Cuerpo rígido

Objeto físico que no se deforma cuando se ejercen fuerzas o momentos sobre él.

La posición de un cuerpo rígido está determinada por la posición de su centro de masa y por su actitud (al menos seis parámetros en total). ^[1]

En física , un cuerpo rígido , también conocido como objeto rígido , ^[2] es un cuerpo sólido en el que la deformación es nula o despreciable. La distancia entre dos puntos dados sobre un cuerpo rígido permanece constante en el tiempo independientemente de las fuerzas o momentos externos ejercidos sobre él. Un cuerpo rígido suele considerarse como una distribución continua de masa .

En el estudio de la relatividad especial , no existe un cuerpo perfectamente rígido; y solo se puede suponer que los objetos son rígidos si no se mueven cerca de la velocidad de la luz . En mecánica cuántica , un cuerpo rígido suele considerarse como una colección de masas puntuales . Por ejemplo, las moléculas (que consisten en masas puntuales: electrones y núcleos) a menudo se consideran cuerpos rígidos (ver clasificación de moléculas como rotores rígidos ).

Cinemática

Posición lineal y angular

La posición de un cuerpo rígido es la posición ^{[ ancla rota ]} de todas las partículas que lo componen. Para simplificar la descripción de esta posición, aprovechamos la propiedad de que el cuerpo es rígido, es decir, que todas sus partículas mantienen la misma distancia entre sí. Si el cuerpo es rígido, es suficiente describir la posición de al menos tres partículas no colineales . Esto permite reconstruir la posición de todas las demás partículas, siempre que se conozca su posición invariante en el tiempo con respecto a las tres partículas seleccionadas. Sin embargo, normalmente se utiliza un enfoque diferente, matemáticamente más conveniente, pero equivalente. La posición de todo el cuerpo se representa mediante:

1. la posición lineal o posición del cuerpo, es decir, la posición de una de las partículas del cuerpo, elegida específicamente como punto de referencia (normalmente coincidiendo con el centro de masa o centroide del cuerpo), junto con
2. la posición angular (también conocida como orientación o actitud ) del cuerpo.

Por lo tanto, la posición de un cuerpo rígido tiene dos componentes: lineal y angular , respectivamente. ^[3] Lo mismo es cierto para otras cantidades cinemáticas y cinéticas que describen el movimiento de un cuerpo rígido, como la velocidad lineal y angular , la aceleración , el momento , el impulso y la energía cinética . ^[4]

La posición lineal ^{[ ancla rota ]} se puede representar mediante un vector con su cola en un punto de referencia arbitrario en el espacio (el origen de un sistema de coordenadas elegido ) y su punta en un punto de interés arbitrario en el cuerpo rígido, que normalmente coincide con su centro de masa o centroide . Este punto de referencia puede definir el origen de un sistema de coordenadas fijo al cuerpo.

Existen varias formas de describir numéricamente la orientación de un cuerpo rígido, incluyendo un conjunto de tres ángulos de Euler , un cuaternión o una matriz de coseno de dirección (también conocida como matriz de rotación ). Todos estos métodos definen en realidad la orientación de un conjunto base (o sistema de coordenadas ) que tiene una orientación fija relativa al cuerpo (es decir, gira junto con el cuerpo), en relación con otro conjunto base (o sistema de coordenadas), desde el que se observa el movimiento del cuerpo rígido. Por ejemplo, un conjunto base con orientación fija relativa a un avión se puede definir como un conjunto de tres vectores unitarios ortogonales b ₁ , b ₂ , b ₃ , tales que b ₁ es paralelo a la línea de cuerda del ala y se dirige hacia adelante, b ₂ es normal al plano de simetría y se dirige hacia la derecha, y b ₃ viene dado por el producto vectorial . ${\displaystyle b_{3}=b_{1}\times b_{2}}$

En general, cuando un cuerpo rígido se mueve, tanto su posición como su orientación varían con el tiempo. En sentido cinemático, estos cambios se denominan traslación y rotación , respectivamente. De hecho, la posición de un cuerpo rígido puede considerarse como una traslación y rotación hipotéticas (rototraslación) del cuerpo a partir de una posición de referencia hipotética (que no necesariamente coincide con una posición realmente adoptada por el cuerpo durante su movimiento).

Velocidad lineal y angular

La velocidad (también llamada velocidad lineal ) y la velocidad angular se miden con respecto a un marco de referencia .

La velocidad lineal de un cuerpo rígido es una cantidad vectorial , igual a la tasa de cambio de su posición lineal en función del tiempo. Por lo tanto, es la velocidad de un punto de referencia fijo en el cuerpo. Durante un movimiento puramente traslacional (movimiento sin rotación), todos los puntos de un cuerpo rígido se mueven con la misma velocidad . Sin embargo, cuando el movimiento implica rotación, la velocidad instantánea de dos puntos cualesquiera del cuerpo generalmente no será la misma. Dos puntos de un cuerpo en rotación tendrán la misma velocidad instantánea solo si se encuentran en un eje paralelo al eje instantáneo de rotación .

La velocidad angular es una cantidad vectorial que describe la velocidad angular a la que cambia la orientación del cuerpo rígido y el eje instantáneo sobre el que gira (la existencia de este eje instantáneo está garantizada por el teorema de rotación de Euler ). Todos los puntos de un cuerpo rígido experimentan la misma velocidad angular en todo momento. Durante el movimiento puramente rotacional, todos los puntos del cuerpo cambian de posición excepto aquellos que se encuentran en el eje instantáneo de rotación . La relación entre la orientación y la velocidad angular no es directamente análoga a la relación entre la posición y la velocidad. La velocidad angular no es la tasa temporal de cambio de orientación, porque no existe un concepto como un vector de orientación que pueda diferenciarse para obtener la velocidad angular.

Ecuaciones cinemáticas

Teorema de adición para la velocidad angular

La velocidad angular de un cuerpo rígido B en un marco de referencia N es igual a la suma de la velocidad angular de un cuerpo rígido D en N y la velocidad angular de B con respecto a D: ^[5]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }={}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {D} }+{}^{\mathrm {D} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }.}$

En este caso, los cuerpos rígidos y los marcos de referencia son indistinguibles y completamente intercambiables.

Teorema de adición para la posición

Para cualquier conjunto de tres puntos P, Q y R, el vector de posición de P a R es la suma del vector de posición de P a Q y el vector de posición de Q a R:

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PR} }=\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }+\mathbf {r} ^{\mathrm {QR} }.}$

La norma de un vector de posición es la distancia espacial. Aquí las coordenadas de los tres vectores deben expresarse en sistemas de coordenadas con la misma orientación.

Definición matemática de velocidad

La velocidad del punto P en el marco de referencia N se define como la derivada temporal en N del vector de posición de O a P: ^[6]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }={\frac {{}^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {OP} })}$

donde O es cualquier punto arbitrario fijo en el marco de referencia N, y la N a la izquierda del operador d/d t indica que la derivada se toma en el marco de referencia N. El resultado es independiente de la selección de O siempre que O esté fijo en N.

Definición matemática de aceleración

La aceleración del punto P en el marco de referencia N se define como la derivada temporal en N de su velocidad: ^[6]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }={\frac {^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }).}$

Velocidad de dos puntos fijos en un cuerpo rígido

Para dos puntos P y Q que están fijos en un cuerpo rígido B, donde B tiene una velocidad angular en el marco de referencia N, la velocidad de Q en N se puede expresar como una función de la velocidad de P en N: ^[7] ${\displaystyle \scriptstyle {^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}}$

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\!\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }.}$

donde es el vector de posición de P a Q., ^[7] con coordenadas expresadas en N (o un marco con la misma orientación que N). Esta relación se puede derivar de la invariancia temporal de la distancia norma entre P y Q. ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$

Aceleración de dos puntos fijos sobre un cuerpo rígido

Al diferenciar la ecuación para la velocidad de dos puntos fijos sobre un cuerpo rígido en N con respecto al tiempo, la aceleración en el marco de referencia N de un punto Q fijo sobre un cuerpo rígido B se puede expresar como

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \left({}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }\right)+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$

donde es la aceleración angular de B en el marco de referencia N. ^[7] ${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }}}$

Velocidad angular y aceleración de dos puntos fijos en un cuerpo rígido

Como se mencionó anteriormente, todos los puntos de un cuerpo rígido B tienen la misma velocidad angular en un marco de referencia fijo N y, por lo tanto, la misma aceleración angular. ${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }.}$

Velocidad de un punto que se mueve sobre un cuerpo rígido

Si el punto R se mueve en el cuerpo rígido B mientras B se mueve en el marco de referencia N, entonces la velocidad de R en N es

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

donde Q es el punto fijo en B que coincide instantáneamente con R en el instante de interés. ^[8] Esta relación a menudo se combina con la relación para la velocidad de dos puntos fijos en un cuerpo rígido .

Aceleración de un punto que se mueve sobre un cuerpo rígido

La aceleración en el marco de referencia N del punto R que se mueve en el cuerpo B mientras B se mueve en el marco N está dada por

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }+2{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times {}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

donde Q es el punto fijo en B que coincide instantáneamente con R en el instante de interés. ^[8] Esta ecuación a menudo se combina con Aceleración de dos puntos fijos en un cuerpo rígido .

Otras cantidades

Si C es el origen de un sistema de coordenadas local L , unido al cuerpo, la aceleración espacial o de torsión de un cuerpo rígido se define como la aceleración espacial de C (a diferencia de la aceleración del material anterior): donde $${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})-{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})={\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)+{\boldsymbol {\alpha }}(t)\times A(t)\mathbf {r} _{0}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$representa la posición del punto/partícula con respecto al punto de referencia del cuerpo en términos del sistema de coordenadas local L (la rigidez del cuerpo significa que esto no depende del tiempo)
• ${\displaystyle A(t)\,}$es la matriz de orientación , una matriz ortogonal con determinante 1, que representa la orientación (posición angular) del sistema de coordenadas local L , con respecto a la orientación de referencia arbitraria de otro sistema de coordenadas G . Piense en esta matriz como tres vectores unitarios ortogonales, uno en cada columna, que definen la orientación de los ejes de L con respecto a G .
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)}$representa la velocidad angular del cuerpo rígido
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})}$representa la velocidad total del punto/partícula
• ${\displaystyle \mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})}$representa la aceleración total del punto/partícula
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(t)}$representa la aceleración angular del cuerpo rígido
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})}$representa la aceleración espacial del punto/partícula
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)}$representa la aceleración espacial del cuerpo rígido (es decir, la aceleración espacial del origen de L ).

En 2D, la velocidad angular es un escalar y la matriz A(t) simplemente representa una rotación en el plano xy por un ángulo que es la integral de la velocidad angular en el tiempo.

Los vehículos , las personas que caminan, etc., suelen rotar según los cambios en la dirección de la velocidad: se mueven hacia adelante con respecto a su propia orientación. Entonces, si el cuerpo sigue una órbita cerrada en un plano, la velocidad angular integrada en un intervalo de tiempo en el que la órbita se completa una vez, es un entero multiplicado por 360°. Este entero es el número de giro con respecto al origen de la velocidad. Compare la cantidad de rotación asociada con los vértices de un polígono .

Cinética

Cualquier punto que esté conectado rígidamente al cuerpo puede usarse como punto de referencia (origen del sistema de coordenadas L ) para describir el movimiento lineal del cuerpo (los vectores de posición lineal, velocidad y aceleración dependen de la elección).

Sin embargo, dependiendo de la aplicación, una opción conveniente puede ser:

• el centro de masa de todo el sistema, que generalmente tiene el movimiento más simple para un cuerpo que se mueve libremente en el espacio;
• un punto tal que el movimiento de traslación es cero o simplificado, p. ej. en un eje o una bisagra , en el centro de una articulación esférica , etc.

Cuando se utiliza el centro de masa como punto de referencia:

• El momento (lineal) es independiente del movimiento de rotación. En cualquier instante es igual a la masa total del cuerpo rígido multiplicada por la velocidad de traslación.
• El momento angular respecto al centro de masas es el mismo que sin traslación: en cualquier instante es igual al tensor de inercia por la velocidad angular. Cuando la velocidad angular se expresa respecto a un sistema de coordenadas que coincide con los ejes principales del cuerpo, cada componente del momento angular es un producto de un momento de inercia (un valor principal del tensor de inercia) por el componente correspondiente de la velocidad angular; el par es el tensor de inercia por la aceleración angular .
• Los movimientos posibles en ausencia de fuerzas externas son la traslación con velocidad constante, la rotación constante alrededor de un eje principal fijo y también la precesión sin par .
• La fuerza externa neta sobre el cuerpo rígido siempre es igual a la masa total multiplicada por la aceleración traslacional (es decir, la segunda ley de Newton se cumple para el movimiento traslacional, incluso cuando el par externo neto es distinto de cero y/o el cuerpo gira).
• La energía cinética total es simplemente la suma de la energía traslacional y rotacional .

Geometría

Se dice que dos cuerpos rígidos son diferentes (no copias) si no hay rotación propia de uno al otro. Un cuerpo rígido se llama quiral si su imagen especular es diferente en ese sentido, es decir, si no tiene simetría o su grupo de simetría contiene solo rotaciones propias. En el caso opuesto, un objeto se llama aquiral: la imagen especular es una copia, no un objeto diferente. Un objeto de este tipo puede tener un plano de simetría, pero no necesariamente: también puede haber un plano de reflexión con respecto al cual la imagen del objeto sea una versión rotada. Esto último se aplica para S 2n , cuyo caso n = 1 es simetría de inversión.

En el caso de una lámina transparente rectangular (rígida), la simetría de inversión corresponde a tener en un lado una imagen sin simetría rotacional y en el otro lado una imagen tal que lo que trasluce es la imagen del lado superior, invertida. Podemos distinguir dos casos:

• La superficie de la hoja con la imagen no es simétrica: en este caso, los dos lados son diferentes, pero la imagen especular del objeto es la misma, después de una rotación de 180° alrededor del eje perpendicular al plano del espejo.
• La superficie de la hoja con la imagen tiene un eje de simetría: en este caso, los dos lados son iguales y la imagen reflejada del objeto también es la misma, nuevamente después de una rotación de 180° alrededor del eje perpendicular al plano del espejo.

Una lámina con una imagen transversal es aquiral. Podemos distinguir nuevamente dos casos:

• La superficie de la hoja con la imagen no tiene eje de simetría: los dos lados son diferentes.
• La superficie de la hoja con la imagen tiene un eje de simetría: los dos lados son iguales.

Espacio de configuración

El espacio de configuración de un cuerpo rígido con un punto fijo (es decir, un cuerpo con movimiento de traslación cero) está dado por la variedad subyacente del grupo de rotación SO(3) . El espacio de configuración de un cuerpo rígido no fijo (con movimiento de traslación distinto de cero) es E ⁺ (3) , el subgrupo de isometrías directas del grupo euclidiano en tres dimensiones (combinaciones de traslaciones y rotaciones ).

Véase también

• Velocidad angular
• Convenciones de ejes
• Rotación diferencial
• Dinámica de cuerpo rígido
• Rotaciones infinitesimales
• Ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos)
• Leyes de Euler
• Rigidez innata
• Rotor rígido
• Transformación rígida
• Mecánica geométrica
• Mecánica clásica (Goldstein)

Notas

1. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano (2000). "§2.4.2 Ángulos de balanceo, cabeceo y guiñada". Modelado y control de manipuladores robóticos (2.ª ed.). Springer. pág. 32. ISBN 1-85233-221-2.
2. Andy Ruina y Rudra Pratap (2015). Introducción a la estática y la dinámica . Oxford University Press.(enlace: [1])
3. En general, la posición de un punto o partícula también se conoce, en física, como posición lineal , en contraposición a la posición angular de una línea o segmento de línea (por ejemplo, en el movimiento circular , el "radio" que une el punto giratorio con el centro de rotación), o conjunto base , o sistema de coordenadas .
4. En cinemática , lineal significa "a lo largo de una línea recta o curva" (la trayectoria de la partícula en el espacio ). En matemáticas , sin embargo, lineal tiene un significado diferente. En ambos contextos, la palabra "lineal" está relacionada con la palabra "línea". En matemáticas, una línea se define a menudo como una curva recta . Para quienes adoptan esta definición, una curva puede ser recta, y se supone que no existen líneas curvas. En cinemática , el término línea se utiliza como sinónimo del término trayectoria , o camino (es decir, tiene el mismo significado no restringido que el que se le da, en matemáticas, a la palabra curva ). En resumen, se supone que existen tanto líneas rectas como curvas. En cinemática y dinámica , las siguientes palabras se refieren al mismo significado no restringido del término "línea":
   • "lineal" (= a lo largo de una línea recta o curva),
   • "rectilíneo" (= a lo largo de una línea recta, del latín rectus = recto, y linere = extendido),
   • "curvilíneo" (=a lo largo de una línea curva, del latín curvus = curvo, y linere = extendido).
   En topología y meteorología , el término "línea" tiene el mismo significado; es decir, una línea de contorno es una curva.
5. Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-4 Marcos de referencia auxiliares". Dynamics Online . Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.
6. Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "Velocidad y aceleración 2-6". Dynamics Online . Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.
7. Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-7 Dos puntos fijos en un cuerpo rígido". Dynamics Online . Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.
8. Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-8 Un punto en movimiento sobre un cuerpo rígido". Dynamics Online . Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.

Referencias

• Roy Featherstone (1987). Algoritmos de dinámica de robots . Springer. ISBN 0-89838-230-0.Esta referencia combina eficazmente la teoría de tornillos con la dinámica de cuerpos rígidos para aplicaciones robóticas. El autor también opta por utilizar aceleraciones espaciales de forma extensiva en lugar de aceleraciones materiales, ya que simplifican las ecuaciones y permiten una notación compacta.
• La página DARTS del JPL tiene una sección sobre álgebra de operadores espaciales (enlace: [2]) así como una extensa lista de referencias (enlace: [3]).
• Andy Ruina y Rudra Pratap (2015). Introducción a la estática y la dinámica . Oxford University Press.(enlace: [4]).
• Prof. Dr. Dennis M. Kochmann, Notas de clase sobre dinámica, ETH Zurich. [5]

Enlaces externos

• Medios relacionados con Cuerpos rígidos en Wikimedia Commons