Ecuación que describe la evolución de la vorticidad de una partícula fluida a medida que fluye.
La ecuación de vorticidad de la dinámica de fluidos describe la evolución de la vorticidad ω de una partícula de un fluido a medida que se mueve con su flujo ; es decir, la rotación local del fluido (en términos de cálculo vectorial, esta es la curvatura de la velocidad del flujo ). La ecuación gobernante es:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}} +(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}\\&=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\ nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dóndeD/DTes el operador derivado del material , u es la velocidad del flujo , ρ es la densidad del fluido local , p es la presión local , τ es el tensor de tensión viscosa y B representa la suma de las fuerzas externas del cuerpo . El primer término fuente en el lado derecho representa el estiramiento del vórtice .
La ecuación es válida en ausencia de pares concentrados y fuerzas lineales para un fluido newtoniano compresible . En el caso de flujo incompresible (es decir, número de Mach bajo ) y fluidos isotrópicos , con fuerzas corporales conservativas , la ecuación se simplifica a la ecuación de transporte de vorticidad :
![{\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde ν es la viscosidad cinemática y es el operador de Laplace . Bajo el supuesto adicional de flujo bidimensional, la ecuación se simplifica a:![{\displaystyle \nabla^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Interpretación física
- El términore ω/DTen el lado izquierdo está la derivada material del vector de vorticidad ω . Describe la tasa de cambio de vorticidad de la partícula de fluido en movimiento. Este cambio se puede atribuir a la inestabilidad en el flujo (∂ω/∂t, el término inestable ) o debido al movimiento de la partícula fluida a medida que se mueve de un punto a otro ( ( u ∙ ∇) ω , el término de convección ).
- El término ( ω ∙ ∇) u en el lado derecho describe el estiramiento o inclinación de la vorticidad debido a los gradientes de velocidad del flujo. Tenga en cuenta que ( ω ∙ ∇) u es una cantidad vectorial, ya que ω ∙ ∇ es un operador diferencial escalar, mientras que ∇ u es una cantidad tensorial de nueve elementos.
- El término ω (∇ ∙ u ) describe el estiramiento de la vorticidad debido a la compresibilidad del flujo. De la ecuación de continuidad de Navier-Stokes se desprende , a saber,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \ nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv }{dt}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde v =1/ρes el volumen específico del elemento fluido. Se puede pensar en ∇ ∙ u como una medida de compresibilidad del flujo. A veces se incluye el signo negativo en el término. - El término1/ρ 2∇ ρ × ∇ p es el término baroclínico . Tiene en cuenta los cambios en la vorticidad debido a la intersección de las superficies de densidad y presión.
- El término ∇ × (∇ ∙ τ/ρ) , explica la difusión de la vorticidad debido a los efectos viscosos.
- El término ∇ × B prevé cambios debidos a fuerzas externas del cuerpo. Se trata de fuerzas que se reparten sobre una región tridimensional del fluido, como la gravedad o las fuerzas electromagnéticas . (A diferencia de las fuerzas que actúan sólo sobre una superficie (como el arrastre sobre una pared) o una línea (como la tensión superficial alrededor de un menisco ).
Simplificaciones
Así, para un fluido barotrópico no viscoso con fuerzas corporales conservadoras, la ecuación de vorticidad se simplifica a
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)=\left({\frac {\boldsymbol {\omega }} {\rho }}\right)\cdot \nabla \mathbf {u} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Alternativamente, en el caso de un fluido incompresible y no viscoso con fuerzas corporales conservadoras,
[1]
Para una breve revisión de casos adicionales y simplificaciones, ver también. [2] Para conocer la ecuación de vorticidad en la teoría de la turbulencia, en el contexto de los flujos en los océanos y la atmósfera, consulte. [3]
Derivación
La ecuación de vorticidad se puede derivar de la ecuación de Navier-Stokes para la conservación del momento angular . En ausencia de pares concentrados y fuerzas lineales, se obtiene:
![{\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}+{\frac {\mathbf {B} }{\rho }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora, la vorticidad se define como la curvatura del vector velocidad del flujo; tomando el rizo de la ecuación del momento se obtiene la ecuación deseada. Las siguientes identidades son útiles para derivar la ecuación:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}&=\nabla \times \mathbf {u} \\\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} &=\nabla \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\ \nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)&=-{\boldsymbol {\omega }}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right )+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\ \[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está cualquier campo escalar?![{\displaystyle \phi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Notación tensorial
La ecuación de vorticidad se puede expresar en notación tensorial utilizando la convención de suma de Einstein y el símbolo de Levi-Civita e ijk :
![{\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+v_{j }{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j }}}-\omega _{i}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}} {\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk} {\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En ciencias específicas
Ciencias atmosféricas
En las ciencias atmosféricas , la ecuación de vorticidad se puede expresar en términos de la vorticidad absoluta del aire con respecto a un sistema inercial, o de la vorticidad con respecto a la rotación de la Tierra. La versión absoluta es
![{\displaystyle {\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{\text{h}}\cdot \mathbf {v} _{\text{h}}-\left({\ frac {\w parcial}{\x parcial}}{\frac {\v parcial}{\z parcial}}-{\frac {\w parcial}{\y parcial}}{\frac {\u parcial}{ \partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _ {\text{h}}p\times \nabla _ {\text{h}}\rho \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí, η es el componente polar ( z ) de la vorticidad, ρ es la densidad atmosférica , u , v y w son los componentes de la velocidad del viento , y ∇ h es el componente bidimensional (es decir, solo el componente horizontal) . .
Ver también
Referencias
- ^ Grillete, Alexander L.; Walecka, John D. (2003). Mecánica Teórica de Partículas y Continua (1ª ed.). Publicaciones de Dover. pag. 351.ISBN 978-0-486-43261-8.
- ^ Burr, K. P. "Hidrodinámica marina, Conferencia 9" (PDF) . Conferencias del MIT .
- ^ Salmon, Richard L. "Conferencias sobre dinámica de fluidos geofísicos, capítulo 4" (PDF) . Prensa de la Universidad de Oxford; 1 edición (26 de febrero de 1998) .
Otras lecturas
- Maná, Utpal; Sritharan, SS (2007). "Funcionales de Lyapunov y disipación local para la ecuación de vorticidad en espacios L p y Besov". Ecuaciones Diferenciales e Integrales . 20 (5): 581–598. arXiv : 0802.2898 . doi : 10.57262/die/1356039440. S2CID 50701138.
- Barbú, V.; Sritharan, SS (2000). "Cuantización M-acretiva de la ecuación de vorticidad" (PDF) . En Balakrishnan, AV (ed.). Semigrupos de operadores: teoría y aplicaciones . Boston: Birkhauser. págs. 296–303.
- Krigel, AM (1983). "Evolución del vórtice". Dinámica de fluidos geofísicos y astrofísicos . 24 (3): 213–223. Código Bib : 1983GApFD..24..213K. doi :10.1080/03091928308209066.