Circulación (física)

Line integral of the fluid velocity around a closed curve

Líneas de campo de un campo vectorial v , alrededor del límite de una superficie curva abierta con un elemento lineal infinitesimal d l a lo largo del límite, y a través de su interior con dS el elemento superficial infinitesimal y n la unidad normal a la superficie. Arriba: La circulación es la integral de línea de v alrededor de un circuito cerrado C. Proyecta v a lo largo de d l , luego suma. Aquí v se divide en componentes perpendiculares (⊥) paralelos (‖) a d l , los componentes paralelos son tangenciales al circuito cerrado y contribuyen a la circulación, los componentes perpendiculares no. Abajo: la circulación es también el flujo de vorticidad ω = ∇ × v a través de la superficie, y la curvatura de v se representa heurísticamente como una flecha helicoidal (no una representación literal). Tenga en cuenta que la proyección de v a lo largo de d l y la curvatura de v pueden ser en sentido negativo, lo que reduce la circulación.

En física, la circulación es la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada. En dinámica de fluidos , el campo es el campo de velocidad del fluido . En electrodinámica , puede ser el campo eléctrico o el magnético.

La circulación fue utilizada por primera vez de forma independiente por Frederick Lanchester , Martin Kutta y Nikolay Zhukovsky . ^{[ cita necesaria ]} Por lo general, se denota como Γ ( gamma mayúscula griega ).

Definición y propiedades

Si V es un campo vectorial y d l es un vector que representa la longitud diferencial de un pequeño elemento de una curva definida, la contribución de esa longitud diferencial a la circulación es dΓ :

$${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\left|\mathbf {V} \right|\left|\mathrm {d} \mathbf {l} \right|\cos \theta .}$$

Aquí, θ es el ángulo entre los vectores V y d l .

La circulación Γ de un campo vectorial V alrededor de una curva cerrada C es la integral de línea : ^{[1] [2]}

$${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}$$

En un campo vectorial conservador, esta integral se evalúa como cero para cada curva cerrada. Eso significa que una integral de línea entre dos puntos cualesquiera en el campo es independiente del camino tomado. También implica que el campo vectorial se puede expresar como el gradiente de una función escalar, que se llama potencial . ^[2]

Relación con la vorticidad y el rizo.

La circulación puede estar relacionada con la curvatura de un campo vectorial V y, más específicamente, con la vorticidad si el campo es un campo de velocidad de fluido,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {V} .}$$

Según el teorema de Stokes , el flujo de vectores de rizo o vorticidad a través de una superficie S es igual a la circulación alrededor de su perímetro, ^[2]

$${\displaystyle \Gamma =\oint _{\partial S}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$$

Aquí, el camino de integración cerrado ∂S es el límite o perímetro de una superficie abierta S , cuyo elemento infinitesimal normal d S = n dS está orientado según la regla de la mano derecha . Por tanto, la curvatura y la vorticidad son la circulación por unidad de área, tomada alrededor de un bucle local infinitesimal.

En el flujo potencial de un fluido con una región de vorticidad , todas las curvas cerradas que encierran la vorticidad tienen el mismo valor para la circulación. ^[3]

Usos

Teorema de Kutta-Joukowski en dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos, la elevación por unidad de tramo (L') que actúa sobre un cuerpo en un campo de flujo bidimensional es directamente proporcional a la circulación, es decir, puede expresarse como el producto de la circulación Γ alrededor del cuerpo, la densidad del fluido. , y la velocidad del cuerpo en relación con la corriente libre : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v_{\infty }}$

$${\displaystyle L'=\rho v_{\infty }\Gamma }$$

Esto se conoce como teorema de Kutta-Joukowski. ^[4]

Esta ecuación se aplica alrededor de los perfiles aerodinámicos, donde la circulación se genera por la acción del perfil aerodinámico ; y alrededor de objetos que giran experimentando el efecto Magnus donde la circulación se induce mecánicamente. En acción aerodinámica, la magnitud de la circulación está determinada por la condición de Kutta . ^[4]

La circulación en cada curva cerrada alrededor del perfil aerodinámico tiene el mismo valor y está relacionada con la sustentación generada por cada unidad de longitud de luz. Siempre que la curva cerrada encierre el perfil aerodinámico, la elección de la curva es arbitraria. ^[3]

La circulación se utiliza a menudo en dinámica de fluidos computacional como variable intermedia para calcular fuerzas sobre un perfil aerodinámico u otro cuerpo.

Ecuaciones fundamentales del electromagnetismo.

En electrodinámica, la ley de inducción de Maxwell-Faraday se puede expresar de dos formas equivalentes: ^[5] que la curvatura del campo eléctrico es igual a la tasa de cambio negativa del campo magnético,

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$

o que la circulación del campo eléctrico alrededor de una espira es igual a la tasa de cambio negativa del flujo del campo magnético a través de cualquier superficie atravesada por la espira, según el teorema de Stokes.

$${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

La circulación de un campo magnético estático es, según la ley de Ampère , proporcional a la corriente total encerrada por la espira

$${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I_{\text{enc}}.}$$

Para sistemas con campos eléctricos que cambian con el tiempo, la ley debe modificarse para incluir un término conocido como corrección de Maxwell.

Ver también

• ecuaciones de maxwell
• Ley de Biot-Savart en aerodinámica
• Teorema de circulación de Kelvin

Referencias

1. Robert W. Fox; Alan T. McDonald; Philip J. Pritchard (2003). Introducción a la mecánica de fluidos (6 ed.). Wiley . ISBN 978-0-471-20231-8.
2. "Las conferencias Feynman sobre física Vol. II Capítulo 3: Cálculo integral vectorial". feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 2 de noviembre de 2020 .
3. Anderson, John D. (1984), Fundamentos de aerodinámica , sección 3.16. McGraw-Hill. ISBN 0-07-001656-9 
4. AM Kuethe; JD Schetzer (1959). Fundamentos de la aerodinámica (2 ed.). John Wiley e hijos . §4.11. ISBN 978-0-471-50952-3.
5. "Las conferencias de física de Feynman Vol. II Capítulo 17: Las leyes de la inducción". feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 2 de noviembre de 2020 .