En matemáticas , la energía de Dirichlet es una medida de la variabilidad de una función . En términos más abstractos, es una función cuadrática en el espacio de Sobolev H 1 . La energía de Dirichlet está íntimamente relacionada con la ecuación de Laplace y recibe su nombre del matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet .
Dado un conjunto abierto Ω ⊆ R n y una función u : Ω → R la energía de Dirichlet de la función u es el número real
donde ∇ u : Ω → R n denota el campo vectorial de gradiente de la función u .
Dado que es la integral de una cantidad no negativa, la energía de Dirichlet es en sí misma no negativa, es decir, E [ u ] ≥ 0 para cada función u .
Resolver la ecuación de Laplace para todos los , sujetos a las condiciones de contorno apropiadas , es equivalente a resolver el problema variacional de encontrar una función u que satisfaga las condiciones de contorno y tenga energía de Dirichlet mínima.
Esta solución se denomina función armónica y son el tema de estudio de la teoría del potencial .
En un contexto más general, donde Ω ⊆ R n se reemplaza por cualquier variedad de Riemann M , y u : Ω → R se reemplaza por u : M → Φ para otra variedad de Riemann (diferente) Φ , la energía de Dirichlet viene dada por el modelo sigma . Las soluciones de las ecuaciones de Lagrange para el modelo sigma Lagrangian son aquellas funciones u que minimizan/maximizan la energía de Dirichlet. Restringir este caso general al caso específico de u : Ω → R simplemente muestra que las ecuaciones de Lagrange (o, equivalentemente, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi ) proporcionan las herramientas básicas para obtener soluciones extremales.
![{\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77650ec89ffc129b298660f8625ed95580e37643)
