vorticidad

Campo pseudovectorial que describe la rotación local de un continuo cerca de algún punto

En mecánica continua , la vorticidad es un campo pseudovectorial que describe el movimiento giratorio local de un continuo cerca de algún punto (la tendencia de algo a girar ^[1] ), como lo vería un observador ubicado en ese punto y viajando junto con el flujo . . Es una cantidad importante en la teoría dinámica de los fluidos y proporciona un marco conveniente para comprender una variedad de fenómenos de flujo complejos, como la formación y el movimiento de anillos de vórtice . ^{[2] [3]}

Matemáticamente, la vorticidad es la curvatura de la velocidad del flujo : ^{[4] [3]} ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

${\displaystyle {\vec {\omega }}\equiv \nabla \times {\vec {u}}\,,}$

¿ Dónde está el operador nabla ? Conceptualmente, podría determinarse marcando partes de un continuo en una pequeña vecindad del punto en cuestión y observando sus desplazamientos relativos a medida que avanzan a lo largo del flujo. La vorticidad sería el doble del vector velocidad angular media de esas partículas con respecto a su centro de masa , orientadas según la regla de la mano derecha . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

En un flujo bidimensional , siempre es perpendicular al plano del flujo, y por tanto puede considerarse un campo escalar . ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

Ejemplos

En una masa continua que gira como un cuerpo rígido, la vorticidad es el doble del vector de velocidad angular de esa rotación. Este es el caso, por ejemplo, del núcleo central de un vórtice de Rankine . ^[5]

La vorticidad puede ser distinta de cero incluso cuando todas las partículas fluyen a lo largo de líneas rectas y paralelas , si hay cizallamiento (es decir, si la velocidad del flujo varía a lo largo de las líneas de corriente ). Por ejemplo, en el flujo laminar dentro de una tubería con sección transversal constante , todas las partículas viajan paralelas al eje de la tubería; pero más rápido cerca de ese eje, y prácticamente estacionario junto a las paredes. La vorticidad será cero en el eje y máxima cerca de las paredes, donde el corte es mayor.

Por el contrario, un flujo puede tener vorticidad cero aunque sus partículas viajen a lo largo de trayectorias curvas. Un ejemplo es el vórtice irrotacional ideal , donde la mayoría de las partículas giran alrededor de algún eje recto, con una velocidad inversamente proporcional a sus distancias a ese eje. Una pequeña porción de continuo que no se extiende a ambos lados del eje rotará en un sentido pero se cortará en el sentido opuesto, de tal manera que su velocidad angular media alrededor de su centro de masa sea cero.

Otra forma de visualizar la vorticidad es imaginar que, instantáneamente, una pequeña parte del continuo se vuelve sólida y el resto del flujo desaparece. Si esa pequeña partícula sólida nueva está girando, en lugar de simplemente moverse con el flujo, entonces hay vorticidad en el flujo. En la siguiente figura, la subfigura izquierda no muestra vorticidad y la subfigura derecha demuestra la existencia de vorticidad.

Definición matemática

Matemáticamente, la vorticidad de un flujo tridimensional es un campo pseudovectorial, generalmente denotado por , definido como la curvatura del campo de velocidad que describe el movimiento continuo. En coordenadas cartesianas : ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=\nabla \times {\vec {v}}&={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}}&\,{\dfrac {\partial }{\partial y}}&\,{\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{pmatrix}}\\[6px]&={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}}&\quad {\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}}&\quad {\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

En palabras, la vorticidad indica cómo cambia el vector velocidad cuando uno se mueve una distancia infinitesimal en una dirección perpendicular a él.

En un flujo bidimensional donde la velocidad es independiente de la coordenada y no tiene componente, el vector de vorticidad siempre es paralelo al eje y, por lo tanto, puede expresarse como un campo escalar multiplicado por un vector unitario constante : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=\nabla \times {\vec {v}}&={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}}&\,{\dfrac {\partial }{\partial y}}&\,{\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{pmatrix}}\\[6px]&=\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right){\hat {z}}\,.\end{aligned}}}$

La vorticidad también está relacionada con la circulación del flujo (integral de línea de la velocidad) a lo largo de un camino cerrado mediante el teorema (clásico) de Stokes . Es decir, para cualquier elemento de superficie infinitesimal C con dirección normal y área , la circulación a lo largo del perímetro de es el producto escalar donde está la vorticidad en el centro de . ^[6] ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle d\Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}\cdot ({\vec {n}}\,dA)}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ ${\displaystyle C}$

Evolución

La evolución del campo de vorticidad en el tiempo se describe mediante la ecuación de vorticidad , que puede derivarse de las ecuaciones de Navier-Stokes . ^[7]

En muchos flujos reales donde se puede despreciar la viscosidad (más precisamente, en flujos con un número de Reynolds alto ), el campo de vorticidad se puede modelar mediante una colección de vórtices discretos, siendo la vorticidad insignificante en todas partes excepto en pequeñas regiones del espacio que rodean los ejes de los vórtices. Esto es cierto en el caso de un flujo potencial bidimensional (es decir, un flujo bidimensional de viscosidad cero), en cuyo caso el campo de flujo se puede modelar como un campo de valores complejos en el plano complejo .

La vorticidad es útil para comprender cómo se pueden alterar las soluciones de flujo potenciales ideales para modelar flujos reales. En general, la presencia de viscosidad provoca una difusión de vorticidad desde los núcleos de vórtice hacia el campo de flujo general; este flujo se explica por un término de difusión en la ecuación de transporte de vorticidad. ^[8]

Líneas de vórtice y tubos de vórtice

Una línea de vórtice o línea de vorticidad es una línea que es tangente en todas partes al vector de vorticidad local. Las líneas de vórtice están definidas por la relación ^[9]

${\displaystyle {\frac {dx}{\omega _{x}}}={\frac {dy}{\omega _{y}}}={\frac {dz}{\omega _{z}}}\,,}$

¿Dónde está el vector de vorticidad en coordenadas cartesianas ? ${\displaystyle {\vec {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

Un tubo de vórtice es la superficie del continuo formada por todas las líneas de vórtice que pasan a través de una curva cerrada dada (reducible) en el continuo. La 'fuerza' de un tubo de vórtice (también llamado flujo de vórtice ) ^[10] es la integral de la vorticidad en una sección transversal del tubo, y es la misma en todas partes a lo largo del tubo (porque la vorticidad tiene divergencia cero). Es una consecuencia de los teoremas de Helmholtz (o equivalentemente, del teorema de circulación de Kelvin ) que en un fluido no viscoso la "fuerza" del tubo de vórtice también es constante con el tiempo. Los efectos viscosos introducen pérdidas por fricción y dependencia del tiempo. ^[11]

En un flujo tridimensional, la vorticidad (medida por la integral de volumen del cuadrado de su magnitud) puede intensificarse cuando se extiende una línea de vórtice, un fenómeno conocido como estiramiento de vórtice . ^[12] Este fenómeno ocurre en la formación de un vórtice de bañera en el agua que fluye y en la acumulación de un tornado por corrientes de aire ascendentes.

Medidores de vorticidad

Medidor de vorticidad de paletas giratorias

El ingeniero hidráulico ruso A. Ya. inventó un medidor de vorticidad de paletas giratorias. Mílovich (1874-1958). En 1913 propuso un corcho con cuatro palas como dispositivo que mostraba cualitativamente la magnitud de la proyección vertical de la vorticidad y demostró una fotografía en movimiento del movimiento del flotador sobre la superficie del agua en un modelo de un recodo de un río. ^[13]

Los medidores de vorticidad de paletas giratorias se muestran comúnmente en películas educativas sobre mecánica continua (ejemplos famosos incluyen "Vorticidad" del NCFMF ^[14] y "Principios fundamentales de flujo" del Instituto de Investigación Hidráulica de Iowa ^[15] ).

Ciencias especificas

Aeronáutica

En aerodinámica , la distribución de sustentación sobre un ala finita se puede aproximar suponiendo que cada segmento del ala a lo largo de su envergadura tiene un vórtice de arrastre semiinfinito detrás de él. Entonces es posible resolver la fuerza de los vórtices utilizando el criterio de que no se induce flujo a través de la superficie del ala. Este procedimiento se denomina método de panel de vórtices de dinámica de fluidos computacional . Luego se suman las fuerzas de los vórtices para encontrar la circulación total aproximada alrededor del ala. Según el teorema de Kutta-Joukowski , la sustentación por unidad de luz es el producto de la circulación, la velocidad del aire y la densidad del aire.

Ciencias atmosféricas

La vorticidad relativa es la vorticidad relativa a la Tierra inducida por el campo de velocidad del aire. Este campo de velocidad del aire a menudo se modela como un flujo bidimensional paralelo al suelo, de modo que el vector de vorticidad relativa es generalmente una cantidad de rotación escalar perpendicular al suelo. La vorticidad es positiva cuando, mirando hacia la superficie de la Tierra, el viento gira en sentido antihorario. En el hemisferio norte, la vorticidad positiva se denomina rotación ciclónica , y la vorticidad negativa, rotación anticiclónica ; la nomenclatura se invierte en el hemisferio sur.

La vorticidad absoluta se calcula a partir de la velocidad del aire en relación con un sistema inercial y, por lo tanto, incluye un término debido a la rotación de la Tierra, el parámetro de Coriolis .

La vorticidad potencial es la vorticidad absoluta dividida por el espacio vertical entre niveles de temperatura (o entropía ) constante (potencial ). La vorticidad absoluta de una masa de aire cambiará si la masa de aire se estira (o comprime) en dirección vertical, pero la vorticidad potencial se conserva en un flujo adiabático . Como el flujo adiabático predomina en la atmósfera, la vorticidad potencial es útil como indicador aproximado de las masas de aire en la atmósfera en una escala de tiempo de unos pocos días, particularmente cuando se observa en niveles de entropía constante.

La ecuación de vorticidad barotrópica es la forma más sencilla de pronosticar el movimiento de las ondas de Rossby (es decir, las vaguadas y crestas de una altura geopotencial de 500  hPa ) durante un período de tiempo limitado (unos pocos días). En la década de 1950, los primeros programas exitosos de pronóstico numérico del tiempo utilizaron esa ecuación.

En los modelos numéricos de pronóstico del tiempo y los modelos de circulación general (GCM) modernos, la vorticidad puede ser una de las variables predichas, en cuyo caso la correspondiente ecuación dependiente del tiempo es una ecuación de pronóstico .

Relacionada con el concepto de vorticidad está la helicidad , definida como ${\displaystyle H(t)}$

${\displaystyle H(t)=\int _{V}{\vec {u}}\cdot {\vec {\omega }}\,dV}$

donde la integral es sobre un volumen dado . En la ciencia atmosférica, la helicidad del movimiento del aire es importante para pronosticar las supercélulas y el potencial de actividad de tornados . ^[dieciséis] ${\displaystyle V}$

Ver también

• Ecuación de vorticidad barotrópica
• La paradoja de D'Alembert
• entrofia
• palinstrofia
• Potencial de velocidad
• Vórtice
• tubo de vórtice
• Estiramiento de vórtice
• Vórtice de herradura
• Vórtices de punta de ala

Dinámica de fluidos

• Ley de Biot-Savart
• Circulación
• Ecuaciones de vorticidad
• Teorema de Kutta-Joukowski

Ciencias atmosféricas

• Ecuación de pronóstico
• Carl Gustav Rossby
• Hans Ertel

Referencias

1. Notas de conferencias de la Universidad de Washington Archivadas el 16 de octubre de 2015 en Wayback Machine.
2. Moffatt, HK (2015), "Dinámica de fluidos", en Nicholas J. Higham; et al. (eds.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, págs. 467–476
3. Guyon, Etienne; Hulin, Jean-Pierre; Pequeño, Luc; Mitescu, Catalin D. (2001). Hidrodinámica física . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 105, 268–310. ISBN 0-19-851746-7.
4. Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 10.ISBN​ 0-19-859679-0.
5. Acheson (1990), pág. 15
6. Clancy, LJ, Aerodinámica , Sección 7.11
7. Guyon y otros (2001), págs. 289-290
8. Thorne, Kip S .; Blandford, Roger D. (2017). Física clásica moderna: óptica, fluidos, plasmas, elasticidad, relatividad y física estadística . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 741.ISBN​ 9780691159027.
9. Kundu P y Cohen I. Mecánica de fluidos .
10. Introducción a la dinámica astrofísica de los gases Archivado el 14 de junio de 2011 en la Wayback Machine.
11. GK Batchelor, Introducción a la dinámica de fluidos (1967), sección 2.6, Cambridge University Press ISBN 0521098173
12. Licenciado, sección 5.2
13. Joukovsky NE (1914). "Sobre el movimiento del agua en las curvas de un río". Matematicheskii Sbornik . 28 .. Reimpreso en: Obras completas. vol. 4. Moscú; Leningrado. 1937. págs. 193–216, 231–233 (resumen en inglés).{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)"El flotador del profesor Milovich", como Joukovsky llama a este medidor de vorticidad, se muestra esquemáticamente en la figura de la página 196 de Obras completas.
14. Comité Nacional de Películas de Mecánica de Fluidos Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine.
15. Películas de Hunter Rouse - IIDH - Hidrociencia e ingeniería Archivado el 21 de abril de 2016 en Wayback Machine.
16. Scheeler, Martín W.; van Rees, Wim M.; Kedia, Hridesh; Kleckner, Dustin; Irvine, William TM (2017). "Medición completa de helicidad y su dinámica en tubos de vórtice". Ciencia . 357 (6350): 487–491. Código Bib : 2017 Ciencia... 357.. 487S. doi : 10.1126/ciencia.aam6897 . ISSN  0036-8075. PMID  28774926. S2CID  23287311.

Bibliografía

• Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-859679-0.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1987). Mecánica de fluidos (2ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-08-057073-0.
• Pozrikidis, C. (2011). Introducción a la Dinámica de Fluidos Teórica y Computacional . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-975207-2.
• Guyon, Etienne; Hulin, Jean-Pierre; Pequeño, Luc; Mitescu, Catalin D. (2001). Hidrodinámica física . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-851746-7.
• Batchelor, GK (2000) [1967], Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66396-2
• Clancy, LJ (1975), Aerodinámica , Pitman Publishing Limited, Londres ISBN 0-273-01120-0 
• " Glosario meteorológico "' The Weather Channel Interactive, Inc. 2004.
• " Vorticidad ". Publicación integrada.

Otras lecturas

• Ohkitani, K., " Relación elemental de vorticidad y ecuaciones relacionadas ". Prensa de la Universidad de Cambridge. 30 de enero de 2005. ISBN 0-521-81984-9 
• Chorin, Alexandre J. , " Vorticidad y Turbulencia ". Ciencias Matemáticas Aplicadas, Vol 103, Springer-Verlag. 1 de marzo de 1994. ISBN 0-387-94197-5 
• Majda, Andrew J. , Andrea L. Bertozzi, " Vorticidad y flujo incompresible ". Prensa de la Universidad de Cambridge; 2002. ISBN 0-521-63948-4 
• Tritton, DJ , " Dinámica de fluidos físicos ". Van Nostrand Reinhold, Nueva York. 1977. ISBN 0-19-854493-6 
• Arfken, G., " Métodos matemáticos para físicos ", 3ª ed. Prensa académica, Orlando, Florida. 1985. ISBN 0-12-059820-5 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W., " Vorticidad ". Scienceworld.wolfram.com.
• Doswell III, Charles A., " Introducción a la vorticidad para su aplicación en supercélulas y tornados ". Instituto Cooperativo de Estudios Meteorológicos de Mesoescala, Norman, Oklahoma.
• Cramer, MS, " Ecuaciones de Navier-Stokes - Teoremas del transporte de vorticidad: Introducción ". Fundamentos de la Mecánica de Fluidos.
• Parker, Douglas, " ENVI 2210 – Atmósfera y dinámica oceánica, 9: Vorticidad ". Escuela de Medio Ambiente, Universidad de Leeds. Septiembre de 2001.
• Graham, James R. , " Astronomía 202: Dinámica astrofísica de los gases ". Departamento de Astronomía, UC Berkeley .
  • " La ecuación de la vorticidad: fluidos incompresibles y barotrópicos ".
  • " Interpretación de la ecuación de vorticidad ".
  • " Teorema de vorticidad de Kelvin para flujo incompresible o barotrópico ".
• " Paquete de esferas 3.1 ". (incluye una colección del programa de vorticidad de FORTRAN)
• " Comunidad compresible de mesoescala (MC2) ^{[ enlace muerto permanente ]} Predicciones de modelos en tiempo real ". (Análisis de vorticidad potencial)