Vorticidad potencial

En mecánica de fluidos , la vorticidad potencial (VP) es una cantidad proporcional al producto escalar de la vorticidad y la estratificación . Esta cantidad, que sigue a una parcela de aire o agua, solo puede modificarse mediante procesos diabáticos o de fricción. Es un concepto útil para comprender la generación de vorticidad en la ciclogénesis (el nacimiento y desarrollo de un ciclón), especialmente a lo largo del frente polar , y para analizar el flujo en el océano.

La vorticidad potencial (VP) se considera uno de los éxitos teóricos más importantes de la meteorología moderna. Se trata de un enfoque simplificado para comprender los movimientos de los fluidos en un sistema rotatorio como la atmósfera y el océano de la Tierra. Su desarrollo se remonta al teorema de circulación de Bjerknes en 1898, ^[1] que es una forma especializada del teorema de circulación de Kelvin . A partir de Hoskins et al., 1985, ^[2] la VP se ha utilizado con más frecuencia en el diagnóstico meteorológico operativo, como el seguimiento de la dinámica de las parcelas de aire y la inversión para el campo de flujo completo. Incluso después de que los pronósticos meteorológicos numéricos detallados en escalas más finas se hicieran posibles gracias a los aumentos en la potencia computacional, la visión VP todavía se utiliza en el ámbito académico y en los pronósticos meteorológicos de rutina, arrojando luz sobre las características de la escala sinóptica para los pronosticadores e investigadores. ^[3]

La inestabilidad baroclínica requiere la presencia de un gradiente de vorticidad potencial a lo largo del cual las ondas se amplifican durante la ciclogénesis.

Teorema de circulación de Bjerknes

Vilhelm Bjerknes generalizó la ecuación de vorticidad de Helmholtz (1858) y el teorema de circulación de Kelvin (1869) a fluidos no viscosos, geostróficos y baroclínicos, ^[1] es decir, fluidos de densidad variable en un marco rotacional que tiene una velocidad angular constante. Si definimos la circulación como la integral del componente tangente de la velocidad alrededor de un bucle de fluido cerrado y tomamos la integral de una cadena cerrada de parcelas de fluido, obtenemos

{\frac {DC}{Dt}}=-\oint {\frac {1}{\rho }}\nabla p\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},

(1)

donde es la derivada temporal en el marco rotacional (no en el marco inercial), es la circulación relativa, es la proyección del área rodeada por el circuito de fluido en el plano ecuatorial, es la densidad, es la presión y es la velocidad angular del marco. Con el teorema de Stokes , el primer término del lado derecho se puede reescribir como ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}}$ $C$ $A_{e}$ $\rho$ $p$ $\Omega$

{\frac {DC}{Dt}}=\int _{A}{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho ^{2}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},

(2)

que establece que la tasa de cambio de la circulación está gobernada por la variación de la densidad en las coordenadas de presión y la proyección ecuatorial de su área, correspondientes al primer y segundo término en el lado derecho. El primer término también se llama "término de solenoide ". Bajo la condición de un fluido barotrópico con un área de proyección constante , el teorema de circulación de Bjerknes se reduce al teorema de Kelvin. Sin embargo, en el contexto de la dinámica atmosférica, tales condiciones no son una buena aproximación: si el circuito de fluido se mueve desde la región ecuatorial a los extratrópicos, no se conserva. Además, la geometría compleja del enfoque del circuito material no es ideal para hacer un argumento sobre los movimientos de fluidos. $A_{e}$ $A_{e}$

Fotovoltaica de aguas poco profundas de Rossby

Carl Rossby propuso en 1939 ^[4] que, en lugar del vector de vorticidad tridimensional completo, el componente vertical local de la vorticidad absoluta es el componente más importante para el flujo atmosférico a gran escala, y que la estructura a gran escala de un flujo barotrópico no divergente bidimensional se puede modelar suponiendo que se conserva. Su artículo posterior de 1940 ^[5] relajó esta teoría del flujo 2D a ecuaciones de aguas poco profundas cuasi-2D en un plano beta . En este sistema, la atmósfera está separada en varias capas incompresibles apiladas una sobre otra, y la velocidad vertical se puede deducir de la integración de la convergencia del flujo horizontal. Para un sistema de aguas poco profundas de una sola capa sin fuerzas externas ni calentamiento diabático, Rossby demostró que $\zeta _{a}$ $\zeta _{a}$

{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta +f}{h}}\right)=0

, (3)

donde es la vorticidad relativa, es la profundidad de la capa y es el parámetro de Coriolis. La cantidad conservada, entre paréntesis en la ecuación (3), se denominó posteriormente vorticidad potencial de aguas someras . Para una atmósfera con múltiples capas, donde cada capa tiene una temperatura potencial constante, la ecuación anterior toma la forma $\zeta$ $h$ $f$

{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta _{\theta }+f}{\Delta }}\right)=0,

(4)

donde es la vorticidad relativa en una superficie isentrópica (una superficie de temperatura potencial constante) , y es una medida del peso de la sección transversal unitaria de una columna de aire individual dentro de la capa. $\zeta _{\theta }$ $\Delta =-\delta p/g$

Interpretación

Convergencia y divergencia de una parcela de aire

La ecuación (3) es el equivalente atmosférico de la conservación del momento angular . Por ejemplo, una patinadora sobre hielo que gira con los brazos extendidos lateralmente puede acelerar su velocidad de giro contrayendo los brazos. De manera similar, cuando un vórtice de aire se ensancha, a su vez gira más lentamente. Cuando el aire converge horizontalmente, la velocidad del aire aumenta para mantener la vorticidad potencial y la extensión vertical aumenta para conservar la masa. Por otro lado, la divergencia hace que el vórtice se expanda, lo que reduce la velocidad de giro.

La vorticidad potencial de Ertel

Hans Ertel generalizó el trabajo de Rossby a través de un artículo independiente publicado en 1942. ^[6]^[7] Al identificar una cantidad conservada después del movimiento de una parcela de aire, se puede demostrar que una cierta cantidad llamada vorticidad potencial de Ertel también se conserva para un fluido continuo idealizado. Observamos la ecuación de momento y la ecuación de continuidad de masa de un fluido compresible idealizado en coordenadas cartesianas:

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {v^{2}} -\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} =-\nabla \Phi -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,

(5)

{\frac {D\rho }{Dt}}=-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,

(6)

donde es la altura geopotencial. Escribiendo la vorticidad absoluta como , como , y luego tomando el rizo de la ecuación de momento completo (5), tenemos $\Phi$ ${\textstyle \mathbf {\zeta _{a}} =\nabla \times \mathbf {v} +2\mathbf {\Omega } }$ $1/\rho$ $\alpha$

{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} -\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )=\nabla p\times \nabla \alpha .

(7)

Considere que es un invariante hidrodinámico, es decir, igual a cero después del movimiento del fluido en cuestión. Multiplicación escalar de la ecuación (7) por , y observe que , tenemos $\psi =\psi (\mathbf {r} ,t)$ ${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}}$ $\nabla \psi$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} ={\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} }$

\nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} -\nabla \psi \cdot [\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]=\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).

(8)

El segundo término del lado izquierdo de la ecuación (8) es igual a , en la que el segundo término es cero. De la fórmula del producto vectorial triple, tenemos ${\textstyle \nabla \cdot [\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]-(\mathbf {v} \times \zeta _{a})\cdot (\nabla \times \nabla \psi )}$

{\begin{aligned}\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )-\mathbf {\zeta _{a}} (\mathbf {v} \cdot \nabla \psi )\\&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+\mathbf {\zeta _{a}} {\frac {\partial \psi }{\partial t}},\end{aligned}}

(9)

donde la segunda fila se debe al hecho de que se conserva después del movimiento, . Sustituyendo la ecuación (9) en la ecuación (8) anterior, $\psi$ ${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}=0}$

\nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} +\mathbf {v} \cdot \nabla (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {\zeta _{a}} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \psi =\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).

(10)

Combinando el primer, segundo y cuarto término en la ecuación (10) se puede obtener . Dividiendo por y utilizando una forma variante de la ecuación de continuidad de masa, , la ecuación (10) da ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )}$ ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {D\alpha }{Dt}}}$

\alpha {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi ){\frac {D\alpha }{Dt}}=\alpha \nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha )

(11)

Si el invariante es sólo una función de la presión y la densidad , entonces su gradiente es perpendicular al producto vectorial de y , lo que significa que el lado derecho de la ecuación (11) es igual a cero. Específicamente para la atmósfera, la temperatura potencial se elige como el invariante para movimientos sin fricción y adiabáticos. Por lo tanto, la ley de conservación de la vorticidad potencial de Ertel está dada por ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \nabla p}$ ${\textstyle \nabla \rho }$

{\frac {D}{Dt}}PV=0.

(12)

La vorticidad potencial se define como

PV={\frac {\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \theta }{\rho }},

(13)

donde es la densidad del fluido , es la vorticidad absoluta y es el gradiente de temperatura potencial . Se puede demostrar mediante una combinación de la primera ley de la termodinámica y la conservación del momento que la vorticidad potencial solo puede modificarse mediante calentamiento diabático (como el calor latente liberado por la condensación) o procesos de fricción. $\rho$ $\mathbf {\zeta _{a}}$ $\nabla \theta$

Si la atmósfera está estratificada de manera estable, de modo que la temperatura potencial aumenta de manera monótona con la altura, se puede utilizar como una coordenada vertical en lugar de . En el sistema de coordenadas, la "densidad" se define como . Entonces, si comenzamos la derivación a partir de la ecuación del momento horizontal en coordenadas isentrópicas, la PV de Ertel adopta una forma mucho más simple ^[8] ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle (x,y,\theta )}$ ${\textstyle \sigma \equiv -g^{-1}\partial p/\partial \theta }$

PV_{\theta }={\frac {f+\mathbf {k} \cdot (\nabla _{\theta }\times \mathbf {v} )}{\sigma }}

(14)

donde es el vector vertical local de longitud unitaria y es el operador de gradiente tridimensional en coordenadas isentrópicas. Se puede observar que esta forma de vorticidad potencial es simplemente la forma continua del PV multicapa isentrópico de Rossby en la ecuación (4). ${\textstyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle \nabla _{\theta }}$

Interpretación

El teorema de conservación de la vorticidad potencial de Ertel, ecuación (12), establece que para una atmósfera seca, si una parcela de aire conserva su temperatura potencial, su vorticidad potencial también se conserva después de sus movimientos tridimensionales completos. En otras palabras, en el movimiento adiabático, las parcelas de aire conservan la vorticidad potencial de Ertel en una superficie isentrópica. Sorprendentemente, esta cantidad puede servir como un trazador lagrangiano que vincula los campos de viento y temperatura. El uso del teorema de conservación de la vorticidad potencial de Ertel ha llevado a varios avances en la comprensión de la circulación general. Uno de ellos fue el proceso de "plegamiento de la tropopausa" descrito en Reed et al., (1950). ^[9] Para la troposfera superior y la estratosfera, las parcelas de aire siguen movimientos adiabáticos durante un período de tiempo sinóptico. En la región extratropical, las superficies isentrópicas en la estratosfera pueden penetrar en la tropopausa y, por lo tanto, las parcelas de aire pueden moverse entre la estratosfera y la troposfera, aunque el fuerte gradiente de vorticidad potencial cerca de la tropopausa generalmente impide este movimiento. Sin embargo, en la región frontal cerca de las corrientes en chorro, que es una región concentrada dentro de una corriente en chorro donde las velocidades del viento son las más fuertes, el contorno de PV puede extenderse sustancialmente hacia abajo en la troposfera, lo que es similar a las superficies isentrópicas. Por lo tanto, el aire estratosférico puede ser transportado, siguiendo tanto PV constante como superficies isentrópicas, hacia abajo en la troposfera. El uso de mapas de PV también demostró ser preciso para distinguir las parcelas de aire de origen estratosférico reciente incluso bajo perturbaciones de escala subsinóptica. (Puede encontrarse una ilustración en Holton, 2004, figura 6.4)

El PV de Ertel también actúa como un trazador de flujo en el océano y se puede utilizar para explicar cómo una cadena montañosa, como los Andes , puede hacer que los vientos superiores del oeste se desvíen hacia el ecuador y de regreso. Los mapas que representan el PV de Ertel se utilizan generalmente en análisis meteorológicos en los que la unidad de vorticidad potencial (PVU) se define como . ${\textstyle {10^{-6}\cdot \mathrm {K} \cdot \mathrm {m} ^{2} \over \mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} }\equiv 1\ \mathrm {PVU} }$

Energía fotovoltaica cuasigeostrófica

Una de las condiciones de equilibrio más simples pero, sin embargo, reveladoras se presenta en forma de ecuaciones cuasi-geostróficas . Esta aproximación básicamente establece que para los movimientos atmosféricos tridimensionales que son casi hidrostáticos y geostróficos , su parte geostrófica puede determinarse aproximadamente por el campo de presión, mientras que la parte ageostrófica gobierna la evolución del flujo geostrófico. La vorticidad potencial en el límite cuasi-geostrófico (QGPV) fue formulada por primera vez por Charney y Stern en 1960. ^[10] De manera similar al Capítulo 6.3 en Holton 2004, ^[8] comenzamos con las ecuaciones de momento horizontal (15), continuidad de masa (16), hidrostática (17) y termodinámica (18) en un plano beta , mientras asumimos que el flujo es no viscoso e hidrostático .

{\frac {D_{g}\mathbf {u_{g}} }{Dt}}+f_{0}\mathbf {k} \times \mathbf {u_{a}} +\beta y\mathbf {k} \times \mathbf {u_{g}} =0

(15)

\nabla _{hp}\cdot \mathbf {u_{a}} +{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0

(16)

{\frac {\partial \Phi }{\partial p}}=-{\frac {R\pi }{p}}\theta

(17)

{\frac {D_{g}\theta }{Dt}}+\omega {\frac {d\theta _{0}}{dp}}={\frac {J}{c_{p}\pi }}

(18)

donde representa la evolución geostrófica, , es el término de calentamiento diabático en , es la altura geopotencial, es el componente geostrófico de la velocidad horizontal, es la velocidad ageostrófica, es el operador de gradiente horizontal en coordenadas (x, y, p). Con cierta manipulación (ver ecuaciones cuasigeostróficas o Holton 2004, Capítulo 6 para más detalles), se puede llegar a una ley de conservación. ${\textstyle {\frac {D_{g}}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{g}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{g}{\frac {\partial }{\partial y}}}$ ${\textstyle \pi =(p/ps)^{R/c_{p}}}$ ${\textstyle J}$ ${\textstyle Js^{-1}kg^{-1}}$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \mathbf {u_{g}} }$ ${\textstyle \mathbf {u_{a}} }$ ${\textstyle \nabla _{hp}}$

{\frac {D_{g}}{Dt}}q=-f_{0}{\frac {\partial }{\partial p}}\left(\sigma {\frac {\kappa J}{p}}\right),

(19)

donde es la estabilidad estática seca promediada espacialmente. Suponiendo que el flujo es adiabático, lo que significa , tenemos la conservación de QGPV. La cantidad conservada toma la forma ${\textstyle \sigma =-{\frac {R\pi }{p}}{\frac {d\theta _{0}}{dp}}}$ ${\textstyle J=0}$ ${\textstyle q}$

{q={{{1 \over f_{o}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{o} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}},

(20)

que es el QGPV, y también se conoce como pseudo-vorticidad potencial. Aparte del término de calentamiento diabático en el lado derecho de la ecuación (19), también se puede demostrar que el QGPV puede cambiar por las fuerzas de fricción.

El PV de Ertel se reduce al QGPV si uno expande el PV de Ertel al orden principal y supone que la ecuación de evolución es cuasi-geostrófica, es decir, . ^[3] Debido a este factor, también se debe notar que el PV de Ertel se conserva siguiendo la parcela de aire en una superficie isentrópica y, por lo tanto, es un buen trazador lagrangiano, mientras que el QGPV se conserva siguiendo el flujo geostrófico a gran escala. El QGPV se ha utilizado ampliamente para representar estructuras de flujo atmosférico a gran escala, como se analiza en la sección Principio de invertibilidad del PV; ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}\approx {\frac {D_{g}}{Dt}}}$

Principio de invertibilidad fotovoltaica

Además de ser un trazador lagrangiano, la vorticidad potencial también tiene implicaciones dinámicas a través del principio de invertibilidad. Para un fluido ideal bidimensional, la distribución de la vorticidad controla la función de corriente mediante un operador de Laplace,

{\zeta ={\nabla ^{2}\Psi }},

(21)

donde es la vorticidad relativa y es la función de corriente. Por lo tanto, a partir del conocimiento del campo de vorticidad, el operador se puede invertir y se puede calcular la función de corriente. En este caso particular (ecuación 21), la vorticidad proporciona toda la información necesaria para deducir los movimientos, o la función de corriente, por lo que se puede pensar en términos de vorticidad para comprender la dinámica del fluido. Un principio similar fue introducido originalmente para la vorticidad potencial en fluidos tridimensionales en la década de 1940 por Kleinschmit, y fue desarrollado por Charney y Stern en su teoría cuasi-geostrófica. ^[11] $\zeta$ $\Psi$

A pesar de la elegancia teórica de la vorticidad potencial de Ertel, las primeras aplicaciones de la vorticidad potencial de Ertel se limitan a estudios de trazadores utilizando mapas isentrópicos especiales. En general, no es suficiente deducir otras variables a partir del conocimiento de los campos de la vorticidad potencial de Ertel únicamente, ya que es un producto de los campos de viento ( ) y temperatura ( y ). Sin embargo, los movimientos atmosféricos a gran escala son inherentemente cuasiestáticos; los campos de viento y masa se ajustan y equilibran entre sí (por ejemplo, equilibrio de gradiente, equilibrio geostrófico). Por lo tanto, se pueden hacer otras suposiciones para formar un cierre y deducir la estructura completa del flujo en cuestión: ^[2] ${\textstyle \zeta _{a}}$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \rho }$

(1) introducir condiciones de equilibrio de cierta forma. Estas condiciones deben ser físicamente realizables y estables sin inestabilidades como la inestabilidad estática. Además, las escalas de espacio y tiempo del movimiento deben ser compatibles con el equilibrio supuesto;

(2) especificar un determinado estado de referencia, como la distribución de la temperatura, la temperatura potencial o la altura geopotencial;

(3) afirmar las condiciones de contorno adecuadas e invertir el campo fotovoltaico globalmente.

Las suposiciones primera y segunda se expresan explícitamente en la derivación de PV cuasigeostrófico. El equilibrio geostrófico de primer orden se utiliza como condición de equilibrio. Los términos de segundo orden, como vientos ageostróficos, perturbaciones de la temperatura potencial y perturbaciones de la altura geostrófica, deben tener una magnitud consistente, es decir, del orden del número de Rossby . El estado de referencia es la temperatura potencial y la altura geopotencial promediadas zonalmente. La tercera suposición es evidente incluso para la inversión de vorticidad bidimensional porque invertir el operador de Laplace en la ecuación (21), que es un operador elíptico de segundo orden , requiere conocimiento de las condiciones de contorno .

Por ejemplo, en la ecuación (20), la invertibilidad implica que, dado el conocimiento de , el operador de tipo Laplace se puede invertir para obtener la altura geopotencial . también es proporcional a la función de corriente QG bajo el supuesto cuasi-geostrófico. El campo de viento geostrófico se puede deducir fácilmente de . Por último, el campo de temperatura se da sustituyendo en la ecuación hidrostática (17). ${\textstyle q}$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \Psi }$ ${\textstyle \Psi }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \Phi }$

Véase también

Referencias

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^ Thorpe, AJ; Volkert, H. (1997). "Vorticidad potencial: Una breve historia de sus definiciones y usos". Meteorol. Z . 6 (6): 275–280. Bibcode :1997MetZe...6..275T. doi :10.1127/metz/6/1997/275.

Lectura adicional

Roulstone, Ian; Norbury, John (2013). Invisible en la tormenta: el papel de las matemáticas en la comprensión del clima . Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15272-1.

Enlaces externos

Entrada del glosario de AMS
Artículo de enciclopedia sobre vorticidad potencial de Michael E. McIntyre