En la parte de las matemáticas llamada topología , una superficie es una variedad bidimensional . Algunas superficies surgen como límites de figuras sólidas tridimensionales ; por ejemplo, la esfera es el límite de la bola sólida . Otras superficies surgen como gráficos de funciones de dos variables; vea la figura a la derecha. Sin embargo, las superficies también se pueden definir de manera abstracta, sin referencia a ningún espacio circundante . Por ejemplo, la botella de Klein es una superficie que no se puede incrustar en el espacio euclidiano tridimensional .
Las superficies topológicas a veces están dotadas de información adicional, como una métrica de Riemann o una estructura compleja, que las conecta con otras disciplinas dentro de las matemáticas, como la geometría diferencial y el análisis complejo . Las diversas nociones matemáticas de superficie se pueden utilizar para modelar superficies en el mundo físico.
En matemáticas , una superficie es una forma geométrica que se asemeja a un plano deformado. Los ejemplos más conocidos surgen como límites de objetos sólidos en el espacio euclidiano tridimensional ordinario R 3 , como las esferas . La definición exacta de una superficie puede depender del contexto. Por lo general, en geometría algebraica , una superficie puede cruzarse a sí misma (y puede tener otras singularidades ), mientras que, en topología y geometría diferencial , puede que no.
Una superficie es un espacio bidimensional ; esto significa que un punto móvil sobre una superficie puede moverse en dos direcciones (tiene dos grados de libertad ). En otras palabras, alrededor de casi cada punto, hay un parche de coordenadas en el que se define un sistema de coordenadas bidimensional . Por ejemplo, la superficie de la Tierra se asemeja (idealmente) a una esfera bidimensional , y la latitud y la longitud proporcionan coordenadas bidimensionales en ella (excepto en los polos y a lo largo del meridiano 180 ).
El concepto de superficie se utiliza ampliamente en física , ingeniería , gráficos por ordenador y muchas otras disciplinas, principalmente para representar las superficies de objetos físicos. Por ejemplo, al analizar las propiedades aerodinámicas de un avión , la consideración central es el flujo de aire a lo largo de su superficie.
Una superficie (topológica) es un espacio topológico en el que cada punto tiene un entorno abierto homeomorfo a algún subconjunto abierto del plano euclidiano E 2 . Este entorno, junto con el homeomorfismo correspondiente, se conoce como gráfico (de coordenadas) . Es a través de este gráfico que el entorno hereda las coordenadas estándar en el plano euclidiano. Estas coordenadas se conocen como coordenadas locales y estos homeomorfismos nos llevan a describir las superficies como localmente euclidianas .
En la mayoría de los escritos sobre el tema, se suele suponer, explícita o implícitamente, que, como espacio topológico, una superficie también es no vacía, numerable en segundo lugar y de Hausdorff . También se suele suponer que las superficies en consideración son conexas.
El resto de este artículo asumirá, a menos que se especifique lo contrario, que una superficie no es vacía, es de Hausdorff, es contable en segundo lugar y está conectada.
De manera más general, una superficie (topológica) con borde es un espacio topológico de Hausdorff en el que cada punto tiene un vecindario abierto homeomorfo a algún subconjunto abierto del cierre del semiplano superior H 2 en C . Estos homeomorfismos también se conocen como gráficos (de coordenadas) . El límite del semiplano superior es el eje x . Un punto en la superficie mapeado mediante un gráfico al eje x se denomina punto límite . La colección de tales puntos se conoce como el límite de la superficie que es necesariamente una uni-variedad, es decir, la unión de curvas cerradas. Por otro lado, un punto mapeado por encima del eje x es un punto interior . La colección de puntos interiores es el interior de la superficie que siempre es no- vacío . El disco cerrado es un ejemplo simple de una superficie con borde. El límite del disco es un círculo.
El término superficie, utilizado sin ninguna calificación, se refiere a superficies sin límites. En particular, una superficie con límites vacíos es una superficie en el sentido habitual. Una superficie con límites vacíos que es compacta se conoce como superficie "cerrada". La esfera bidimensional, el toro bidimensional y el plano proyectivo real son ejemplos de superficies cerradas.
La banda de Möbius es una superficie en la que la distinción entre sentido horario y antihorario se puede definir localmente, pero no globalmente. En general, se dice que una superficie es orientable si no contiene una copia homeomorfa de la banda de Möbius; intuitivamente, tiene dos "lados" distintos. Por ejemplo, la esfera y el toro son orientables, mientras que el plano proyectivo real no lo es (porque el plano proyectivo real con un punto eliminado es homeomorfo a la banda de Möbius abierta).
En la geometría diferencial y algebraica , se añade una estructura adicional a la topología de la superficie. Esta estructura adicional puede ser una estructura de suavidad (que permite definir aplicaciones diferenciables hacia y desde la superficie), una métrica de Riemann (que permite definir longitudes y ángulos en la superficie), una estructura compleja (que permite definir aplicaciones holomorfas hacia y desde la superficie, en cuyo caso la superficie se denomina superficie de Riemann ) o una estructura algebraica (que permite detectar singularidades , como autointersecciones y cúspides, que no se pueden describir únicamente en términos de la topología subyacente).
Históricamente, las superficies se definieron inicialmente como subespacios de espacios euclidianos. A menudo, estas superficies eran el lugar geométrico de los ceros de ciertas funciones, normalmente funciones polinómicas. Esta definición consideraba la superficie como parte de un espacio más grande (euclidiano) y, como tal, se la denominaba extrínseca .
En la sección anterior, se definió una superficie como un espacio topológico con ciertas propiedades, a saber, Hausdorff y localmente euclidianas. Este espacio topológico no se considera un subespacio de otro espacio. En este sentido, la definición dada anteriormente, que es la definición que los matemáticos utilizan en la actualidad, es intrínseca .
No es necesario que una superficie definida como intrínseca satisfaga la restricción adicional de ser un subespacio del espacio euclidiano. Puede parecer posible que algunas superficies definidas intrínsecamente no sean superficies en el sentido extrínseco. Sin embargo, el teorema de incrustación de Whitney afirma que, de hecho, toda superficie puede incrustarse homeomórficamente en el espacio euclidiano, de hecho en E 4 : Los enfoques extrínseco e intrínseco resultan ser equivalentes.
De hecho, cualquier superficie compacta que sea orientable o tenga un borde puede ser embebida en E 3 ; por otro lado, el plano proyectivo real, que es compacto, no orientable y sin borde, no puede ser embebido en E 3 (ver Gramain). Las superficies de Steiner , incluyendo la superficie de Boy , la superficie romana y la superficie de cross-cap , son modelos del plano proyectivo real en E 3 , pero solo la superficie de Boy es una superficie inmersa . Todos estos modelos son singulares en los puntos donde se intersecan.
La esfera cornuda de Alexander es una incrustación patológica bien conocida de la dos-esfera en la tres-esfera.
La incrustación elegida (si la hay) de una superficie en otro espacio se considera información extrínseca; no es esencial para la superficie en sí. Por ejemplo, un toro puede incrustarse en E 3 de la manera "estándar" (que parece un bagel ) o de manera anudada (ver figura). Los dos toros incrustados son homeomorfos, pero no isotópicos : son topológicamente equivalentes, pero sus incrustaciones no lo son.
La imagen de una función inyectiva continua desde R 2 hasta R n de dimensión superior se denomina superficie paramétrica . Este tipo de imagen se denomina así porque las direcciones x e y del dominio R 2 son dos variables que parametrizan la imagen. Una superficie paramétrica no tiene por qué ser una superficie topológica. Una superficie de revolución puede considerarse un tipo especial de superficie paramétrica.
Si f es una función suave de R 3 a R cuyo gradiente no es cero en ningún punto, entonces el lugar geométrico de los ceros de f define una superficie, conocida como superficie implícita . Si se descarta la condición de que el gradiente no se anule, entonces el lugar geométrico de los ceros puede desarrollar singularidades.
Cada superficie cerrada puede construirse a partir de un polígono orientado con un número par de lados, llamado polígono fundamental de la superficie, mediante la identificación por pares de sus aristas. Por ejemplo, en cada polígono que se muestra a continuación, al unir los lados con etiquetas coincidentes ( A con A , B con B ), de modo que las flechas apunten en la misma dirección, se obtiene la superficie indicada.
Cualquier polígono fundamental se puede escribir simbólicamente de la siguiente manera. Comience en cualquier vértice y continúe alrededor del perímetro del polígono en cualquier dirección hasta regresar al vértice inicial. Durante este recorrido, registre la etiqueta en cada borde en orden, con un exponente de -1 si el borde apunta opuesto a la dirección del recorrido. Los cuatro modelos anteriores, cuando se recorren en el sentido de las agujas del reloj comenzando en la parte superior izquierda, dan como resultado
Nótese que tanto la esfera como el plano proyectivo pueden realizarse como cocientes del 2-gono, mientras que el toro y la botella de Klein requieren un 4-gono (cuadrado).
La expresión así derivada de un polígono fundamental de una superficie resulta ser la única relación en una presentación del grupo fundamental de la superficie con las etiquetas de las aristas del polígono como generadores. Esto es una consecuencia del teorema de Seifert–van Kampen .
La unión de los bordes de los polígonos es un tipo especial de proceso de espacio cociente . El concepto de cociente se puede aplicar de forma más general para producir construcciones nuevas o alternativas de superficies. Por ejemplo, el plano proyectivo real se puede obtener como el cociente de la esfera identificando todos los pares de puntos opuestos en la esfera. Otro ejemplo de cociente es la suma conexa.
La suma conexa de dos superficies M y N , denotada M # N , se obtiene quitando un disco de cada una de ellas y pegándolos a lo largo de los componentes de contorno resultantes. El contorno de un disco es un círculo, por lo que estos componentes de contorno son círculos. La característica de Euler de M # N es la suma de las características de Euler de los sumandos, menos dos:
La esfera S es un elemento de identidad para la suma conexa, lo que significa que S # M = M. Esto se debe a que al eliminar un disco de la esfera queda un disco que simplemente reemplaza al disco eliminado de M al pegar.
La suma conectada con el toro T también se describe como la colocación de un "asa" en el otro sumando M . Si M es orientable, entonces también lo es T # M . La suma conectada es asociativa, por lo que la suma conectada de una colección finita de superficies está bien definida.
La suma conexa de dos planos proyectivos reales, P # P , es la botella de Klein K . La suma conexa del plano proyectivo real y la botella de Klein es homeomorfa a la suma conexa del plano proyectivo real con el toro; en una fórmula, P # K = P # T . Por lo tanto, la suma conexa de tres planos proyectivos reales es homeomorfa a la suma conexa del plano proyectivo real con el toro. Cualquier suma conexa que involucre un plano proyectivo real no es orientable.
Una superficie cerrada es una superficie compacta y sin límites . Ejemplos de superficies cerradas incluyen la esfera , el toro y la botella de Klein . Ejemplos de superficies no cerradas incluyen un disco abierto (que es una esfera con una perforación ), un cilindro (que es una esfera con dos perforaciones) y la banda de Möbius .
Una superficie incrustada en un espacio tridimensional es cerrada si y solo si es el límite de un sólido. Como sucede con cualquier variedad cerrada , una superficie incrustada en un espacio euclidiano que esté cerrada con respecto a la topología euclidiana heredada no es necesariamente una superficie cerrada; por ejemplo, un disco incrustado en un espacio que contenga su límite es una superficie topológicamente cerrada, pero no una superficie cerrada.
El teorema de clasificación de superficies cerradas establece que cualquier superficie cerrada conexa es homeomorfa a algún miembro de una de estas tres familias:
Las superficies de las dos primeras familias son orientables . Es conveniente combinar las dos familias considerando la esfera como la suma conexa de 0 toros. El número g de toros involucrados se denomina género de la superficie. La esfera y el toro tienen características de Euler 2 y 0, respectivamente, y en general la característica de Euler de la suma conexa de g toros es 2 − 2 g .
Las superficies de la tercera familia no son orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1 y, en general, la característica de Euler de la suma conexa de k de ellas es 2 − k .
De ello se deduce que una superficie cerrada está determinada, salvo homeomorfismo, por dos elementos de información: su característica de Euler y si es orientable o no. En otras palabras, la característica de Euler y la orientabilidad clasifican completamente las superficies cerradas salvo homeomorfismo.
Las superficies cerradas con múltiples componentes conectados se clasifican según la clase de cada uno de sus componentes conectados y, por lo tanto, generalmente se supone que la superficie está conectada.
Relacionando esta clasificación con las sumas conexas, las superficies cerradas hasta el homeomorfismo forman un monoide conmutativo bajo la operación de suma conexa, como lo hacen en efecto las variedades de cualquier dimensión fija. La identidad es la esfera, mientras que el plano proyectivo real y el toro generan este monoide, con una única relación P # P # P = P # T , que también puede escribirse P # K = P # T , ya que K = P # P . Esta relación a veces se conoce comoTeorema de Dyck segúnWalther von Dyck, quien lo demostró en (Dyck 1888), y la superficie triple cruzada P # P # P se llama en consecuenciaSuperficie de Dyck .[1]
Geométricamente, la suma-conexiones con un toro ( # T ) agrega un asa con ambos extremos unidos al mismo lado de la superficie, mientras que la suma-conexiones con una botella de Klein ( # K ) agrega un asa con los dos extremos unidos a lados opuestos de una superficie orientable; en presencia de un plano proyectivo ( # P ), la superficie no es orientable (no hay noción de lado), por lo que no hay diferencia entre unir un toro y unir una botella de Klein, lo que explica la relación.
La clasificación de superficies cerradas se conoce desde la década de 1860, [1] y hoy en día existen numerosas pruebas.
Las pruebas topológicas y combinatorias en general se basan en el difícil resultado de que cada 2-variedad compacta es homeomorfa a un complejo simplicial , lo cual es interesante por sí mismo. La prueba más común de la clasificación es (Seifert & Threlfall 1980), [1] que lleva cada superficie triangulada a una forma estándar. Una prueba simplificada, que evita una forma estándar, fue descubierta por John H. Conway alrededor de 1992, a la que llamó "Prueba de Irrelevancia Cero" o "prueba ZIP" y se presenta en (Francis & Weeks 1999).
Una prueba geométrica que arroja un resultado geométrico más sólido es el teorema de uniformización . Este fue demostrado originalmente solo para superficies de Riemann en las décadas de 1880 y 1900 por Felix Klein , Paul Koebe y Henri Poincaré .
Las superficies compactas , posiblemente con borde, son simplemente superficies cerradas con un número finito de agujeros (discos abiertos que han sido eliminados). Por lo tanto, una superficie compacta conexa se clasifica por el número de componentes del borde y el género de la superficie cerrada correspondiente; equivalentemente, por el número de componentes del borde, la orientabilidad y la característica de Euler. El género de una superficie compacta se define como el género de la superficie cerrada correspondiente. [2]
Esta clasificación se desprende casi inmediatamente de la clasificación de superficies cerradas: al eliminar un disco abierto de una superficie cerrada se obtiene una superficie compacta con un círculo como componente de contorno, y al eliminar k discos abiertos se obtiene una superficie compacta con k círculos disjuntos como componentes de contorno. Las ubicaciones precisas de los agujeros son irrelevantes, porque el grupo de homeomorfismos actúa de manera k -transitiva sobre cualquier variedad conexa de dimensión al menos 2.
Por el contrario, el límite de una superficie compacta es una 1-variedad cerrada y, por lo tanto, es la unión disjunta de un número finito de círculos; llenar estos círculos con discos (formalmente, tomando el cono ) produce una superficie cerrada.
La superficie orientable compacta única del género g y con k componentes de contorno se denota a menudo, por ejemplo, en el estudio del grupo de clases de mapeo .
Las superficies no compactas son más difíciles de clasificar. Como ejemplo simple, una superficie no compacta se puede obtener punzando (eliminando un conjunto finito de puntos de) una variedad cerrada. Por otro lado, cualquier subconjunto abierto de una superficie compacta es en sí mismo una superficie no compacta; considere, por ejemplo, el complemento de un conjunto de Cantor en la esfera, también conocido como la superficie del árbol de Cantor . Sin embargo, no toda superficie no compacta es un subconjunto de una superficie compacta; dos contraejemplos canónicos son la escalera de Jacob y el monstruo del Lago Ness , que son superficies no compactas con género infinito.
Una superficie no compacta M tiene un espacio no vacío de extremos E ( M ), que informalmente hablando describe las formas en que la superficie "se va al infinito". El espacio E ( M ) siempre es topológicamente equivalente a un subespacio cerrado del conjunto de Cantor . M puede tener un número finito o infinito numerable N h de asas, así como un número finito o infinito numerable N p de planos proyectivos . Si tanto N h como N p son finitos, entonces estos dos números, y el tipo topológico del espacio de extremos, clasifican la superficie M hasta la equivalencia topológica. Si uno o ambos de N h y N p son infinitos, entonces el tipo topológico de M depende no solo de estos dos números sino también de cómo el o los infinitos se aproximan al espacio de extremos. En general, el tipo topológico de M está determinado por los cuatro subespacios de E ( M ) que son puntos límite de infinitos asas e infinitos planos proyectivos, puntos límite de solo asas, puntos límite de solo planos proyectivos y puntos límite de ninguno. [3]
Si se elimina el supuesto de segunda contabilidad de la definición de superficie, existen superficies topológicas (necesariamente no compactas) que no tienen una base contable para su topología. Tal vez el ejemplo más simple sea el producto cartesiano de la línea larga con el espacio de números reales.
Otra superficie que no tiene una base numerable para su topología, pero que no requiere del Axioma de Elección para probar su existencia, es la variedad de Prüfer , que puede describirse mediante ecuaciones simples que muestran que es una superficie analítica real . La variedad de Prüfer puede considerarse como el semiplano superior junto con una "lengüeta" adicional T x que cuelga de él directamente debajo del punto ( x ,0), para cada x real .
En 1925, Tibor Radó demostró que todas las superficies de Riemann (es decir, variedades complejas unidimensionales ) son necesariamente numerables en segundo lugar ( teorema de Radó ). Por el contrario, si se sustituyen los números reales en la construcción de la superficie de Prüfer por los números complejos , se obtiene una variedad compleja bidimensional (que es necesariamente una variedad real de cuatro dimensiones) sin base numerable.
Los poliedros , como el borde de un cubo , se encuentran entre las primeras superficies que se encuentran en geometría. También es posible definir superficies suaves , en las que cada punto tiene una vecindad difeomorfa respecto de algún conjunto abierto en E 2 . Esta elaboración permite aplicar el cálculo a las superficies para demostrar muchos resultados.
Dos superficies lisas son difeomorfas si y sólo si son homeomorfas. (El resultado análogo no se cumple para variedades de dimensiones superiores). Por lo tanto, las superficies cerradas se clasifican hasta el difeomorfismo por su característica de Euler y su orientabilidad.
Las superficies lisas dotadas de métricas de Riemann son de importancia fundamental en la geometría diferencial . Una métrica de Riemann otorga a una superficie nociones de geodésica , distancia , ángulo y área. También da lugar a la curvatura gaussiana , que describe cuán curvada o doblada está la superficie en cada punto. La curvatura es una propiedad geométrica rígida, en el sentido de que no se conserva mediante difeomorfismos generales de la superficie. Sin embargo, el famoso teorema de Gauss-Bonnet para superficies cerradas establece que la integral de la curvatura gaussiana K sobre toda la superficie S está determinada por la característica de Euler:
Este resultado ejemplifica la profunda relación entre la geometría y la topología de las superficies (y, en menor medida, de las variedades de dimensiones superiores).
Otra forma en que surgen superficies en geometría es pasando al dominio complejo. Una variedad compleja unidimensional es una superficie orientada suave, también llamada superficie de Riemann . Cualquier curva algebraica compleja no singular vista como una variedad compleja es una superficie de Riemann. De hecho, toda superficie compacta orientable es realizable como una superficie de Riemann. Así, las superficies compactas de Riemann se caracterizan topológicamente por su género: 0, 1, 2, .... Por otro lado, el género no caracteriza la estructura compleja. Por ejemplo, hay un número incontable de superficies compactas de Riemann no isomorfas de género 1 (las curvas elípticas ).
Las estructuras complejas en una superficie orientada cerrada corresponden a clases de equivalencia conforme de métricas de Riemann en la superficie. Una versión del teorema de uniformización (debido a Poincaré ) establece que cualquier métrica de Riemann en una superficie orientada y cerrada es equivalente conformemente a una métrica esencialmente única de curvatura constante . Esto proporciona un punto de partida para uno de los enfoques de la teoría de Teichmüller , que proporciona una clasificación más fina de las superficies de Riemann que la topológica por la característica de Euler únicamente.
Una superficie compleja es una variedad compleja de dos elementos y, por lo tanto, una variedad real de cuatro elementos; no es una superficie en el sentido de este artículo. Ni las curvas algebraicas se definen sobre cuerpos distintos de los números complejos, ni las superficies algebraicas se definen sobre cuerpos distintos de los números reales.
{{citation}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )