Teorema de rotación de Euler

El movimiento con un punto fijo es rotación.

Una rotación representada por un eje y un ángulo de Euler.

En geometría , el teorema de rotación de Euler establece que, en el espacio tridimensional , cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido de modo que un punto del cuerpo rígido permanezca fijo, equivale a una sola rotación alrededor de algún eje que pasa por el punto fijo . También significa que la composición de dos rotaciones también es una rotación. Por tanto el conjunto de rotaciones tiene una estructura de grupo, conocida como grupo de rotación .

El teorema lleva el nombre de Leonhard Euler , quien lo demostró en 1775 mediante geometría esférica . El eje de rotación se conoce como eje de Euler y normalmente se representa mediante un vector unitario ê . Su producto por el ángulo de rotación se conoce como vector eje-ángulo . La extensión del teorema a la cinemática produce el concepto de eje instantáneo de rotación , una línea de puntos fijos.

En términos de álgebra lineal, el teorema establece que, en el espacio 3D, dos sistemas de coordenadas cartesianas cualesquiera con un origen común están relacionados por una rotación alrededor de algún eje fijo. Esto también significa que el producto de dos matrices de rotación es nuevamente una matriz de rotación y que para una matriz de rotación no identidad un valor propio es 1 y los otros dos son ambos complejos, o ambos iguales a −1. El vector propio correspondiente a este valor propio es el eje de rotación que conecta los dos sistemas.

Teorema de Euler (1776)

Euler establece el teorema de la siguiente manera: ^[1]

Teorema. Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur, sempre asignari potest diámetro, cuius directio in situ translato conueniat cum situ iniciali.

o (en inglés):

Cuando se mueve una esfera alrededor de su centro siempre es posible encontrar un diámetro cuya dirección en la posición desplazada es la misma que en la posición inicial.

Figura 1 : El gran círculo azul en la esfera se transforma en un gran círculo rojo cuando se gira alrededor del diámetro a través de O.

Prueba

La demostración original de Euler se realizó utilizando geometría esférica y por lo tanto siempre que habla de triángulos debe entenderse como triángulos esféricos .

Análisis previo

Para llegar a una demostración, Euler analiza cómo sería la situación si el teorema fuera verdadero. Para ello supongamos que la línea amarilla de la Figura 1 pasa por el centro de la esfera y es el eje de rotación que buscamos, y el punto O es uno de los dos puntos de intersección de ese eje con la esfera. Luego considera un círculo máximo arbitrario que no contiene O (el círculo azul), y su imagen después de la rotación (el círculo rojo), que es otro círculo máximo que no contiene O. Etiqueta un punto en su intersección como punto A. (Si los círculos coinciden, entonces A puede tomarse como cualquier punto de cualquiera de ellos; de lo contrario, A es uno de los dos puntos de intersección).

Figura 2 : Arcos que conectan la preimagen α y la imagen a de A con la bisectriz AO del ángulo en A.

Ahora A está en el círculo inicial (el círculo azul), por lo que su imagen estará en el círculo transportado (rojo). Él etiqueta esa imagen como punto a . Dado que A también está en el círculo transportado (rojo), es la imagen de otro punto que estaba en el círculo inicial (azul) y etiqueta esa preimagen como α (ver Figura 2 ). Luego considera los dos arcos que unen α y a con A. Estos arcos tienen la misma longitud porque el arco αA se asigna al arco Aa . Además, dado que O es un punto fijo, el triángulo αOA se asigna al triángulo AOa , por lo que estos triángulos son isósceles y el arco AO biseca el ángulo ∠ αAa .

Figura 3 : O va a O′ , pero O′ debe coincidir con O.

Construcción del mejor punto candidato.

Construyamos un punto que pueda ser invariante utilizando las consideraciones anteriores. Comenzamos con el gran círculo azul y su imagen debajo de la transformación, que es el gran círculo rojo como en la Figura 1 . Sea el punto A un punto de intersección de esos círculos. Si la imagen de A bajo la transformación es el mismo punto, entonces A es un punto fijo de la transformación, y como el centro también es un punto fijo, el diámetro de la esfera que contiene a A es el eje de rotación y el teorema está demostrado.

De lo contrario, etiquetamos la imagen de A como a y su preimagen como α , y conectamos estos dos puntos a A con arcos αA y Aa . Estos arcos tienen la misma longitud. Construya el círculo máximo que biseca a ∠ αAa y ubique el punto O en ese círculo máximo de modo que los arcos AO y aO tengan la misma longitud, y llame a la región de la esfera que contiene O y delimitada por los círculos máximos azul y rojo el interior de ∠ αAa . (Es decir, la región amarilla en la Figura 3 ). Entonces, dado que αA = Aa y O está en la bisectriz de ∠ αAa , también tenemos αO = aO .

Prueba de su invariancia bajo la transformación.

Supongamos ahora que O′ es la imagen de O . Entonces sabemos que ∠ αAO = ∠ AaO′ y la orientación se conserva, ^[a] por lo que O′ debe ser interior a ∠ αAa . Ahora AO se transforma en aO′ , entonces AO = aO′ . Dado que AO también tiene la misma longitud que aO , entonces aO = aO′ y ∠ AaO = ∠ aAO . Pero ∠ αAO = ∠ aAO , entonces ∠ αAO = ∠ AaO y ∠ AaO = ∠ AaO′ . Por tanto O′ es el mismo punto que O . En otras palabras, O es un punto fijo de la transformación, y como el centro también es un punto fijo, el diámetro de la esfera que contiene a O es el eje de rotación.

Notas finales sobre la construcción.

Dibujo original de Euler donde ABC es el círculo azul y ACc es el círculo rojo

Euler también señala que O se puede encontrar cortando la bisectriz perpendicular de Aa con la bisectriz del ángulo de ∠ αAa , una construcción que podría ser más fácil en la práctica. También propuso la intersección de dos planos:

• el plano de simetría del ángulo ∠ αAa (que pasa por el centro C de la esfera), y
• el plano de simetría del arco Aa (que también pasa por C ).

Proposición . Estos dos planos se cruzan en un diámetro. Este diámetro es el que estamos buscando.

Prueba . Llamemos O a cualquiera de los extremos (hay dos) de este diámetro sobre la superficie de la esfera. Dado que αA se asigna a Aa y los triángulos tienen los mismos ángulos, se deduce que el triángulo OαA se transporta al triángulo OAa . Por lo tanto el punto O tiene que permanecer fijo bajo el movimiento.

Corolarios . Esto también muestra que la rotación de la esfera puede verse como dos reflexiones consecutivas sobre los dos planos descritos anteriormente. Los puntos en un plano especular son invariantes bajo reflexión y, por tanto, los puntos en su intersección (una línea: el eje de rotación) son invariantes bajo ambas reflexiones y, por tanto, bajo rotación.

Otra forma sencilla de encontrar el eje de rotación es considerando el plano en el que se encuentran los puntos α , A , a . El eje de rotación es obviamente ortogonal a este plano y pasa por el centro C de la esfera.

Dado que para un cuerpo rígido cualquier movimiento que deje invariante un eje es una rotación, esto también demuestra que cualquier composición arbitraria de rotaciones equivale a una sola rotación alrededor de un nuevo eje.

Prueba matricial

Una rotación espacial es un mapa lineal en correspondencia uno a uno con una matriz de rotación R de 3 × 3 que transforma un vector de coordenadas x en X , es decir , Rx = X. Por lo tanto, otra versión del teorema de Euler es que para cada rotación R , existe un vector n distinto de cero para el cual Rn = n ; esta es exactamente la afirmación de que n es un vector propio de R asociado con el valor propio 1. Por tanto, basta con demostrar que 1 es un valor propio de R ; el eje de rotación de R será la línea μ n , donde n es el vector propio con valor propio 1.

Una matriz de rotación tiene la propiedad fundamental de que su inversa es su transpuesta, es decir

${\displaystyle \mathbf {R} ^{\mathsf {T}}\mathbf {R} =\mathbf {R} \mathbf {R} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {I} ,}$

donde I es la matriz identidad de 3 × 3 y el superíndice T indica la matriz transpuesta.

Calcule el determinante de esta relación para encontrar que una matriz de rotación tiene un determinante ±1. En particular,

${\displaystyle {\begin{aligned}1=\det(\mathbf {I} )&=\det \left(\mathbf {R} ^{\mathsf {T}}\mathbf {R} \right)=\det \left(\mathbf {R} ^{\mathsf {T}}\right)\det(\mathbf {R} )=\det(\mathbf {R} )^{2}\\\Longrightarrow \qquad \det(\mathbf {R} )&=\pm 1.\end{aligned}}}$

Una matriz de rotación con determinante +1 es una rotación propia, y una con determinante negativo −1 es una rotación impropia , es decir, una reflexión combinada con una rotación propia.

Ahora se demostrará que una matriz de rotación adecuada R tiene al menos un vector invariante n , es decir, Rn = n . Debido a que esto requiere que ( R − I ) n = 0 , vemos que el vector n debe ser un vector propio de la matriz R con valor propio λ = 1 . Por tanto, esto equivale a demostrar que det( R − I ) = 0 .

Usa las dos relaciones.

${\displaystyle \det(-\mathbf {A} )=(-1)^{3}\det(\mathbf {A} )=-\det(\mathbf {A} )\quad }$

para cualquier matriz A de 3 × 3 y

${\displaystyle \det \left(\mathbf {R} ^{-1}\right)=1\quad }$

(ya que det( R ) = 1 ) para calcular

${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} )=\det \left((\mathbf {R} -\mathbf {I} )^{\mathsf {T}}\right)\\{}={}&\det \left(\mathbf {R} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {I} \right)=\det \left(\mathbf {R} ^{-1}-\mathbf {R} ^{-1}\mathbf {R} \right)\\{}={}&\det \left(\mathbf {R} ^{-1}(\mathbf {I} -\mathbf {R} )\right)=\det \left(\mathbf {R} ^{-1}\right)\,\det(-(\mathbf {R} -\mathbf {I} ))\\{}={}&-\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} )\\[3pt]\Longrightarrow \ 0={}&\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} ).\end{aligned}}}$

Esto muestra que λ = 1 es una raíz (solución) de la ecuación característica , es decir,

${\displaystyle \det(\mathbf {R} -\lambda \mathbf {I} )=0\quad {\hbox{for}}\quad \lambda =1.}$

En otras palabras, la matriz R − I es singular y tiene un núcleo distinto de cero , es decir, hay al menos un vector distinto de cero, digamos n , para el cual

${\displaystyle (\mathbf {R} -\mathbf {I} )\mathbf {n} =\mathbf {0} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf {R} \mathbf {n} =\mathbf {n} .}$

La línea μ n para μ real es invariante bajo R , es decir, μ n es un eje de rotación. Esto prueba el teorema de Euler.

Equivalencia de una matriz ortogonal a una matriz de rotación

Se dice que dos matrices (que representan aplicaciones lineales) son equivalentes si hay un cambio de base que hace que una sea igual a la otra. Una matriz ortogonal adecuada siempre es equivalente (en este sentido) a la siguiente matriz o a su reflexión vertical:

${\displaystyle \mathbf {R} \sim {\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\qquad 0\leq \phi \leq 2\pi .}$

Entonces, cualquier matriz ortogonal es una rotación o una rotación impropia . Una matriz ortogonal general tiene solo un valor propio real, +1 o −1. Cuando es +1 la matriz es una rotación. Cuando −1, la matriz es una rotación impropia.

Si R tiene más de un vector invariante entonces φ = 0 y R = I. Cualquier vector es un vector invariante de I.

Excursión a la teoría de matrices.

Para demostrar la ecuación anterior es necesario recordar algunos hechos de la teoría de matrices.

Una matriz A de m × m tiene m vectores propios ortogonales si y solo si A es normal , es decir, si A ^† A = AA ^† . ^[b] Este resultado equivale a afirmar que las matrices normales pueden llevarse a forma diagonal mediante una transformación de similitud unitaria:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {U} =\mathbf {U} \;\operatorname {diag} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m})\quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} \mathbf {U} =\operatorname {diag} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}),}$

y U es unitario, es decir,

${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }=\mathbf {U} ^{-1}.}$

Los valores propios α ₁ , ..., α _m son raíces de la ecuación característica. Si la matriz A resulta ser unitaria (y tenga en cuenta que las matrices unitarias son normales), entonces

${\displaystyle \left(\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} \mathbf {U} \right)^{\dagger }=\operatorname {diag} \left(\alpha _{1}^{*},\ldots ,\alpha _{m}^{*}\right)=\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} =\operatorname {diag} \left({\frac {1}{\alpha _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\alpha _{m}}}\right)}$

y se deduce que los valores propios de una matriz unitaria están en el círculo unitario en el plano complejo:

${\displaystyle \alpha _{k}^{*}={\frac {1}{\alpha _{k}}}\quad \Longleftrightarrow \quad \alpha _{k}^{*}\alpha _{k}=\left|\alpha _{k}\right|^{2}=1,\qquad k=1,\ldots ,m.}$

Además, una matriz ortogonal (unitaria real) tiene valores propios en el círculo unitario en el plano complejo. Además, dado que su ecuación característica (un polinomio de orden m en λ ) tiene coeficientes reales, se deduce que sus raíces aparecen en pares conjugados complejos, es decir, si α es una raíz, entonces también lo es α ^∗ . Hay 3 raíces, por lo que al menos una de ellas debe ser puramente real (+1 o −1).

Después de recordar estos hechos generales de la teoría de matrices, volvemos a la matriz de rotación R. De su realidad y ortogonalidad se deduce que podemos encontrar una U tal que:

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {U} {\begin{pmatrix}e^{i\phi }&0&0\\0&e^{-i\phi }&0\\0&0&\pm 1\\\end{pmatrix}}}$

Si se puede encontrar una matriz U que tenga la forma anterior, y solo hay un componente puramente real y es −1, entonces la definimos como una rotación impropia. Consideremos sólo el caso, entonces, de matrices R que son rotaciones propias (el tercer valor propio es simplemente 1). La tercera columna de la matriz U de 3 × 3 será entonces igual al vector invariante n . Al escribir u ₁ y u ₂ para las dos primeras columnas de U , esta ecuación da ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {u} _{1}=e^{i\phi }\,\mathbf {u} _{1}\quad {\hbox{and}}\quad \mathbf {R} \mathbf {u} _{2}=e^{-i\phi }\,\mathbf {u} _{2}.}$

Si u ₁ tiene valor propio 1, entonces φ = 0 y u ₂ también tiene valor propio 1, lo que implica que en ese caso R = I. Sin embargo, en general, como implica que también es válido, también se puede elegir para . De manera similar, puede resultar en una matriz con entradas reales únicamente, para una matriz de rotación adecuada . Finalmente, la ecuación matricial se transforma mediante una matriz unitaria, ${\displaystyle (\mathbf {R} -e^{i\phi }\mathbf {I} )\mathbf {u} _{1}=0}$ ${\displaystyle (\mathbf {R} -e^{-i\phi }\mathbf {I} )\mathbf {u} _{1}^{*}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {u} _{1}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$ ${\displaystyle (\mathbf {R} -\mathbf {I} )\mathbf {u} _{3}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {U} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=\mathbf {U} \underbrace {{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} _{=\;\mathbf {I} }{\begin{pmatrix}e^{i\phi }&0&0\\0&e^{-i\phi }&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

lo que da

${\displaystyle \mathbf {U'} ^{\dagger }\mathbf {R} \mathbf {U'} ={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {U'} =\mathbf {U} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Las columnas de U ′ son ortonormales ya que es una matriz unitaria con entradas de valor real únicamente, debido a su definición anterior, que es el conjugado complejo de y que es un vector con componentes de valor real. La tercera columna sigue siendo n , las otras dos columnas de U ′ son perpendiculares a n . Ahora podemos ver cómo nuestra definición de rotación impropia se corresponde con la interpretación geométrica: una rotación impropia es una rotación alrededor de un eje (aquí, el eje correspondiente a la tercera coordenada) y una reflexión sobre un plano perpendicular a ese eje. Si sólo nos limitamos a matrices con determinante 1, podemos ver que deben ser rotaciones propias. Este resultado implica que cualquier matriz ortogonal R correspondiente a una rotación propia es equivalente a una rotación sobre un ángulo φ alrededor de un eje n . ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=}$

Clases de equivalencia

La traza (suma de elementos diagonales) de la matriz de rotación real dada anteriormente es 1 + 2 cos φ . Dado que una traza es invariante bajo una transformación de similitud de matriz ortogonal,

${\displaystyle \mathrm {Tr} \left[\mathbf {A} \mathbf {R} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right]=\mathrm {Tr} \left[\mathbf {R} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right]=\mathrm {Tr} [\mathbf {R} ]\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {A} ^{-1},}$

de ello se deduce que todas las matrices que son equivalentes a R mediante tales transformaciones matriciales ortogonales tienen la misma traza: la traza es una función de clase . Esta transformación matricial es claramente una relación de equivalencia , es decir, todas esas matrices equivalentes forman una clase de equivalencia.

De hecho, todas las matrices de rotación adecuadas de 3 × 3 forman un grupo , generalmente denotado por SO (3) (el grupo ortogonal especial en 3 dimensiones) y todas las matrices con la misma traza forman una clase de equivalencia en este grupo. Todos los elementos de dicha clase de equivalencia comparten su ángulo de rotación , pero todas las rotaciones se realizan alrededor de ejes diferentes. Si n es un vector propio de R con valor propio 1, entonces An también es un vector propio de AR ^T , también con valor propio 1. A menos que A = I , n y An sean diferentes.

Aplicaciones

Generadores de rotaciones

Supongamos que especificamos un eje de rotación mediante un vector unitario [ x , y , z ] , y supongamos que tenemos una rotación infinitamente pequeña de ángulo Δ θ alrededor de ese vector. Expandiendo la matriz de rotación como una suma infinita y adoptando el enfoque de primer orden, la matriz de rotación Δ R se representa como:

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .}$

Una rotación finita que pasa por el ángulo θ alrededor de este eje puede verse como una sucesión de pequeñas rotaciones alrededor del mismo eje. Aproximar Δ θ comoθ/nortedonde N es un número grande, una rotación de θ alrededor del eje se puede representar como:

${\displaystyle R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.}$

Se puede ver que el teorema de Euler establece esencialmente que todas las rotaciones pueden representarse de esta forma. El producto A θ es el " generador" de la rotación particular, siendo el vector ( x , y , z ) asociado a la matriz A. Esto muestra que la matriz de rotación y el formato eje-ángulo están relacionados por la función exponencial.

Se puede derivar una expresión simple para el generador G. Se comienza con un plano arbitrario (en el espacio euclidiano) definido por un par de vectores unitarios perpendiculares a y b . En este plano se puede elegir un vector arbitrario x con perpendicular y . Luego se resuelve para y en términos de x y al sustituir en una expresión una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R que incluye el generador G = ba ^T − ab ^T.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {a} \cos \alpha +\mathbf {b} \sin \alpha \\\mathbf {y} &=-\mathbf {a} \sin \alpha +\mathbf {b} \cos \alpha \\[8pt]\cos \alpha &=\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\\sin \alpha &=\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {y} &=-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} =\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {x} '&=\mathbf {x} \cos \beta +\mathbf {y} \sin \beta \\&=\left(\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {R} &=\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \\&=\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \\[8px]\mathbf {G} &=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$

Para incluir vectores fuera del plano en la rotación es necesario modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que particionen el espacio. Esta matriz de rotación modificada se puede reescribir como una función exponencial .

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P_{ab}} &=-\mathbf {G} ^{2}\\\mathbf {R} &=\mathbf {I} -\mathbf {P_{ab}} +\left(\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \right)\mathbf {P_{ab}} =e^{\mathbf {G} \beta }\end{aligned}}}$

El análisis suele ser más fácil en términos de estos generadores que de la matriz de rotación completa. El análisis en términos de generadores se conoce como álgebra de Lie del grupo de rotación.

Cuaterniones

Del teorema de Euler se deduce que la orientación relativa de cualquier par de sistemas de coordenadas puede especificarse mediante un conjunto de tres números independientes. A veces se añade un cuarto número redundante para simplificar las operaciones con álgebra de cuaterniones. Tres de estos números son los cosenos directores que orientan el vector propio. El cuarto es el ángulo con respecto al vector propio que separa los dos conjuntos de coordenadas. A este conjunto de cuatro números se le llama cuaternión .

Si bien el cuaternión, como se describe anteriormente, no involucra números complejos , si se usan cuaterniones para describir dos rotaciones sucesivas, deben combinarse usando el álgebra de cuaterniones no conmutativa derivada por William Rowan Hamilton mediante el uso de números imaginarios.

El cálculo de rotación mediante cuaterniones ha llegado a reemplazar el uso de cosenos directores en aplicaciones aeroespaciales mediante la reducción de los cálculos requeridos y su capacidad para minimizar los errores de redondeo . Además, en gráficos por computadora es valiosa la capacidad de realizar interpolación esférica entre cuaterniones con relativa facilidad.

Generalizaciones

En dimensiones superiores, cualquier movimiento rígido que preserve un punto en la dimensión 2 n o 2 n + 1 es una composición de como máximo n rotaciones en planos de rotación ortogonales , aunque estos planos no necesitan estar determinados de forma única, y un movimiento rígido puede fijar múltiples ejes. Además, cualquier movimiento rígido que conserve n puntos linealmente independientes, que abarquen un cuerpo de n dimensiones en dimensión 2 n o 2 n + 1 , es un único plano de rotación . Para decirlo de otra manera, si dos cuerpos rígidos, con geometría idéntica, comparten al menos n puntos de ubicaciones "idénticas" dentro de ellos mismos, cuyo casco convexo es n -dimensional, entonces una sola rotación plana puede hacer que uno cubra al otro. con precisión en la dimensión 2 n o 2 n + 1 .

Un movimiento de tornillo.

Un movimiento rígido en tres dimensiones que no necesariamente fija un punto es un "movimiento de tornillo". Esto se debe a que una composición de una rotación con una traslación perpendicular al eje es una rotación alrededor de un eje paralelo, mientras que una composición con una traslación paralela al eje produce un movimiento de tornillo; ver eje del tornillo . Esto da lugar a la teoría del tornillo .

Ver también

• ángulos de euler
• Fórmula de Euler-Rodrigues
• Formalismos de rotación en tres dimensiones.
• Velocidad angular
• Rotación alrededor de un eje fijo.
• Matriz exponencial
• Representación eje-ángulo
• Teorema de Chasles (cinemática) , para una extensión sobre los desplazamientos generales de cuerpos rígidos.

Notas

1. La orientación se conserva en el sentido de que si αA se gira alrededor de A en sentido contrario a las agujas del reloj para alinearse con OA , entonces Aa debe girarse alrededor de A en sentido contrario a las agujas del reloj para alinearse con O′a . Lo mismo si las rotaciones son en el sentido de las agujas del reloj.
2. El símbolo de la daga † significa conjugación compleja seguida de transposición. Para matrices reales, la conjugación compleja no hace nada y dañar una matriz real es lo mismo que transponerla.

Referencias

1. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20, 1776, págs. 189-207 (E478)

Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Teorema de Euler (rotación)", que tiene la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported , pero no la GFDL .

• El teorema de Euler y su demostración están contenidos en los párrafos 24 a 26 del apéndice ( Additamentum . Págs. 201 a 203) de L. Eulero (Leonhard Euler) , Formulas generales pro translatione quacunque corporum rigidorum (Fórmulas generales para la traducción de cuerpos rígidos arbitrarios). ), presentado en la Academia de San Petersburgo el 9 de octubre de 1775 y publicado por primera vez en Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20 , 1776, págs. 189-207 (E478) y reimpreso en Theoria motus corporum rigidorum , ed. nova, 1790, págs. 449–460 (E478a) y posteriormente en sus obras completas Opera Omnia , Serie 2, Volumen 9 , págs.
• Palais, Bob; Palacio, Richard; Rodi, Stephen (2009). "Una mirada desorientadora al teorema de Euler sobre el eje de rotación". Mensual Matemático Estadounidense . 116 (10): 892–909. doi :10.4169/000298909x477014.

enlaces externos

• Tratado original de Euler en The Euler Archive : entrada en E478, primera publicación 1776 (pdf)
• Texto original de Euler (en latín) y traducción al inglés (por Johan Sten)
• Proyecto de demostración de Wolfram para el teorema de rotación de Euler (por Tom Verhoeff)