Función armónica

Funciones en matemáticas

Una función armónica definida en un anillo .

En matemáticas , física matemática y teoría de procesos estocásticos , una función armónica es una función dos veces continuamente diferenciable donde U es un subconjunto abierto de ⁠ ⁠ que satisface la ecuación de Laplace , es decir, en todas partes en U. Esto generalmente se escribe como o ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$$ $${\displaystyle \Delta f=0}$$

Etimología del término “armónico”

El descriptor "armónico" en el nombre de la función armónica se origina a partir de un punto en una cuerda tensa que está experimentando un movimiento armónico . La solución a la ecuación diferencial para este tipo de movimiento se puede escribir en términos de senos y cosenos, funciones que se denominan armónicos . El análisis de Fourier implica expandir las funciones en el círculo unitario en términos de una serie de estos armónicos. Considerando análogos de dimensiones superiores de los armónicos en la n -esfera unitaria , se llega a los armónicos esféricos . Estas funciones satisfacen la ecuación de Laplace y con el tiempo "armónico" se utilizó para referirse a todas las funciones que satisfacen la ecuación de Laplace. ^[1]

Ejemplos

Ejemplos de funciones armónicas de dos variables son:

• La parte real o imaginaria de cualquier función holomorfa .
• La función this es un caso especial del ejemplo anterior, ya que y es una función holomorfa . La segunda derivada con respecto a x es mientras que la segunda derivada con respecto a y es ${\displaystyle \,\!f(x,y)=e^{x}\sin y;}$ ${\displaystyle f(x,y)=\operatorname {Im} \left(e^{x+iy}\right),}$ ${\displaystyle e^{x+iy}}$ ${\displaystyle \,\!e^{x}\sin y,}$ ${\displaystyle \,\!-e^{x}\sin y.}$
• La función definida en Esto puede describir el potencial eléctrico debido a una carga lineal o el potencial de gravedad debido a una masa cilíndrica larga. ${\displaystyle \,\!f(x,y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace .}$

En la siguiente tabla se dan ejemplos de funciones armónicas de tres variables con ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}:}$

Las funciones armónicas que surgen en física están determinadas por sus singularidades y condiciones de contorno (como las condiciones de contorno de Dirichlet o las condiciones de contorno de Neumann ). En regiones sin límites, la adición de la parte real o imaginaria de cualquier función completa producirá una función armónica con la misma singularidad, por lo que en este caso la función armónica no está determinada por sus singularidades; sin embargo, podemos hacer que la solución sea única en situaciones físicas al requerir que la solución se acerque a 0 cuando r se acerque al infinito. En este caso, la unicidad se deduce del teorema de Liouville .

Los puntos singulares de las funciones armónicas anteriores se expresan como " cargas " y " densidades de carga " utilizando la terminología de la electrostática , y por lo tanto la función armónica correspondiente será proporcional al potencial electrostático debido a estas distribuciones de carga. Cada función anterior producirá otra función armónica cuando se multiplique por una constante, se rote y/o se le agregue una constante. La inversión de cada función producirá otra función armónica que tiene singularidades que son las imágenes de las singularidades originales en un "espejo" esférico. Además, la suma de dos funciones armónicas cualesquiera producirá otra función armónica.

Finalmente, ejemplos de funciones armónicas de n variables son:

• Las funciones constantes, lineales y afines sobre todos los ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (por ejemplo, el potencial eléctrico entre las placas de un condensador y el potencial gravitacional de una losa)
• La función en para n > 2 . ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)^{1-n/2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace }$

Propiedades

El conjunto de funciones armónicas en un conjunto abierto dado U puede verse como el núcleo del operador de Laplace Δ y, por lo tanto, es un espacio vectorial sobre combinaciones lineales de funciones armónicas ${\displaystyle \mathbb {R} \!:}$ que son nuevamente armónicas.

Si f es una función armónica en U , entonces todas las derivadas parciales de f también son funciones armónicas en U. El operador de Laplace Δ y el operador de derivada parcial conmutarán en esta clase de funciones.

En muchos sentidos, las funciones armónicas son análogas reales a las funciones holomorfas . Todas las funciones armónicas son analíticas , es decir, pueden expresarse localmente como series de potencias . Este es un hecho general sobre los operadores elípticos , de los cuales el laplaciano es un ejemplo importante.

El límite uniforme de una secuencia convergente de funciones armónicas sigue siendo armónico. Esto es cierto porque toda función continua que satisface la propiedad del valor medio es armónica. Considere la secuencia en ⁠ ⁠ ${\displaystyle (-\infty ,0)\times \mathbb {R} }$ definida por esta secuencia es armónica y converge uniformemente a la función cero; sin embargo, observe que las derivadas parciales no son uniformemente convergentes a la función cero (la derivada de la función cero). Este ejemplo muestra la importancia de confiar en la propiedad del valor medio y la continuidad para argumentar que el límite es armónico. ${\textstyle f_{n}(x,y)={\frac {1}{n}}\exp(nx)\cos(ny);}$

Conexiones con la teoría de funciones complejas

La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa produce funciones armónicas en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (se dice que son un par de funciones conjugadas armónicas ). A la inversa, cualquier función armónica u en un subconjunto abierto Ω de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ es localmente la parte real de una función holomorfa. Esto se ve inmediatamente al observar que, escribiendo la función compleja es holomorfa en Ω porque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Por lo tanto, g localmente tiene una f primitiva , y u es la parte real de f hasta una constante, ya que u _x es la parte real de ${\displaystyle z=x+iy,}$ ${\displaystyle g(z):=u_{x}-iu_{y}}$ ${\displaystyle f'=g.}$

Aunque la correspondencia anterior con las funciones holomorfas sólo es válida para funciones de dos variables reales, las funciones armónicas en n variables aún disfrutan de una serie de propiedades típicas de las funciones holomorfas. Son (realmente) analíticas; tienen un principio de máximo y un principio de valor medio; un teorema de eliminación de singularidades, así como un teorema de Liouville, son válidos para ellas en analogía con los teoremas correspondientes en la teoría de funciones complejas.

Propiedades de las funciones armónicas

Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la ecuación de Laplace.

Teorema de regularidad para funciones armónicas

Las funciones armónicas son infinitamente diferenciables en conjuntos abiertos. De hecho, las funciones armónicas son analíticas reales .

Principio máximo

Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio de máximo : si K es un subconjunto compacto no vacío de U , entonces f restringida a K alcanza su máximo y mínimo en el límite de K. Si U es conexo , esto significa que f no puede tener máximos o mínimos locales, salvo en el caso excepcional en que f sea constante . Se pueden demostrar propiedades similares para funciones subarmónicas .

La propiedad del valor medio

Si B ( x , r ) es una bola con centro x y radio r que está completamente contenida en el conjunto abierto , entonces el valor u ( x ) de una función armónica en el centro de la bola está dado por el valor medio de u en la superficie de la bola; este valor medio también es igual al valor medio de u en el interior de la bola. En otras palabras, donde ω _n es el volumen de la bola unitaria en n dimensiones y σ es la medida de superficie ( n − 1) -dimensional. ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV}$$

Por el contrario, todas las funciones integrables localmente que satisfacen la propiedad del valor medio (de volumen) son infinitamente diferenciables y armónicas.

En términos de convoluciones , si denota la función característica de la bola con radio r alrededor del origen, normalizada de modo que la función u sea armónica en Ω si y solo si tan pronto como $${\displaystyle \chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}}$$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1,}$ $${\displaystyle u(x)=u*\chi _{r}(x)\;}$$ ${\displaystyle B(x,r)\subset \Omega .}$

Esquema de la demostración. La demostración de la propiedad del valor medio de las funciones armónicas y su recíproca se sigue inmediatamente observando que la ecuación no homogénea, para cualquier 0 < s < r admite una fácil solución explícita w _r,s de clase C ^1,1 con soporte compacto en B (0, r ) . Así, si u es armónica en Ω se cumple en el conjunto Ω _r de todos los puntos x en Ω con $${\displaystyle \Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}\;}$$ $${\displaystyle 0=\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}\;}$$ ${\displaystyle \operatorname {dist} (x,\partial \Omega )>r.}$

Como u es continua en Ω , converge a u cuando s → 0 mostrando la propiedad de valor medio para u en Ω . Por el contrario, si u es cualquier función que satisface la propiedad de valor medio en Ω , es decir, se cumple en Ω _r para todo 0 < s < r entonces, iterando m veces la convolución con χ _r se tiene: de modo que u es porque la convolución iterada m veces de χ _r es de clase con soporte B (0, mr ) . Como r y m son arbitrarios, u también lo es . Además, para todo 0 < s < r de modo que Δ u = 0 en Ω por el teorema fundamental del cálculo de variaciones, demostrando la equivalencia entre la armonicidad y la propiedad de valor medio. ${\displaystyle u*\chi _{s}}$ ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}\;}$ $${\displaystyle u*\chi _{r}=u*\chi _{s}\;}$$ $${\displaystyle u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\,,\qquad x\in \Omega _{mr},}$$ ${\displaystyle C^{m-1}(\Omega _{mr})\;}$ ${\displaystyle C^{m-1}\;}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\;}$ $${\displaystyle \Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}=0\;}$$

Esta afirmación de la propiedad del valor medio se puede generalizar de la siguiente manera: Si h es cualquier función esféricamente simétrica admitida en B ( x , r ) tal que entonces En otras palabras, podemos tomar el promedio ponderado de u alrededor de un punto y recuperar u ( x ) . En particular, al tomar h como una función C ^∞ , podemos recuperar el valor de u en cualquier punto incluso si solo sabemos cómo actúa u como una distribución . Véase el lema de Weyl . ${\textstyle \int h=1,}$ ${\displaystyle u(x)=h*u(x).}$

Desigualdad de Harnack

Sea un conjunto conexo en un dominio acotado Ω . Entonces, para cada función armónica no negativa u , la desigualdad de Harnack se cumple para alguna constante C que depende solo de V y Ω . $${\displaystyle V\subset {\overline {V}}\subset \Omega }$$ $${\displaystyle \sup _{V}u\leq C\inf _{V}u}$$

Eliminación de singularidades

El siguiente principio de eliminación de singularidades se aplica a funciones armónicas. Si f es una función armónica definida en un subconjunto abierto punteado de ⁠ ⁠ , que es menos singular en x ₀ que la solución fundamental (para n > 2 ), entonces f se extiende a una función armónica en Ω (compárese el teorema de Riemann para funciones de una variable compleja). ${\displaystyle \Omega \smallsetminus \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},}$$

Teorema de Liouville

Teorema : Si f es una función armónica definida en todo ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ que está acotada superior o inferiormente, entonces f es constante.

(Compare el teorema de Liouville para funciones de variable compleja ).

Edward Nelson dio una prueba particularmente breve de este teorema para el caso de funciones acotadas, ^[2] utilizando la propiedad del valor medio mencionada anteriormente:

Dados dos puntos, elija dos bolas con los puntos dados como centros y de igual radio. Si el radio es lo suficientemente grande, las dos bolas coincidirán excepto por una proporción arbitrariamente pequeña de su volumen. Como f está acotada, los promedios de esta para las dos bolas son arbitrariamente cercanos, y por lo tanto f asume el mismo valor en cualesquiera dos puntos.

La prueba se puede adaptar al caso en que la función armónica f está simplemente acotada por encima o por debajo. Añadiendo una constante y posiblemente multiplicando por –1, podemos suponer que f no es negativa. Entonces, para dos puntos cualesquiera x e y , y cualquier número positivo R , dejamos Entonces consideramos las bolas B _R ( x ) y B _r ( y ) donde por la desigualdad triangular, la primera bola está contenida en la segunda. ${\displaystyle r=R+d(x,y).}$

Por la propiedad de promediado y la monotonía de la integral, tenemos (Note que como vol B _R ( x ) es independiente de x , lo denotamos simplemente como vol B _R .) En la última expresión, podemos multiplicar y dividir por vol B _r y usar la propiedad de promediado nuevamente, para obtener Pero como la cantidad tiende a 1. Por lo tanto, El mismo argumento con los roles de x e y invertidos muestra que , de modo que $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{R}(x)}f(z)\,dz\leq {\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{r}(y)}f(z)\,dz.}$$ $${\displaystyle f(x)\leq {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}f(y).}$$ ${\displaystyle R\rightarrow \infty ,}$ $${\displaystyle {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}={\frac {\left(R+d(x,y)\right)^{n}}{R^{n}}}}$$ ${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$ ${\displaystyle f(y)\leq f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=f(y).}$

Otra prueba utiliza el hecho de que dado un movimiento browniano B _t en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ tal que tenemos para todo t ≥ 0 . En palabras, dice que una función armónica define una martingala para el movimiento browniano. Luego, un argumento de acoplamiento probabilístico finaliza la prueba. ^[3] ${\displaystyle B_{0}=x_{0},}$ ${\displaystyle E[f(B_{t})]=f(x_{0})}$

Generalizaciones

Función débilmente armónica

Una función (o, más generalmente, una distribución ) es débilmente armónica si satisface la ecuación de Laplace en un sentido débil (o, equivalentemente, en el sentido de distribuciones). Una función débilmente armónica coincide casi en todas partes con una función fuertemente armónica y, en particular, es suave. Una distribución débilmente armónica es precisamente la distribución asociada a una función fuertemente armónica y, por lo tanto, también es suave. Este es el lema de Weyl . $${\displaystyle \Delta f=0\,}$$

Existen otras formulaciones débiles de la ecuación de Laplace que suelen ser útiles. Una de ellas es el principio de Dirichlet , que representa las funciones armónicas en el espacio de Sobolev H ¹ (Ω) como los minimizadores de la integral de energía de Dirichlet con respecto a las variaciones locales, es decir, todas las funciones tales que se cumplen para todos o, equivalentemente, para todos $${\displaystyle J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx}$$ ${\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle J(u)\leq J(u+v)}$ ${\displaystyle v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$ ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

Funciones armónicas en variedades

Las funciones armónicas se pueden definir en una variedad de Riemann arbitraria , utilizando el operador de Laplace-Beltrami Δ . En este contexto, una función se llama armónica si Muchas de las propiedades de las funciones armónicas en dominios en el espacio euclidiano se trasladan a este entorno más general, incluido el teorema del valor medio (sobre bolas geodésicas ), el principio del máximo y la desigualdad de Harnack. Con la excepción del teorema del valor medio, estas son consecuencias fáciles de los resultados correspondientes para ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales generales de segundo orden. $${\displaystyle \ \Delta f=0.}$$

Funciones subarmónicas

Una función C ² que satisface Δ f ≥ 0 se denomina subarmónica. Esta condición garantiza que se mantendrá el principio de máximo, aunque otras propiedades de las funciones armónicas pueden fallar. De manera más general, una función es subarmónica si y solo si, en el interior de cualquier esfera de su dominio, su gráfico se encuentra por debajo del de la función armónica que interpola sus valores límite en la esfera.

Formas armónicas

Una generalización del estudio de las funciones armónicas es el estudio de las formas armónicas en las variedades de Riemann , y está relacionada con el estudio de la cohomología . También es posible definir funciones armónicas de valor vectorial, o mapas armónicos de dos variedades de Riemann, que son puntos críticos de una funcional de energía de Dirichlet generalizada (esto incluye las funciones armónicas como un caso especial, un resultado conocido como principio de Dirichlet ). Este tipo de mapa armónico aparece en la teoría de superficies mínimas. Por ejemplo, una curva, es decir, un mapa desde un intervalo en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a una variedad de Riemann, es un mapa armónico si y solo si es una geodésica .

Mapas armónicos entre variedades

Si M y N son dos variedades de Riemann, entonces un mapa armónico se define como un punto crítico de la energía de Dirichlet en el que es la diferencial de u , y la norma es la inducida por la métrica en M y la de N en el fibrado de productos tensoriales . ${\displaystyle u:M\to N}$ $${\displaystyle D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\left\|du\right\|^{2}\,d\operatorname {Vol} }$$ ${\displaystyle du:TM\to TN}$ ${\displaystyle T^{\ast }M\otimes u^{-1}TN.}$

Casos especiales importantes de aplicaciones armónicas entre variedades incluyen las superficies mínimas , que son precisamente las inmersiones armónicas de una superficie en un espacio euclidiano tridimensional. De manera más general, las subvariedades mínimas son inmersiones armónicas de una variedad en otra. Las coordenadas armónicas son un difeomorfismo armónico de una variedad a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano de la misma dimensión.

Véase también

• Balayage
• Mapa biarmónico
• Problema de Dirichlet
• Morfismo armónico
• Polinomio armónico
• Ecuación del calor
• Ecuación de Laplace para flujo irrotacional
• ecuación de poisson
• Dominios de cuadratura

Notas

1. Axler, Sheldon; Bourdon, Paul; Ramey, Wade (2001). Teoría de la función armónica . Nueva York: Springer. p. 25. ISBN. 0-387-95218-7.
2. Nelson, Edward (1961). "Una prueba del teorema de Liouville". Actas de la American Mathematical Society . 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .
3. "Acoplamiento probabilístico". Échale la culpa al analista . 24 de enero de 2012. Archivado desde el original el 8 de mayo de 2021. Consultado el 26 de mayo de 2022 .

Referencias

• Evans, Lawrence C. (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , American Mathematical Society.
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil (12 de enero de 2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , ISBN 3-540-41160-7.
• Han, Q.; Lin, F. (2000), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas , American Mathematical Society.
• Jost, Jürgen (2005), Geometría riemanniana y análisis geométrico (4.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7.
• Axler, Sheldon; Bourdon, Paul; Ramey, Wade (2001), Teoría de la función armónica , vol. 137 (segunda ed.), Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4757-8137-3, ISBN 0-387-95218-7.

Enlaces externos

• "Función armónica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Función armónica". MathWorld .
• Teoría de la función armónica de S. Axler, Paul Bourdon y Wade Ramey