Teoría de Hodge

Teoría matemática de variedades

En matemáticas , la teoría de Hodge , llamada así por WVD Hodge , es un método para estudiar los grupos de cohomología de una variedad suave M utilizando ecuaciones diferenciales parciales . La observación clave es que, dada una métrica de Riemann en M , cada clase de cohomología tiene un representante canónico , una forma diferencial que se desvanece bajo el operador laplaciano de la métrica. Tales formas se denominan armónicas .

La teoría fue desarrollada por Hodge en la década de 1930 para estudiar la geometría algebraica y se basó en el trabajo de Georges de Rham sobre la cohomología de De Rham . Tiene aplicaciones importantes en dos entornos: las variedades de Riemann y las variedades de Kähler . La motivación principal de Hodge, el estudio de las variedades proyectivas complejas , se engloba en el último caso. La teoría de Hodge se ha convertido en una herramienta importante en la geometría algebraica, particularmente a través de su conexión con el estudio de los ciclos algebraicos .

Si bien la teoría de Hodge depende intrínsecamente de los números reales y complejos , se puede aplicar a cuestiones de teoría de números . En situaciones aritméticas, las herramientas de la teoría de Hodge p -ádica han proporcionado pruebas alternativas o resultados análogos a la teoría clásica de Hodge.

Historia

El campo de la topología algebraica era todavía incipiente en la década de 1920. Todavía no se había desarrollado la noción de cohomología y la interacción entre las formas diferenciales y la topología era poco comprendida. En 1928, Élie Cartan publicó una idea, “ Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos” , en la que sugería —pero no demostraba— que las formas diferenciales y la topología deberían estar vinculadas. Al leerla, Georges de Rham, entonces estudiante, se sintió inspirado. En su tesis de 1931, demostró un resultado ahora llamado teorema de De Rham . Por el teorema de Stokes , la integración de formas diferenciales a lo largo de cadenas singulares induce, para cualquier variedad suave compacta M , un emparejamiento bilineal como se muestra a continuación:

${\displaystyle H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .}$

Como se afirmó originalmente, ^[1] el teorema de De Rham afirma que se trata de un emparejamiento perfecto y que, por lo tanto, cada uno de los términos del lado izquierdo son duales entre sí en el espacio vectorial. En el lenguaje contemporáneo, el teorema de De Rham se expresa con más frecuencia como la afirmación de que la cohomología singular con coeficientes reales es isomorfa a la cohomología de De Rham:

${\displaystyle H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).}$

La afirmación original de De Rham es entonces una consecuencia del hecho de que, sobre los reales, la cohomología singular es el dual de la homología singular.

Por otra parte, un artículo de 1927 de Solomon Lefschetz utilizó métodos topológicos para refutar los teoremas de Riemann . ^[2] En lenguaje moderno, si ω ₁ y ω ₂ son diferenciales holomorfas en una curva algebraica C , entonces su producto de cuña es necesariamente cero porque C tiene solo una dimensión compleja; en consecuencia, el producto de copa de sus clases de cohomología es cero, y cuando se hizo explícito, esto le dio a Lefschetz una nueva prueba de las relaciones de Riemann . Además, si ω es una diferencial holomorfa distinta de cero, entonces es una forma de volumen positiva, a partir de la cual Lefschetz pudo volver a derivar las desigualdades de Riemann. En 1929, WVD Hodge se enteró del artículo de Lefschetz. Inmediatamente observó que principios similares se aplicaban a las superficies algebraicas. Más precisamente, si ω es una forma holomorfa distinta de cero en una superficie algebraica, entonces es positivo, por lo que el producto de copa de y debe ser distinto de cero. De ello se deduce que ω en sí mismo debe representar una clase de cohomología distinta de cero, por lo que sus períodos no pueden ser todos cero. Esto resolvió una cuestión de Severi. ^[3] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

Hodge consideró que estas técnicas también deberían ser aplicables a variedades de dimensiones superiores. Su colega Peter Fraser le recomendó la tesis de De Rham. Al leer la tesis de De Rham, Hodge se dio cuenta de que las partes real e imaginaria de una 1-forma holomorfa en una superficie de Riemann eran en cierto sentido duales entre sí. Sospechaba que debería haber una dualidad similar en dimensiones superiores; esta dualidad ahora se conoce como el operador de estrella de Hodge . Además, conjeturó que cada clase de cohomología debería tener un representante distinguido con la propiedad de que tanto ella como su dual se anulan bajo el operador de derivada exterior; ahora se llaman formas armónicas. Hodge dedicó la mayor parte de la década de 1930 a este problema. Su primer intento publicado de una prueba apareció en 1933, pero lo consideró "extremadamente burdo". Hermann Weyl , uno de los matemáticos más brillantes de la época, se encontró incapaz de determinar si la prueba de Hodge era correcta o no. En 1936, Hodge publicó una nueva demostración. Aunque Hodge consideraba que la nueva demostración era mucho mejor, Bohnenblust descubrió un grave fallo. De forma independiente, Hermann Weyl y Kunihiko Kodaira modificaron la demostración de Hodge para reparar el error. Esto estableció el isomorfismo buscado por Hodge entre las formas armónicas y las clases de cohomología.

En retrospectiva, resulta claro que las dificultades técnicas del teorema de existencia no exigían realmente ninguna idea nueva significativa, sino simplemente una cuidadosa extensión de los métodos clásicos. La verdadera novedad, que fue la principal contribución de Hodge, estuvo en la concepción de las integrales armónicas y su relevancia para la geometría algebraica. Este triunfo del concepto sobre la técnica recuerda un episodio similar en la obra del gran predecesor de Hodge, Bernhard Riemann.

— MF Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17 de junio de 1903 – 7 de julio de 1975, Memorias biográficas de miembros de la Royal Society , vol. 22, 1976, págs. 169–192.

Teoría de Hodge para variedades reales

Cohomología de De Rham

La teoría de Hodge hace referencia al complejo de De Rham . Sea M una variedad suave . Para un entero no negativo k , sea Ω ^k ( M ) el espacio vectorial real de formas diferenciales suaves de grado k en M. El complejo de De Rham es la secuencia de operadores diferenciales .

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\xrightarrow {d_{0}} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {d_{1}} \cdots \xrightarrow {d_{n-1}} \Omega ^{n}(M)\xrightarrow {d_{n}} 0,}$

donde d _k denota la derivada exterior de Ω ^k ( M ). Este es un complejo de cocadena en el sentido de que d _{k +1} ∘ d _k = 0 (también escrito d ² = 0 ). El teorema de De Rham dice que la cohomología singular de M con coeficientes reales se calcula mediante el complejo de De Rham:

${\displaystyle H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatorname {im} d_{k-1}}}.}$

Operadores en la teoría de Hodge

Elija una métrica riemanniana g en M y recuerde que:

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge \nolimits ^{k}T^{*}(M)\right).}$

La métrica produce un producto interno en cada fibra al extender (ver matriz de Gram ) el producto interno inducido por g de cada fibra cotangente a su producto exterior : . El producto interno se define entonces como la integral del producto interno puntual de un par dado de k -formas sobre M con respecto a la forma de volumen asociada con g . Explícitamente, dados algunos tenemos ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$ ${\displaystyle T_{p}^{*}(M)}$ ${\displaystyle k^{th}}$ ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \omega ,\tau \in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\omega ,\tau )\mapsto \langle \omega ,\tau \rangle :=\int _{M}\langle \omega (p),\tau (p)\rangle _{p}\sigma .}$

Naturalmente, el producto interno anterior induce una norma, cuando esa norma es finita en alguna forma k fija :

${\displaystyle \langle \omega ,\omega \rangle =\|\omega \|^{2}<\infty ,}$

entonces el integrando es una función integrable cuadrada de valor real en M , evaluada en un punto dado a través de sus normas puntuales,

${\displaystyle \|\omega (p)\|_{p}:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M).}$

Consideremos el operador adjunto de d con respecto a estos productos internos:

${\displaystyle \delta :\Omega ^{k+1}(M)\to \Omega ^{k}(M).}$

Entonces el laplaciano sobre formas se define por

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d.}$

Este es un operador diferencial lineal de segundo orden que generaliza el laplaciano para funciones en R ⁿ . Por definición, una forma en M es armónica si su laplaciano es cero:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.}$

El laplaciano apareció por primera vez en la física matemática . En particular, las ecuaciones de Maxwell dicen que el campo electromagnético en el vacío, es decir, sin cargas, está representado por una forma 2 F tal que Δ F = 0 en el espacio-tiempo, visto como un espacio de Minkowski de dimensión 4.

Toda forma armónica α en una variedad riemanniana cerrada es cerrada , lo que significa que dα = 0 . Como resultado, hay una aplicación canónica . El teorema de Hodge establece que es un isomorfismo de espacios vectoriales. ^[4] En otras palabras, cada clase de cohomología real en M tiene un representante armónico único. Concretamente, el representante armónico es la única forma cerrada de norma mínima L ² que representa una clase de cohomología dada. El teorema de Hodge se demostró utilizando la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas , con los argumentos iniciales de Hodge completados por Kodaira y otros en la década de 1940. ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \varphi }$

Por ejemplo, el teorema de Hodge implica que los grupos de cohomología con coeficientes reales de una variedad cerrada son de dimensión finita . (Es cierto que hay otras formas de demostrarlo). De hecho, los operadores Δ son elípticos, y el núcleo de un operador elíptico en una variedad cerrada es siempre un espacio vectorial de dimensión finita. Otra consecuencia del teorema de Hodge es que una métrica de Riemann en una variedad cerrada M determina un producto interno de valor real en la cohomología integral de M módulo torsión . De ello se deduce, por ejemplo, que la imagen del grupo de isometrías de M en el grupo lineal general GL( H ^∗ ( M , Z )) es finita (porque el grupo de isometrías de una red es finito).

Una variante del teorema de Hodge es la descomposición de Hodge . Esta dice que existe una única descomposición de cualquier forma diferencial ω en una variedad riemanniana cerrada como una suma de tres partes en la forma

${\displaystyle \omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma ,}$

en el que γ es armónico: Δ γ = 0 . ^[5] En términos de la métrica L ² en formas diferenciales, esto da una descomposición de suma directa ortogonal:

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)\cong \operatorname {im} d_{k-1}\oplus \operatorname {im} \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M).}$

La descomposición de Hodge es una generalización de la descomposición de Helmholtz para el complejo de Rham.

Teoría de Hodge de los complejos elípticos

Atiyah y Bott definieron los complejos elípticos como una generalización del complejo de De Rham. El teorema de Hodge se extiende a este contexto, como sigue. Sean fibras vectoriales , dotadas de métricas, en una variedad lisa cerrada M con una forma de volumen  dV . Supóngase que ${\displaystyle E_{0},E_{1},\ldots ,E_{N}}$

${\displaystyle L_{i}:\Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})}$

son operadores diferenciales lineales que actúan sobre secciones C ∞ de estos fibrados vectoriales, y que la secuencia inducida

${\displaystyle 0\to \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \cdots \to \Gamma (E_{N})\to 0}$

es un complejo elíptico. Introduce las sumas directas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _{i}\Gamma (E_{i})\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^{\bullet }\end{aligned}}}$

y sea L ^∗ el adjunto de L . Defina el operador elíptico Δ ​​= LL ^∗ + L ^∗ L . Como en el caso de De Rham, esto produce el espacio vectorial de secciones armónicas

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.}$

Sea la proyección ortogonal y sea G el operador de Green para Δ. El teorema de Hodge afirma entonces lo siguiente: ^[6] ${\displaystyle H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}}$

1. H y G están bien definidos.
2. Id = H + Δ G = H + G Δ
3. LG = GL , L ^∗ G = GL ^∗
4. La cohomología del complejo es canónicamente isomorfa al espacio de secciones armónicas, , en el sentido de que cada clase de cohomología tiene un representante armónico único. ${\displaystyle H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})}$

También hay una descomposición de Hodge en esta situación, que generaliza la afirmación anterior para el complejo de De Rham.

Teoría de Hodge para variedades proyectivas complejas

Sea X una variedad proyectiva compleja suave , lo que significa que X es una subvariedad compleja cerrada de algún espacio proyectivo complejo CP ^N . Por el teorema de Chow , las variedades proyectivas complejas son automáticamente algebraicas: se definen por la desaparición de ecuaciones polinómicas homogéneas en CP ^N . La métrica riemanniana estándar en CP ^N induce una métrica riemanniana en X que tiene una fuerte compatibilidad con la estructura compleja, lo que hace de X una variedad de Kähler .

Para una variedad compleja X y un número natural r , cada C ∞ r -forma en X (con coeficientes complejos) se puede escribir de forma única como una suma de formas de tipo ( p , q ) con p + q = r , es decir, formas que se pueden escribir localmente como una suma finita de términos, donde cada término toma la forma

${\displaystyle f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}}$

con f una función C ^{∞ y las} funciones holomorfas z _s y w _s . En una variedad de Kähler, los componentes ( p , q ) de una forma armónica son nuevamente armónicos. Por lo tanto, para cualquier variedad de Kähler compacta X , el teorema de Hodge da una descomposición de la cohomología de X con coeficientes complejos como una suma directa de espacios vectoriales complejos: ^[7]

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).}$

Esta descomposición es, de hecho, independiente de la elección de la métrica de Kähler (pero no existe una descomposición análoga para una variedad compleja compacta general). Por otra parte, la descomposición de Hodge depende genuinamente de la estructura de X como variedad compleja, mientras que el grupo H ^r ( X , C ) depende únicamente del espacio topológico subyacente de X .

Tomar productos de cuña de estos representantes armónicos corresponde al producto de copa en cohomología, por lo que el producto de copa con coeficientes complejos es compatible con la descomposición de Hodge:

${\displaystyle \smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).}$

La pieza H ^{p , q} ( X ) de la descomposición de Hodge se puede identificar con un grupo de cohomología de haces coherente , que depende sólo de X como variedad compleja (no de la elección de la métrica de Kähler): ^[8]

${\displaystyle H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),}$

donde Ω ^p denota el haz de p -formas holomorfas en X . Por ejemplo, H ^{p , 0} ( X ) es el espacio de p -formas holomorfas en X . (Si X es proyectivo, el teorema GAGA de Serre implica que una p -forma holomorfa en todo X es de hecho algebraica).

Por otra parte, la integral puede escribirse como el producto de la tapa de la clase de homología de Z ^{[ aclaración necesaria ]} y la clase de cohomología representada por . Por la dualidad de Poincaré , la clase de homología de Z es dual a una clase de cohomología que llamaremos [ Z ], y el producto de la tapa puede calcularse tomando el producto de copa de [ Z ] y α y tapando con la clase fundamental de X . ${\displaystyle \alpha }$

Como [ Z ] es una clase de cohomología, tiene una descomposición de Hodge. Según el cálculo que hicimos anteriormente, si combinamos esta clase con cualquier clase de tipo , obtenemos cero. Como , concluimos que [ Z ] debe estar en . ${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$ ${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)}$ ${\displaystyle H^{n-k,n-k}(X)}$

El número de Hodge h ^{p , q} ( X ) significa la dimensión del espacio vectorial complejo H ^{p . q} ( X ). Estos son invariantes importantes de una variedad proyectiva compleja suave; no cambian cuando la estructura compleja de X varía continuamente, y sin embargo, en general no son invariantes topológicos. Entre las propiedades de los números de Hodge están la simetría de Hodge h ^{p , q} = h ^{q , p} (porque H ^{p , q} ( X ) es el conjugado complejo de H ^{q , p} ( X )) y h ^{p , q} = h ^{n − p , n − q} (por la dualidad de Serre ).

Los números de Hodge de una variedad proyectiva compleja suave (o variedad de Kähler compacta) se pueden enumerar en el diamante de Hodge (mostrado en el caso de dimensión compleja 2):

Por ejemplo, toda curva proyectiva suave de género g tiene diamante de Hodge

Para otro ejemplo, cada superficie K3 tiene un diamante Hodge.

Los números de Betti de X son la suma de los números de Hodge en una fila dada. Una aplicación básica de la teoría de Hodge es entonces que los números de Betti impares b _{2 a +1} de una variedad proyectiva compleja suave (o variedad de Kähler compacta) son pares, por simetría de Hodge. Esto no es cierto para las variedades complejas compactas en general, como lo demuestra el ejemplo de la superficie de Hopf , que es difeomorfa a S ¹ × S ³ y, por lo tanto, tiene b ₁ = 1 .

El "paquete Kähler" es un poderoso conjunto de restricciones sobre la cohomología de variedades proyectivas complejas suaves (o variedades de Kähler compactas), que se basa en la teoría de Hodge. Los resultados incluyen el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema de Lefschetz duro y las relaciones bilineales de Hodge-Riemann . ^[9] Muchos de estos resultados se derivan de herramientas técnicas fundamentales que pueden demostrarse para variedades de Kähler compactas utilizando la teoría de Hodge, incluidas las identidades de Kähler y el -lema . ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

La teoría de Hodge y extensiones como la teoría de Hodge no abeliana también imponen fuertes restricciones a los posibles grupos fundamentales de variedades compactas de Kähler.

Ciclos algebraicos y la conjetura de Hodge

Sea una variedad proyectiva compleja suave. Una subvariedad compleja en de codimensión define un elemento del grupo de cohomología . Además, la clase resultante tiene una propiedad especial: su imagen en la cohomología compleja se encuentra en la parte media de la descomposición de Hodge, . La conjetura de Hodge predice una inversa: cada elemento cuya imagen en la cohomología compleja se encuentra en el subespacio debería tener un múltiplo entero positivo que sea una combinación -lineal de clases de subvariedades complejas de . (Dicha combinación lineal se denomina ciclo algebraico en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un punto crucial es que la descomposición de Hodge es una descomposición de cohomología con coeficientes complejos que normalmente no proviene de una descomposición de cohomología con coeficientes integrales (o racionales). Como resultado, la intersección

${\displaystyle (H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$

puede ser mucho más pequeño que el grupo entero , incluso si el número de Hodge es grande. En resumen, la conjetura de Hodge predice que las posibles "formas" de las subvariedades complejas de (como se describe mediante la cohomología) están determinadas por la estructura de Hodge de (la combinación de la cohomología integral con la descomposición de Hodge de la cohomología compleja). ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}}}$ ${\displaystyle h^{p,p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El teorema de Lefschetz (1,1) dice que la conjetura de Hodge es verdadera para (incluso de manera integral, es decir, sin la necesidad de un múltiplo integral positivo en el enunciado). ${\displaystyle p=1}$

La estructura de Hodge de una variedad describe las integrales de formas diferenciales algebraicas sobre clases de homología en . En este sentido, la teoría de Hodge está relacionada con una cuestión básica en cálculo : en general no existe una "fórmula" para la integral de una función algebraica . En particular, las integrales definidas de funciones algebraicas, conocidas como períodos , pueden ser números trascendentales . La dificultad de la conjetura de Hodge refleja la falta de comprensión de dichas integrales en general. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplo: Para una superficie proyectiva compleja suave K3 , el grupo es isomorfo a , y es isomorfo a . Su intersección puede tener un rango entre 1 y 20; este rango se llama número de Picard de . El espacio de módulos de todas las superficies proyectivas K3 tiene un conjunto infinito numerable de componentes, cada uno de dimensión compleja 19. El subespacio de superficies K3 con número de Picard tiene dimensión . ^[10] (Por lo tanto, para la mayoría de las superficies proyectivas K3, la intersección de con es isomorfa a , pero para superficies K3 "especiales" la intersección puede ser mayor). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{22}}$ ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{20}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 20-a}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Este ejemplo sugiere varios papeles diferentes desempeñados por la teoría de Hodge en la geometría algebraica compleja. En primer lugar, la teoría de Hodge da restricciones sobre qué espacios topológicos pueden tener la estructura de una variedad proyectiva compleja suave. En segundo lugar, la teoría de Hodge da información sobre el espacio de módulos de variedades proyectivas complejas suaves con un tipo topológico dado. El mejor caso es cuando se cumple el teorema de Torelli , lo que significa que la variedad está determinada hasta el isomorfismo por su estructura de Hodge. Finalmente, la teoría de Hodge da información sobre el grupo de Chow de ciclos algebraicos en una variedad dada. La conjetura de Hodge trata sobre la imagen de la función de ciclos desde los grupos de Chow hasta la cohomología ordinaria, pero la teoría de Hodge también da información sobre el núcleo de la función de ciclos, por ejemplo utilizando los jacobianos intermedios que se construyen a partir de la estructura de Hodge.

Generalizaciones

La teoría mixta de Hodge , desarrollada por Pierre Deligne , extiende la teoría de Hodge a todas las variedades algebraicas complejas, no necesariamente suaves o compactas. Es decir, la cohomología de cualquier variedad algebraica compleja tiene un tipo de descomposición más general, una estructura mixta de Hodge .

La homología de intersección proporciona una generalización diferente de la teoría de Hodge a las variedades singulares . Es decir, Morihiko Saito demostró que la homología de intersección de cualquier variedad proyectiva compleja (no necesariamente suave) tiene una estructura de Hodge pura, al igual que en el caso suave. De hecho, todo el paquete de Kähler se extiende a la homología de intersección.

Un aspecto fundamental de la geometría compleja es que existen familias continuas de variedades complejas no isomorfas (que son todas difeomorfas como las variedades reales). La noción de variación de la estructura de Hodge de Phillip Griffiths describe cómo la estructura de Hodge de una variedad proyectiva compleja suave varía cuando varía. En términos geométricos, esto equivale a estudiar la aplicación de período asociada a una familia de variedades. La teoría de módulos de Hodge de Saito es una generalización. En términos generales, un módulo de Hodge mixto sobre una variedad es un haz de estructuras de Hodge mixtas sobre , como surgiría de una familia de variedades que no necesitan ser suaves o compactas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Teoría del potencial
• Dualidad de Serre
• Descomposición de Helmholtz
• Teorema del ciclo invariante local
• Teoría de Arakelov
• Teoría de Hodge-Arakelov
• Lema de ddbar , una consecuencia clave de la teoría de Hodge para variedades de Kähler compactas.

Notas

1. Chatterji, Srishti; Ojanguren, Manuel (2010), Una mirada a la era de Rham (PDF) , documento de trabajo, EPFL , archivado desde el original (PDF) el 2023-12-04 , consultado el 2018-10-15
2. Lefschetz, Solomon (1927). "Correspondencias entre curvas algebraicas". Ann. of Math. (2) . 28 (1): 342–354. doi :10.2307/1968379. JSTOR  1968379.
3. Michael Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17 de junio de 1903 – 7 de julio de 1975 , Biogr. Mem. Fellows R. Soc., 1976, vol. 22, págs. 169–192.
4. Warner (1983), Teorema 6.11.
5. Warner (1983), Teorema 6.8.
6. Wells (2008), Teorema IV.5.2.
7. Huybrechts (2005), Corolario 3.2.12.
8. Huybrechts (2005), Corolario 2.6.21.
9. Huybrechts (2005), secciones 3.3 y 5.2; Griffiths y Harris (1994), secciones 0.7 y 1.2; Voisin (2007), v. 1, cap. 6, y v. 2, cap. 1.
10. Griffiths y Harris (1994), pág. 594.

Referencias

• Arapura, Donu, Calculando algunos números de Hodge (PDF)
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994) [1978]. Principios de geometría algebraica . Biblioteca Wiley Classics. Wiley Interscience. ISBN 0-471-05059-8.Sr. 0507725  .
• Hodge, WVD (1941), La teoría y las aplicaciones de las integrales armónicas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35881-1, Sr.  0003947
• Huybrechts, Daniel (2005), Geometría compleja: una introducción , Springer , ISBN 3-540-21290-6, Sr.  2093043
• Voisin, Claire (2007) [2002], Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja (2 vols.) , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511615344, ISBN 978-0-521-71801-1, Sr.  1967689
• Warner, Frank (1983) [1971], Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Springer , ISBN 0-387-90894-3, Sr.  0722297
• Wells Jr., Raymond O. (2008) [1973], Análisis diferencial en variedades complejas , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 65 (3.ª ed.), Springer , doi :10.1007/978-0-387-73892-5, hdl : 10338.dmlcz/141778 , ISBN 978-0-387-73891-8, Sr.  2359489

• Código Python para calcular números de Hodge de hipersuperficies en GitHub