El desplazamiento angular (símbolo θ, ϑ o φ) -también llamado ángulo de rotación , desplazamiento rotacional o desplazamiento rotatorio- de un cuerpo físico es el ángulo (en unidades de radianes , grados , vueltas , etc.) que recorre el cuerpo. gira (gira o gira) alrededor de un centro o eje de rotación . El desplazamiento angular puede tener signo, lo que indica el sentido de rotación (p. ej., en el sentido de las agujas del reloj ); también puede ser mayor (en valor absoluto ) que una vuelta completa .
Cuando un cuerpo gira alrededor de su eje, el movimiento no puede analizarse simplemente como una partícula, ya que en el movimiento circular sufre una velocidad y aceleración cambiantes en cualquier momento. Cuando se trata de la rotación de un cuerpo, resulta más sencillo considerar el cuerpo mismo rígido. Un cuerpo generalmente se considera rígido cuando las separaciones entre todas las partículas permanecen constantes durante todo el movimiento del cuerpo, de modo que, por ejemplo, partes de su masa no salen despedidas. En un sentido realista, todas las cosas pueden ser deformables, sin embargo este impacto es mínimo e insignificante.
En el ejemplo ilustrado a la derecha (o arriba en algunas versiones móviles), una partícula o cuerpo P está a una distancia fija r del origen, O , y gira en sentido antihorario. Entonces se vuelve importante representar la posición de la partícula P en términos de sus coordenadas polares ( r , θ ). En este ejemplo particular, el valor de θ cambia, mientras que el valor del radio sigue siendo el mismo. (En coordenadas rectangulares ( x , y ) tanto x como y varían con el tiempo). A medida que la partícula se mueve a lo largo del círculo, recorre una longitud de arco s , que se relaciona con la posición angular a través de la relación:
El desplazamiento angular se puede expresar en radianes o grados. El uso de radianes proporciona una relación muy simple entre la distancia recorrida alrededor del círculo ( longitud del arco circular ) y la distancia r desde el centro ( radio ):
Por ejemplo, si un cuerpo gira 360° alrededor de un círculo de radio r , el desplazamiento angular viene dado por la distancia recorrida alrededor de la circunferencia - que es 2π r - dividida por el radio: que se simplifica fácilmente a: . Por lo tanto, 1 revolución son radianes.
La definición anterior forma parte del Sistema Internacional de Cantidades (ISQ), formalizado en la norma internacional ISO 80000-3 (Espacio y tiempo), [1] y adoptado en el Sistema Internacional de Unidades (SI). [2] [3]
El desplazamiento angular puede tener signo, lo que indica el sentido de rotación (p. ej., en el sentido de las agujas del reloj ); [1] también puede ser mayor (en valor absoluto ) que una vuelta completa . En el ISQ/SI, el desplazamiento angular se utiliza para definir el número de revoluciones , N =θ/(2π rad), una cantidad de tipo relación de dimensión uno .
En tres dimensiones, el desplazamiento angular es una entidad con una dirección y una magnitud. La dirección especifica el eje de rotación, que siempre existe en virtud del teorema de rotación de Euler ; la magnitud especifica la rotación en radianes alrededor de ese eje (usando la regla de la mano derecha para determinar la dirección). Esta entidad se llama eje-ángulo .
A pesar de tener dirección y magnitud, el desplazamiento angular no es un vector porque no obedece la ley conmutativa de la suma. [4] Sin embargo, cuando se trata de rotaciones infinitesimales, se pueden descartar los infinitesimales de segundo orden y en este caso aparece la conmutatividad.
Existen varias formas de describir las rotaciones, como matrices de rotación o ángulos de Euler . Consulte los gráficos sobre SO (3) para otros.
Dado que cualquier marco en el espacio puede describirse mediante una matriz de rotación, el desplazamiento entre ellos también puede describirse mediante una matriz de rotación. Siendo y dos matrices, la matriz de desplazamiento angular entre ellas se puede obtener como . Cuando se realiza este producto teniendo una diferencia muy pequeña entre ambos fotogramas obtendremos una matriz cercana a la identidad.
En el límite, tendremos una matriz de rotación infinitesimal.
Una matriz de rotación infinitesimal o matriz de rotación diferencial es una matriz que representa una rotación infinitamente pequeña .
Mientras que una matriz de rotación es una matriz ortogonal que representa un elemento de (el grupo ortogonal especial ), el diferencial de una rotación es una matriz simétrica sesgada en el espacio tangente (el álgebra de Lie ortogonal especial ), que no es en sí misma una matriz de rotación.
Una matriz de rotación infinitesimal tiene la forma
donde está la matriz identidad, es extremadamente pequeña y
Por ejemplo, si se representa una rotación tridimensional infinitesimal alrededor del eje x , un elemento base de