujo potencial alrededor de un cilindro circular.
• Código de flujo potencial aerodinámico
• mapeo conforme
• Deriva de Darwin
• Red de flujo
• campo laplaciano
• Ecuación de Laplace para flujo irrotacional
• Teoría potencial
• Función de corriente
• Potencial de velocidad
• Descomposición de Helmholtz

Notas

1. Batchelor (1973) págs. 99-101.
2. Batchelor (1973) págs.
3. Kirby, BJ (2010), Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: transporte en dispositivos microfluídicos, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0
4. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: curso de física teórica, Volumen 6 (Vol. 6). Elsevier. Artículo 114, foja 436.
5. Anderson, JD (2002). Flujo compresible moderno . McGraw-Hill. págs. 358–359. ISBN 0-07-242443-5.
6. Cordero (1994) §287, págs. 492–495.
7. Feynman, RP ; Leighton, RB ; Sands, M. (1964), Las conferencias Feynman sobre física , vol. 2, Addison-Wesley, pag. 40-3. El capítulo 40 tiene por título: El fluir del agua seca .
8. Batchelor (1973) págs. 404–405.
9. Batchelor (1973) págs.
10. Batchelor (1973) págs.
11. Kyrala, A. (1972). Funciones aplicadas de una variable compleja . Wiley-Interscience. págs. 116-117. ISBN 9780471511298.

Referencias

• Batchelor, GK (1973), Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
• Chanson, H. (2009), Hidrodinámica aplicada: introducción a los flujos de fluidos ideales y reales, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
• Lamb, H. (1994) [1932], Hidrodinámica (6ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Milne-Thomson, LM (1996) [1968], Hidrodinámica teórica (5ª ed.), Dover, ISBN 0-486-68970-0

Otras lecturas

• Chanson, H. (2007), "Le potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels: la contribución de Joseph-Louis Lagrange [Potencial de velocidad en flujos de fluidos reales: contribución de Joseph-Louis Lagrange]", La Houille Blanche (en francés) , 93 (5): 127–131, doi : 10.1051/lhb:2007072
• Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960), "Ondas superficiales", en Flügge, S .; Truesdell, C. (eds.), Enciclopedia de Física, vol. IX, Springer Verlag, págs. 446–778, archivado desde el original el 5 de enero de 2009 , consultado el 29 de marzo de 2009.

enlaces externos

• "Flujo irritacional de un fluido no viscoso". Universidad de Génova , Facultad de Ingeniería . Consultado el 29 de marzo de 2009 .
• "Galería de mapas conformes". 3D-XplorMath . Consultado el 29 de marzo de 2009 .— Subprogramas de Java para explorar mapas conformes
• Visualizaciones de flujo potenciales: aplicaciones web interactivas