Capacidad de un conjunto

En matemáticas , la capacidad de un conjunto en el espacio euclidiano es una medida del "tamaño" de ese conjunto. A diferencia de, digamos, la medida de Lebesgue , que mide el volumen o la extensión física de un conjunto , la capacidad es un análogo matemático de la capacidad de un conjunto para mantener una carga eléctrica . Más precisamente, es la capacitancia del conjunto: la carga total que un conjunto puede contener manteniendo una energía potencial determinada . La energía potencial se calcula con respecto a una tierra idealizada en el infinito para la capacidad armónica o newtoniana , y con respecto a una superficie para la capacidad del condensador .

nota historica

La noción de capacidad de un conjunto y de conjunto "capazable" fue introducida por Gustave Choquet en 1950: para una descripción detallada, véase la referencia (Choquet 1986).

Definiciones

Capacidad del condensador

Sea Σ una hipersuperficie cerrada , suave ( n  − 1) dimensional en un espacio euclidiano de n dimensiones , n ≥ 3; K denotará el conjunto compacto (es decir, cerrado y acotado ) de n dimensiones del cual Σ es la frontera . Sea S otra hipersuperficie ( n − 1)-dimensional que encierra Σ: en referencia a sus orígenes en el electromagnetismo , el par (Σ,  S ) se conoce como condensador . La capacidad del condensador de Σ en relación con S , denotada C (Σ,  S ) o cap(Σ,  S ), viene dada por la integral de superficie ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma ',}$

dónde:

• u es la función armónica única definida en la región D entre Σ y S con las condiciones de contorno u ( x ) = 1 en Σ y u ( x ) = 0 en S ;
• S ′ es cualquier superficie intermedia entre Σ y S ;
• ν es el campo normal unitario saliente a S ′ y

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nabla u(x)\cdot \nu (x)}$

es la derivada normal de u a través de S ′ ; y

• σ _n  = 2 π ^{n ⁄2}  ⁄ Γ( n  ⁄ 2) es el área de superficie de la esfera unitaria en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

C (Σ,  S ) puede definirse de manera equivalente mediante la integral de volumen

${\displaystyle C(\Sigma ,S)={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

La capacidad del condensador también tiene una caracterización variacional : C (Σ,  S ) es el mínimo de la energía funcional de Dirichlet.

${\displaystyle I[v]={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x}$

sobre todas las funciones continuamente diferenciables v en D con v ( x ) = 1 en Σ y v ( x ) = 0 en S .

capacidad armónica

Heurísticamente , la capacidad armónica de K , la región delimitada por Σ, se puede encontrar tomando la capacidad del condensador de Σ con respecto al infinito. Más precisamente, sea u la función armónica en el complemento de K que satisface u  = 1 en Σ y u ( x ) → 0 cuando x  → ∞. Por tanto, u es el potencial newtoniano de la capa simple Σ. Entonces la capacidad armónica o capacidad newtoniana de K , denotada C ( K ) o cap( K ), se define entonces por

${\displaystyle C(K)=\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus K}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

Si S es una hipersuperficie rectificable que encierra completamente a K , entonces la capacidad armónica se puede reescribir de manera equivalente como la integral sobre S de la derivada normal externa de u :

${\displaystyle C(K)=\int _{S}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma .}$

La capacidad armónica también puede entenderse como un límite de la capacidad del condensador. Es decir, sea S _r la esfera de radio r alrededor del origen en . Dado que K está acotado, para r suficientemente grande , Sr _r encerrará a K y (Σ,  Sr _r ) formará un par de condensadores. La capacidad armónica es entonces el límite cuando r tiende a infinito: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C(K)=\lim _{r\to \infty }C(\Sigma ,S_{r}).}$

La capacidad armónica es una versión matemáticamente abstracta de la capacidad electrostática del conductor K y siempre es finita y no negativa: 0 ≤  C ( K ) < +∞.

La capacidad de Wiener o constante de Robin W(K) de K viene dada por

${\displaystyle C(K)=e^{-W(K)}}$

capacidad logarítmica

En dos dimensiones, la capacidad se define como arriba, pero eliminando el factor de en la definición: ${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma '={\frac {1}{2\pi }}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x}$

A esto se le suele llamar capacidad logarítmica , el término logarítmico surge, a medida que la función potencial pasa de ser una potencia inversa a un logaritmo en el límite. Esto se articula a continuación. También puede denominarse capacidad conforme , en referencia a su relación con el radio conforme . ${\displaystyle n\to 2}$

Propiedades

La función armónica u se llama potencial de capacidad , potencial newtoniano cuando y potencial logarítmico cuando . Se puede obtener mediante la función de Green como ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle u(x)=\int _{S}G(x-y)d\mu (y)}$

con x un punto exterior a S , y

${\displaystyle G(x-y)={\frac {1}{|x-y|^{n-2}}}}$

cuándo y ${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle G(x-y)=\log {\frac {1}{|x-y|}}}$

para . ${\displaystyle n=2}$

La medida se llama medida capacitaria o medida de equilibrio . Generalmente se considera una medida de Borel . Está relacionado con la capacidad como ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle C(K)=\int _{S}d\mu (y)=\mu (S)}$

La definición variacional de capacidad sobre la energía de Dirichlet se puede reexpresar como

${\displaystyle C(K)=\left[\inf _{\lambda }E(\lambda )\right]^{-1}}$

con el mínimo tomado sobre todas las medidas positivas de Borel concentradas en K , normalizadas de modo que y con es la integral de energía ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (K)=1}$ ${\displaystyle E(\lambda )}$

${\displaystyle E(\lambda )=\int \int _{K\times K}G(x-y)d\lambda (x)d\lambda (y)}$

Generalizaciones

La caracterización de la capacidad de un conjunto como el mínimo de un funcional de energía que alcanza valores límite particulares, dada anteriormente, se puede extender a otros funcionales de energía en el cálculo de variaciones .

Divergencia de operadores elípticos.

Soluciones a una ecuación diferencial parcial uniformemente elíptica con forma de divergencia

${\displaystyle \nabla \cdot (A\nabla u)=0}$

son minimizadores de la energía funcional asociada.

${\displaystyle I[u]=\int _{D}(\nabla u)^{T}A(\nabla u)\,\mathrm {d} x}$

sujeto a condiciones de contorno apropiadas.

La capacidad de un conjunto E con respecto a un dominio D que contiene E se define como el mínimo de la energía sobre todas las funciones continuamente diferenciables v en D con v ( x ) = 1 en E ; y v ( x ) = 0 en el límite de D .

La energía mínima se logra mediante una función conocida como potencial capacitivo de E con respecto a D , y resuelve el problema de obstáculos en D con la función de obstáculo proporcionada por la función indicadora de E. El potencial capacitivo se caracteriza alternativamente como la única solución de la ecuación con las condiciones de contorno apropiadas.

Ver también

• Capacidad analítica  : número que indica qué tan grande puede llegar a ser una determinada función analítica acotada.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Capacitancia  : capacidad de un cuerpo para almacenar una carga eléctrica.
• Potencial newtoniano  : función de Green para el laplaciano
• Teoría potencial  : funciones armónicas como soluciones a la ecuación de Laplace
• Teoría de Choquet  – Área de análisis funcional y análisis convexo

Referencias

• Brélot, Marcel (1967) [1960], Conferencias sobre teoría del potencial (Notas de KN Gowrisankaran y MK Venkatesha Murthy.) (PDF) , Conferencias del Instituto Tata de Investigación Fundamental sobre Matemáticas y Física. Matemáticas., vol. 19 (2ª ed.), Bombay: Instituto Tata de Investigación Fundamental, MR  0259146, Zbl  0257.31001. La segunda edición de estas notas de clase, revisada y ampliada con la ayuda de S. Ramaswamy, recompuesta, revisada una vez y disponible gratuitamente para su descarga.
• Choquet, Gustave (1986), "La naissance de la théorie des capacités: réflexion sur une expérience personalle", Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série générale, La Vie des sciences (en francés), 3 (4): 385–397, MR  0867115, Zbl  0607.01017, disponible en Gallica . Un relato histórico del desarrollo de la teoría de la capacidad por parte de su fundador y uno de los principales contribuyentes; una traducción al inglés del título dice: "El nacimiento de la teoría de la capacidad: reflexiones sobre una experiencia personal".
• Doob, Joseph Leo (1984), Teoría potencial clásica y su contraparte probabilística, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 262, Berlín– Heidelberg –Nueva York: Springer-Verlag, págs. xxiv+846, ISBN 0-387-90881-1, SEÑOR  0731258, Zbl  0549.31001
• Littman, W.; Stampacchia, G .; Weinberger, H. (1963), "Puntos regulares para ecuaciones elípticas con coeficientes discontinuos", Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze , Serie III, 17 (12): 43–77, MR  0161019, Zbl  0116.30302, disponible en NUMDAM.
• Ransford, Thomas (1995), Teoría potencial en el plano complejo , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, vol. 28, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-46654-7, Zbl  0828.31001
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Capacidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Constante de Robin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Energía de medidas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press