La rotación o movimiento rotacional es el movimiento circular de un objeto alrededor de una línea central, conocida como eje de rotación . Una figura plana puede girar en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de un eje perpendicular que se cruza en cualquier lugar dentro o fuera de la figura en un centro de rotación . Una figura sólida tiene un número infinito de ejes y ángulos de rotación posibles , incluida la rotación caótica (entre orientaciones arbitrarias ), en contraste con la rotación alrededor de un eje fijo .
El caso especial de una rotación con un eje interno que pasa por el propio centro de masa del cuerpo se conoce como giro (o autorrotación ). [1] En ese caso, la intersección de la superficie del eje de giro interno se puede llamar polo ; por ejemplo, la rotación de la Tierra define los polos geográficos . Una rotación alrededor de un eje completamente externo al cuerpo en movimiento se llama revolución ( u órbita ), por ejemplo, la órbita de la Tierra alrededor del Sol . Los extremos del eje externo de revolución pueden denominarse polos orbitales . [1]
Cualquier tipo de rotación está involucrado en un tipo correspondiente de velocidad angular (velocidad angular de giro y velocidad angular orbital) y momento angular (momento angular de giro y momento angular orbital).
Matemáticamente , una rotación es un movimiento de un cuerpo rígido que, a diferencia de una traslación , mantiene fijo al menos un punto. Esta definición se aplica a rotaciones en dos dimensiones (en un plano), en las que exactamente un punto se mantiene fijo; y también en tres dimensiones (en el espacio), en las que puntos adicionales pueden mantenerse fijos (como en la rotación alrededor de un eje fijo, como una línea infinita).
Todos los movimientos de un cuerpo rígido son rotaciones, traslaciones o combinaciones de ambas.
Una rotación es simplemente una orientación radial progresiva hacia un punto común. Ese punto común se encuentra dentro del eje de ese movimiento. El eje es perpendicular al plano del movimiento.
Si a una rotación alrededor de un punto o eje le sigue una segunda rotación alrededor del mismo punto/eje, se produce una tercera rotación. Lo inverso ( inverse ) de una rotación también es una rotación. Así, las rotaciones alrededor de un punto/eje forman un grupo . Sin embargo, una rotación alrededor de un punto o eje y una rotación alrededor de un punto/eje diferente puede dar como resultado algo distinto de una rotación, por ejemplo, una traslación.
Las rotaciones alrededor de los ejes x , y y z se denominan rotaciones principales . La rotación alrededor de cualquier eje se puede realizar realizando una rotación alrededor del eje x , seguida de una rotación alrededor del eje y y seguida de una rotación alrededor del eje z . Es decir, cualquier rotación espacial se puede descomponer en una combinación de rotaciones principales.
La combinación de cualquier secuencia de rotaciones de un objeto en tres dimensiones alrededor de un punto fijo siempre equivale a una rotación alrededor de un eje (que puede considerarse una rotación en el plano perpendicular a ese eje). De manera similar, la velocidad de rotación de un objeto en tres dimensiones en cualquier instante es alrededor de algún eje, aunque este eje puede estar cambiando con el tiempo.
En otras dimensiones que no sean tres, no tiene sentido describir una rotación alrededor de un eje, ya que más de un eje que pasa por el objeto puede mantenerse fijo; en cambio, las rotaciones simples se describen como en un plano. En cuatro o más dimensiones, una combinación de dos o más rotaciones en un plano no es, en general, una rotación en un solo plano.
Las rotaciones bidimensionales, a diferencia de las tridimensionales, no poseen eje de rotación, sólo un punto alrededor del cual se produce la rotación. Esto equivale, para transformaciones lineales, a decir que no hay dirección en el plano que se mantenga sin cambios mediante una rotación bidimensional, excepto, por supuesto, la identidad.
La cuestión de la existencia de tal dirección es la cuestión de la existencia de un vector propio para la matriz A que representa la rotación. Cada rotación 2D alrededor del origen a través de un ángulo en sentido antihorario se puede representar de manera bastante simple mediante la siguiente matriz :
Una determinación de valor propio estándar conduce a la ecuación característica
que tiene
como sus valores propios. Por lo tanto, no existe ningún valor propio real siempre que , lo que significa que A no mantiene ningún vector real en el plano sin cambios .
Sabiendo que la traza es invariante, el ángulo de rotación para una matriz de rotación ortogonal adecuada de 3 × 3 se encuentra mediante
Usando el arco-coseno principal, esta fórmula da un ángulo de rotación que satisface . El eje de rotación correspondiente debe definirse para que apunte en una dirección que limite el ángulo de rotación para que no exceda los 180 grados. (Esto siempre se puede hacer porque cualquier rotación de más de 180 grados alrededor de un eje siempre se puede escribir como una rotación si el eje se reemplaza con ).
Cada rotación adecuada en el espacio 3D tiene un eje de rotación, que se define de manera que cualquier vector que esté alineado con el eje de rotación no se verá afectado por la rotación. En consecuencia, y el eje de rotación, por lo tanto, corresponde a un vector propio de la matriz de rotación asociado con un valor propio de 1. Siempre que el ángulo de rotación sea distinto de cero (es decir, la rotación no es el tensor de identidad), existe uno y sólo uno de esos dirección. Debido a que A solo tiene componentes reales, hay al menos un valor propio real, y los dos valores propios restantes deben ser conjugados complejos entre sí (consulte Valores propios y vectores propios#Valores propios y el polinomio característico ). Sabiendo que 1 es un valor propio, se deduce que los dos valores propios restantes son conjugados complejos entre sí, pero esto no implica que sean complejos; podrían ser reales con doble multiplicidad. En el caso degenerado de un ángulo de rotación , los dos valores propios restantes son ambos iguales a −1. En el caso degenerado de un ángulo de rotación cero, la matriz de rotación es la identidad y los tres valores propios son 1 (que es el único caso en el que el eje de rotación es arbitrario).
No se requiere un análisis espectral para encontrar el eje de rotación. Si denota el vector propio unitario alineado con el eje de rotación, y si denota el ángulo de rotación, entonces se puede demostrar que . En consecuencia, el gasto de un análisis de valores propios se puede evitar simplemente normalizando este vector si tiene una magnitud distinta de cero. Por otro lado, si este vector tiene magnitud cero, significa que . En otras palabras, este vector será cero si y sólo si el ángulo de rotación es 0 o 180 grados, y el eje de rotación se puede asignar en este caso normalizando cualquier columna que tenga una magnitud distinta de cero. [2]
Esta discusión se aplica a una rotación adecuada y, por tanto , . Cualquier matriz ortogonal impropia de 3x3 se puede escribir como , en la cual es ortogonal propia. Es decir, cualquier matriz ortogonal impropia de 3x3 se puede descomponer como una rotación propia (a partir de la cual se puede encontrar un eje de rotación como se describe arriba) seguida de una inversión (multiplicación por −1). De ello se deduce que el eje de rotación de es también el vector propio de correspondiente a un valor propio de −1.
Así como toda rotación tridimensional tiene un eje de rotación, también toda rotación tridimensional tiene un plano, que es perpendicular al eje de rotación, y que la rotación deja invariante. La rotación, restringida a este plano, es una rotación 2D ordinaria.
La prueba procede de manera similar a la discusión anterior. Primero, supongamos que todos los valores propios de la matriz de rotación 3D A son reales. Esto significa que hay una base ortogonal, formada por los correspondientes vectores propios (que son necesariamente ortogonales), sobre la cual el efecto de la matriz de rotación simplemente la está estirando. Si escribimos A en esta base, es diagonal; pero una matriz ortogonal diagonal está formada solo por +1 y -1 en las entradas diagonales. Por tanto, no tenemos una rotación propiamente dicha, sino la identidad o el resultado de una secuencia de reflexiones.
Se deduce, entonces, que una rotación adecuada tiene algún valor propio complejo. Sea v el vector propio correspondiente. Entonces, como mostramos en el tema anterior, también es un vector propio, y y son tales que su producto escalar desaparece:
porque, dado que es real, es igual a su conjugado complejo , y y son ambas representaciones del mismo producto escalar entre y .
Esto significa y son vectores ortogonales. Además, ambos son vectores reales por construcción. Estos vectores abarcan el mismo subespacio que y , que es un subespacio invariante bajo la aplicación de A . Por tanto, abarcan un plano invariante.
Este plano es ortogonal al eje invariante, que corresponde al vector propio restante de A , con valor propio 1, debido a la ortogonalidad de los vectores propios de A.
Se dice que un vector está girando si cambia de orientación. Este efecto generalmente solo se acompaña cuando su vector de tasa de cambio tiene una componente perpendicular distinta de cero al vector original. Se puede demostrar que este es el caso considerando un vector parametrizado por alguna variable para la cual:
Lo que también da una relación de tasa de cambio del vector unitario al tomar A como tal vector:
De:
,
dado que el primer término es paralelo y el segundo perpendicular a él, podemos concluir en general que las componentes paralela y perpendicular de la tasa de cambio de un vector influyen independientemente solo en la magnitud u orientación del vector, respectivamente. Por lo tanto, un vector giratorio siempre tiene una componente perpendicular distinta de cero de su vector de tasa de cambio contra el propio vector.
La velocidad de rotación está dada por la frecuencia angular (rad/s) o la frecuencia ( vueltas por tiempo), o el período (segundos, días, etc.). La tasa de cambio de la frecuencia angular en el tiempo es la aceleración angular (rad/s 2 ), causada por el torque . La relación entre el par y la aceleración angular está dada por el momento de inercia .
El vector de velocidad angular (un vector axial ) también describe la dirección del eje de rotación. De manera similar, el par es un vector axial.
La física de la rotación alrededor de un eje fijo se describe matemáticamente con la representación de las rotaciones entre ejes y ángulos . Según la regla de la mano derecha , la dirección que se aleja del observador está asociada con la rotación en el sentido de las agujas del reloj y la dirección hacia el observador con la rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj, como un tornillo .
Es posible que los objetos tengan trayectorias circulares periódicas sin cambiar su orientación . Estos tipos de movimiento se tratan bajo el concepto de movimiento circular en lugar de rotación, más específicamente como traslación curvilínea. Dado que la traslación implica el desplazamiento de cuerpos rígidos preservando la orientación del cuerpo, en el caso de la traslación curvilínea, todos los puntos tienen la misma velocidad instantánea, mientras que el movimiento relativo sólo se puede observar en movimientos que implican rotación. [3]
En rotación, la orientación del objeto cambia y el cambio de orientación es independiente de los observadores cuyos marcos de referencia tienen una orientación relativa constante a lo largo del tiempo. Según el teorema de Euler , cualquier cambio de orientación puede describirse mediante una rotación alrededor de un eje que pasa por un punto de referencia elegido. [3] Por lo tanto, la distinción entre rotación y movimiento circular se puede hacer requiriendo un eje instantáneo para la rotación, una línea que pasa por el centro instantáneo del círculo y es perpendicular al plano de movimiento . En el ejemplo que muestra la traslación curvilínea, el centro de los círculos del movimiento se encuentra en una línea recta pero es paralelo al plano de movimiento y, por lo tanto, no se resuelve en un eje de rotación. Por el contrario, un cuerpo en rotación siempre tendrá su eje instantáneo de velocidad cero, perpendicular al plano de movimiento. [4]
De manera más general, debido al teorema de Chasles , cualquier movimiento de cuerpos rígidos puede tratarse como una composición de rotación y traslación , llamado movimiento plano general. [3] Un ejemplo simple de rotación pura se considera la rotación alrededor de un eje fijo .
Actualmente se cree que las leyes de la física son invariantes bajo cualquier rotación fija . (Aunque parecen cambiar cuando se ven desde un punto de vista giratorio: consulte el marco de referencia giratorio ).
En la cosmología física moderna, el principio cosmológico es la noción de que la distribución de la materia en el universo es homogénea e isotrópica cuando se ve a una escala lo suficientemente grande, ya que se espera que las fuerzas actúen uniformemente en todo el universo y no tengan una dirección preferida, y deberían Por lo tanto, no producen irregularidades observables en la estructuración a gran escala a lo largo de la evolución del campo de materia que fue inicialmente formado por el Big Bang.
En particular, para un sistema que se comporta igual independientemente de cómo esté orientado en el espacio, su Lagrangiano es rotacionalmente invariante . Según el teorema de Noether , si la acción (la integral en el tiempo de su lagrangiana) de un sistema físico es invariante bajo rotación, entonces el momento angular se conserva .
Las rotaciones de Euler proporcionan una descripción alternativa de una rotación. Es una composición de tres rotaciones definida como el movimiento que se obtiene al cambiar uno de los ángulos de Euler dejando los otros dos constantes. Las rotaciones de Euler nunca se expresan en términos del marco externo, o en términos del marco del cuerpo rotado en movimiento conjunto, sino en una mezcla. Constituyen un sistema de ejes de rotación mixto, donde el primer ángulo mueve la línea de nodos alrededor del eje externo z , el segundo gira alrededor de la línea de nodos y el tercero es una rotación intrínseca alrededor de un eje fijo en el cuerpo que se mueve.
Estas rotaciones se denominan precesión , nutación y rotación intrínseca .
En astronomía , la rotación es un fenómeno comúnmente observado; incluye tanto el giro (autorrotación) como la revolución orbital.
Las estrellas , los planetas y cuerpos similares pueden girar sobre sus ejes. La velocidad de rotación de los planetas del sistema solar se midió por primera vez mediante el seguimiento de características visuales. La rotación estelar se mide mediante el desplazamiento Doppler o mediante el seguimiento de las características de la superficie activa. Un ejemplo son las manchas solares , que giran alrededor del Sol a la misma velocidad que los gases exteriores que forman el Sol.
En algunas circunstancias, los cuerpos en órbita pueden bloquear su rotación de giro con su rotación orbital alrededor de un cuerpo más grande. Este efecto se llama bloqueo de marea ; la Luna está bloqueada por las mareas de la Tierra.
Esta rotación induce una aceleración centrífuga en el sistema de referencia de la Tierra que contrarresta ligeramente el efecto de la gravitación cuanto más cerca se está del ecuador . La gravedad de la Tierra combina ambos efectos de masa, de modo que un objeto pesa ligeramente menos en el ecuador que en los polos. Otra es que con el tiempo la Tierra se deforma ligeramente hasta convertirse en un esferoide achatado ; Se desarrolla un abultamiento ecuatorial similar en otros planetas.
Otra consecuencia de la rotación de un planeta son los fenómenos de precesión y nutación . Al igual que un giroscopio , el efecto general es un ligero "bamboleo" en el movimiento del eje de un planeta. Actualmente la inclinación del eje de la Tierra respecto a su plano orbital ( oblicuidad de la eclíptica ) es de 23,44 grados, pero este ángulo cambia lentamente (a lo largo de miles de años). (Véase también Precesión de los equinoccios y Estrella Polar .)
Si bien la revolución se usa a menudo como sinónimo de rotación , en muchos campos, particularmente en la astronomía y campos relacionados, la revolución , a menudo denominada revolución orbital para mayor claridad, se usa cuando un cuerpo se mueve alrededor de otro, mientras que la rotación se usa para referirse al movimiento alrededor de un eje. Las lunas giran alrededor de sus planetas, los planetas giran alrededor de sus estrellas (como la Tierra alrededor del Sol); y las estrellas giran lentamente alrededor de sus centros galaxiales . El movimiento de los componentes de las galaxias es complejo, pero suele incluir un componente de rotación.
La mayoría de los planetas del Sistema Solar , incluida la Tierra , giran en la misma dirección que orbitan alrededor del Sol . Las excepciones son Venus y Urano . Se puede pensar que Venus gira lentamente hacia atrás (o que está "al revés"). Urano gira casi de lado en relación con su órbita. La especulación actual es que Urano comenzó con una típica orientación progrado y fue derribado por un gran impacto al principio de su historia. El planeta enano Plutón (anteriormente considerado un planeta) es anómalo en varios aspectos, incluido el hecho de que también gira de lado.
En dinámica de vuelo , las principales rotaciones descritas anteriormente con los ángulos de Euler se conocen como cabeceo , balanceo y guiñada . El término rotación también se utiliza en aviación para referirse a la inclinación ascendente (el morro se mueve hacia arriba) de un avión, particularmente cuando comienza el ascenso después del despegue.
Las rotaciones principales tienen la ventaja de modelar una serie de sistemas físicos, como cardanes y joysticks , por lo que se visualizan fácilmente y son una forma muy compacta de almacenar una rotación. Pero son difíciles de usar en los cálculos, ya que incluso operaciones simples como combinar rotaciones son costosas y sufren de una especie de bloqueo de cardán donde los ángulos no se pueden calcular de manera única para ciertas rotaciones.
Muchas atracciones ofrecen rotación. Una noria tiene un eje central horizontal, y ejes paralelos para cada góndola, donde la rotación es opuesta, por gravedad o mecánicamente. Como resultado, en cualquier momento la orientación de la góndola es vertical (no girada), simplemente trasladada. La punta del vector de traslación describe un círculo. Un carrusel proporciona rotación alrededor de un eje vertical. Muchas atracciones proporcionan una combinación de rotaciones alrededor de varios ejes. En Chair-O-Planes la rotación alrededor del eje vertical se realiza mecánicamente, mientras que la rotación alrededor del eje horizontal se debe a la fuerza centrípeta . En las inversiones de las montañas rusas, la rotación alrededor del eje horizontal es uno o más ciclos completos, donde la inercia mantiene a las personas en sus asientos.
La rotación de una pelota u otro objeto, generalmente llamada giro , desempeña un papel en muchos deportes, incluido el efecto liftado y hacia atrás en el tenis , el inglés , el seguimiento y el dibujo en billar y pool , las bolas curvas en el béisbol , los bolos giratorios en el cricket , los deportes de disco volador , etc. Las palas de tenis de mesa se fabrican con diferentes características de superficie para permitir al jugador impartir una mayor o menor cantidad de efecto a la pelota.
La rotación de un jugador una o más veces alrededor de un eje vertical puede denominarse giro en patinaje artístico , giro (del bastón o del artista) en giro de bastón , o 360 , 540 , 720 , etc. en snowboard , etc. jugador o intérprete una o más veces alrededor de un eje horizontal puede denominarse flip , roll , voltereta , heli , etc. en gimnasia , esquí acuático o muchos otros deportes, o uno y medio , dos y un. -half , ganador (comenzando de espaldas al agua), etc. en buceo , etc. Una combinación de rotación vertical y horizontal (backflip con 360°) se llama möbius en el salto de estilo libre en esquí acuático .
La rotación de un jugador alrededor de un eje vertical, generalmente entre 180 y 360 grados, puede denominarse movimiento giratorio y se utiliza como maniobra engañosa o de evasión, o en un intento de jugar, pasar o recibir una pelota o un disco, etc. , o para permitirle a un jugador ver la portería o a otros jugadores. Se ve a menudo en hockey , baloncesto , fútbol de diversos códigos, tenis , etc.
