Fubini–Estudio métrico

Métrica en un espacio proyectivo complejo dotado de forma hermítica

En matemáticas , la métrica de Fubini-Study (IPA: /fubini-ʃtuːdi/) es una métrica de Kähler sobre un espacio proyectivo complejo CP ⁿ dotado de una forma hermítica . Esta métrica fue descrita originalmente en 1904 y 1905 por Guido Fubini y Eduard Study . ^{[1] [2]}

Una forma hermítica en (el espacio vectorial) C ^{n +1} define un subgrupo unitario U( n +1) en GL( n +1, C ). Una métrica de Fubini-Study se determina hasta la homotecia (escalamiento global) por invariancia bajo dicha acción U( n +1); por lo tanto, es homogénea . Equipada con una métrica de Fubini-Study, CP ⁿ es un espacio simétrico . La normalización particular en la métrica depende de la aplicación. En geometría de Riemann , se utiliza una normalización de modo que la métrica de Fubini-Study simplemente se relaciona con la métrica estándar en la (2 n +1)-esfera . En geometría algebraica , se utiliza una normalización que hace de CP ⁿ una variedad de Hodge .

Construcción

La métrica de Fubini-Study surge naturalmente en la construcción del espacio cociente del espacio proyectivo complejo .

En concreto, se puede definir CP ⁿ como el espacio formado por todas las líneas complejas en C ^{n +1} , es decir, el cociente de C ^{n +1} \{0} por la relación de equivalencia que relaciona todos los múltiplos complejos de cada punto entre sí. Esto concuerda con el cociente por la acción del grupo diagonal del grupo multiplicativo C ^*  =  C  \ {0}:

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\right\}{\big /}\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}$

Este cociente realiza C ^{n +1 \{0} como un} fibrado lineal complejo sobre el espacio base CP ⁿ . (De hecho, este es el llamado fibrado tautológico sobre CP ⁿ .) Un punto de CP ⁿ se identifica así con una clase de equivalencia de ( n +1)-tuplas [ Z ₀ ,..., Z _n ] módulo reescalamiento complejo distinto de cero; las Z _i se denominan coordenadas homogéneas del punto.

Además, se puede realizar esta función cociente en dos pasos: dado que la multiplicación por un escalar complejo distinto de cero z  =  R  e ^iθ se puede considerar únicamente como la composición de una dilatación por el módulo R seguida de una rotación en sentido antihorario alrededor del origen por un ángulo , la función cociente C ^{n +1}  →  CP ⁿ se divide en dos partes. ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\mathrel {\stackrel {(a)}{\longrightarrow }} S^{2n+1}\mathrel {\stackrel {(b)}{\longrightarrow }} \mathbf {CP} ^{n}}$

donde el paso (a) es un cociente por la dilatación Z  ~  R Z para R  ∈  R ⁺ , el grupo multiplicativo de los números reales positivos , y el paso (b) es un cociente por las rotaciones Z  ~  e ^iθ Z .

El resultado del cociente en (a) es la hiperesfera real S ^{2 n +1} definida por la ecuación | Z | ² = | Z ₀ | ²  + ... + | Z _n | ²  = 1. El cociente en (b) realiza CP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹ , donde S ¹ representa el grupo de rotaciones. Este cociente se realiza explícitamente mediante la famosa fibración de Hopf S ¹  →  S ^{2 n +1}  →  CP ⁿ , cuyas fibras se encuentran entre los grandes círculos de . ${\displaystyle S^{2n+1}}$

Como cociente métrico

Cuando se toma un cociente de una variedad de Riemann (o espacio métrico en general), se debe tener cuidado de asegurar que el espacio cociente esté dotado de una métrica bien definida. Por ejemplo, si un grupo G actúa sobre una variedad de Riemann ( X , g ), entonces para que el espacio de órbitas X / G posea una métrica inducida, debe ser constante a lo largo de las G -órbitas en el sentido de que para cualquier elemento h  ∈  G y par de campos vectoriales debemos tener g ( Xh , Yh ) =  g ( X , Y ). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X,Y}$

La métrica hermítica estándar en C ^{n +1} se da en la base estándar por

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\bar {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\bar {Z}}_{0}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\bar {Z}}_{n}}$

cuya realización es la métrica euclidiana estándar en R ^{2 n +2} . Esta métrica no es invariante bajo la acción diagonal de C ^* , por lo que no podemos empujarla directamente hacia abajo hasta CP ⁿ en el cociente. Sin embargo, esta métrica es invariante bajo la acción diagonal de S ¹  = U(1), el grupo de rotaciones. Por lo tanto, el paso (b) en la construcción anterior es posible una vez que se logra el paso (a).

La métrica del Estudio de Fubini es la métrica inducida sobre el cociente CP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹ , donde lleva la llamada "métrica redonda" que le fue otorgada por restricción de la métrica euclidiana estándar a la hiperesfera unitaria. ${\displaystyle S^{2n+1}}$

En coordenadas afines locales

Correspondiente a un punto en CP ⁿ con coordenadas homogéneas , existe un conjunto único de n coordenadas tales que ${\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]}$ ${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$

${\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],}$

siempre que ; específicamente, . Forman un sistema de coordenadas afín para CP ⁿ en el parche de coordenadas . Se puede desarrollar un sistema de coordenadas afín en cualquiera de los parches de coordenadas dividiendo en su lugar por de la manera obvia. Los parches de coordenadas n +1 cubren CP ⁿ , y es posible dar la métrica explícitamente en términos de las coordenadas afines en . Las derivadas de coordenadas definen un marco del fibrado tangente holomorfo de CP ⁿ , en términos del cual la métrica de Fubini-Study tiene componentes hermíticas ${\displaystyle Z_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle z_{j}=Z_{j}/Z_{0}}$ ${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle U_{0}=\{Z_{0}\neq 0\}}$ ${\displaystyle U_{i}=\{Z_{i}\neq 0\}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}}$

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=h(\partial _{i},{\bar {\partial }}_{j})={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)\delta _{i{\bar {j}}}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}.}$

donde | z | ²  = | z ₁ | ²  + ... + | z _n | ² . Es decir, la matriz hermítica de la métrica de Fubini–Study en este marco es

${\displaystyle {\bigl [}g_{i{\bar {j}}}{\bigr ]}={\frac {1}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}$

Tenga en cuenta que cada elemento de la matriz es unitario-invariante: la acción diagonal dejará esta matriz sin cambios. ${\displaystyle \mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} }$

En consecuencia, el elemento de línea viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{i{\bar {j}}}\,dz^{i}\,d{\bar {z}}^{j}\\[4pt]&={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{\left(1+z_{i}{\bar {z}}^{i}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

En esta última expresión, se utiliza la convención de suma para sumar sobre los índices latinos i , j que van de 1 a  n .

La métrica se puede derivar del siguiente potencial de Kähler : ^[3]

${\displaystyle K=\ln(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})=\ln(1+\delta _{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{j})}$

como

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=K_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{i}\,\partial {\bar {z}}^{j}}}K}$

Utilizando coordenadas homogéneas

También es posible una expresión en la notación de coordenadas homogéneas , comúnmente utilizada para describir variedades proyectivas de geometría algebraica : Z  = [ Z ₀ :...: Z _n ]. Formalmente, sujeto a una adecuada interpretación de las expresiones involucradas, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\beta }dZ_{\alpha }d{\bar {Z}}^{\beta }}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}\\&={\frac {2Z_{[\alpha }\,dZ_{\beta ]}{\bar {Z}}^{[\alpha }\,{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Aquí se utiliza la convención de suma para sumar sobre índices griegos α β que van de 0 a n , y en la última igualdad se utiliza la notación estándar para la parte sesgada de un tensor:

${\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}$

Ahora bien, esta expresión para d s ² define aparentemente un tensor sobre el espacio total del fibrado tautológico C ^{n +1} \{0}. Debe entenderse propiamente como un tensor sobre CP ⁿ tirando de él hacia atrás a lo largo de una sección holomorfa σ del fibrado tautológico de CP ⁿ . Queda entonces por verificar que el valor del pullback sea independiente de la elección de la sección: esto puede hacerse mediante un cálculo directo.

La forma Kähler de esta métrica es

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}}$

donde son los operadores de Dolbeault . El pullback de esto es claramente independiente de la elección de la sección holomorfa. La cantidad log| Z | ² es el potencial de Kähler (a veces llamado escalar de Kähler) de CP ⁿ . ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$

En notación de coordenadas entre corchetes

En mecánica cuántica , la métrica de Fubini-Study también se conoce como métrica de Bures . ^[4] Sin embargo, la métrica de Bures se define normalmente en la notación de estados mixtos , mientras que la exposición a continuación se escribe en términos de un estado puro . La parte real de la métrica es (una cuarta parte de) la métrica de información de Fisher . ^[4]

La métrica de Fubini-Study puede escribirse utilizando la notación bra-ket comúnmente utilizada en mecánica cuántica . Para equiparar explícitamente esta notación a las coordenadas homogéneas dadas anteriormente, sea

${\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$

donde es un conjunto de vectores base ortonormales para el espacio de Hilbert , son números complejos y es la notación estándar para un punto en el espacio proyectivo CP ⁿ en coordenadas homogéneas . Entonces, dados dos puntos y en el espacio, la distancia (longitud de una geodésica) entre ellos es ${\displaystyle \{\vert e_{k}\rangle \}}$ ${\displaystyle Z_{k}}$ ${\displaystyle Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle =Z_{\alpha }}$ ${\displaystyle \vert \varphi \rangle =W_{\alpha }}$

${\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle }}}}$

o, equivalentemente, en notación de variedad proyectiva,

${\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\bar {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {W}}^{\beta }}}}.}$

Aquí, es el conjugado complejo de . La aparición de en el denominador es un recordatorio de que y tampoco se normalizaron a la longitud unitaria; por lo tanto, la normalización se hace explícita aquí. En el espacio de Hilbert, la métrica se puede interpretar como el ángulo entre dos vectores; por lo tanto, a veces se lo llama ángulo cuántico . El ángulo tiene un valor real y va de 0 a . ${\displaystyle {\bar {Z}}^{\alpha }}$ ${\displaystyle Z_{\alpha }}$ ${\displaystyle \langle \psi \vert \psi \rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ ${\displaystyle \vert \varphi \rangle }$ ${\displaystyle \pi /2}$

La forma infinitesimal de esta métrica se puede obtener rápidamente tomando , o equivalentemente, para obtener ${\displaystyle \varphi =\psi +\delta \psi }$ ${\displaystyle W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}$

En el contexto de la mecánica cuántica , CP ¹ se denomina esfera de Bloch ; la métrica de Fubini-Study es la métrica natural para la geometrización de la mecánica cuántica. Gran parte del comportamiento peculiar de la mecánica cuántica, incluido el entrelazamiento cuántico y el efecto de fase de Berry , se puede atribuir a las peculiaridades de la métrica de Fubini-Study.

Elnorte= 1 caso

Cuando n = 1, existe un difeomorfismo dado por la proyección estereográfica . Esto conduce a la fibración de Hopf "especial" S ¹  →  S ³  →  S ² . Cuando la métrica de Fubini-Study se escribe en coordenadas sobre CP ¹ , su restricción al fibrado tangente real produce una expresión de la "métrica redonda" ordinaria de radio 1/2 (y curvatura gaussiana 4) sobre S ² . ${\displaystyle S^{2}\cong \mathbf {CP} ^{1}}$

Es decir, si z  =  x  + i y es la tabla de coordenadas afines estándar en la esfera de Riemann CP ¹ y x  =  r  cos θ, y  =  r  sen θ son coordenadas polares en C , entonces un cálculo de rutina muestra

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\bar {z}})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{4}}(d\varphi ^{2}+\sin ^{2}\varphi \,d\theta ^{2})={\tfrac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}}$

donde es la métrica circular de la unidad 2-esfera. Aquí φ, θ son las " coordenadas esféricas del matemático " en S ² que provienen de la proyección estereográfica r  tan(φ/2) = 1, tan θ =  y / x . (Muchas referencias de física intercambian los roles de φ y θ). ${\displaystyle ds_{us}^{2}}$

La forma Kähler es

${\displaystyle K={\frac {i}{2}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{\left(1+z{\bar {z}}\right)^{2}}}={\frac {dx\wedge dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}}$

Al elegir como vierbeins y , la forma de Kähler se simplifica a ${\displaystyle e^{1}=dx/(1+r^{2})}$ ${\displaystyle e^{2}=dy/(1+r^{2})}$

${\displaystyle K=e^{1}\wedge e^{2}}$

Aplicando la estrella de Hodge a la forma de Kähler, se obtiene

${\displaystyle *K=1}$

lo que implica que K es armónico .

Elnorte= 2 casos

La métrica de Fubini-Study en el plano proyectivo complejo CP ² se ha propuesto como un instantón gravitacional , el análogo gravitacional de un instantón . ^{[5] [3]} La métrica, la forma de conexión y la curvatura se calculan fácilmente, una vez que se establecen las coordenadas reales 4D adecuadas. Escribiendo para coordenadas cartesianas reales, uno define entonces las uniformas de coordenadas polares en la 4-esfera (la línea proyectiva cuaterniónica ) como ${\displaystyle (x,y,z,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}}$

Son los marcos de coordenadas uniformes invariantes a la izquierda estándar del grupo de Lie ; es decir, obedecen a cíclicos. ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle SU(2)=S^{3}}$ ${\displaystyle d\sigma _{i}=2\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$ ${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$

Las coordenadas afines locales correspondientes son y luego proporcionan ${\displaystyle z_{1}=x+iy}$ ${\displaystyle z_{2}=z+it}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}{\bar {z}}_{1}+z_{2}{\bar {z}}_{2}&=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})\\{\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}&=rdr+i\,r^{2}\sigma _{3}\end{aligned}}}$

con las abreviaturas habituales que y . ${\displaystyle dr^{\,2}=dr\otimes dr}$ ${\displaystyle \sigma _{k}^{\,2}=\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}$

El elemento de línea, que comienza con la expresión dada anteriormente, está dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}}{1+z_{i}{\bar {z}}^{i}}}-{\frac {{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})}{1+r^{2}}}-{\frac {r^{2}dr^{\,2}+r^{4}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}+{\frac {r^{2}\left(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}\right)}{1+r^{2}}}\end{aligned}}}$

Los vierbeins se pueden leer inmediatamente en la última expresión:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}&&&e^{3}={\frac {r\sigma _{3}}{1+r^{2}}}\\[5pt]e^{1}={\frac {r\sigma _{1}}{\sqrt {1+r^{2}}}}&&&e^{2}={\frac {r\sigma _{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}}\end{aligned}}}$

Es decir, en el sistema de coordenadas de Vierbein, utilizando subíndices en letras romanas, el tensor métrico es euclidiano:

${\displaystyle ds^{2}=\delta _{ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}\otimes e^{1}+e^{2}\otimes e^{2}+e^{3}\otimes e^{3}.}$

Dado el vierbein, se puede calcular una conexión de espín ; la conexión de espín de Levi-Civita es la única conexión que está libre de torsión y es covariantemente constante, es decir, es la forma única que satisface la condición de libre de torsión. ${\displaystyle \omega _{\;\;b}^{a}}$

${\displaystyle de^{a}+\omega _{\;\;b}^{a}\wedge e^{b}=0}$

y es covariantemente constante, lo que, para las conexiones de espín, significa que es antisimétrica en los índices de Vierbein:

${\displaystyle \omega _{ab}=-\omega _{ba}}$

Lo anterior se resuelve fácilmente; se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}}$

La curvatura de 2 formas se define como

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}}$

y es constante:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\R_{02}&=-R_{31}=e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

El tensor de Ricci en índices de veirbein viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{\;\;c}^{a}=R_{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}}$

donde la forma de curvatura 2 se expandió como un tensor de cuatro componentes:

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$

El tensor de Ricci resultante es constante

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}}$

de modo que la ecuación de Einstein resultante

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0}$

se puede resolver con la constante cosmológica . ${\displaystyle \Lambda =6}$

El tensor de Weyl para las métricas de Fubini-Study en general está dado por

${\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-2\left(\delta _{ac}\delta _{bd}-\delta _{ad}\delta _{bc}\right)}$

Para el caso n  = 2, las dos formas

${\displaystyle W_{ab}={\tfrac {1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}}$

son auto-duales:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

Propiedades de curvatura

En el caso especial n = 1, la métrica de Fubini-Study tiene una curvatura seccional constante idénticamente igual a 4, de acuerdo con la equivalencia con la métrica redonda de 2-esferas (que dado un radio R tiene una curvatura seccional ). Sin embargo, para n > 1, la métrica de Fubini-Study no tiene una curvatura constante. Su curvatura seccional está dada por la ecuación ^[6] ${\displaystyle 1/R^{2}}$

${\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}$

donde es una base ortonormal del plano 2 σ, J  :  T CP ⁿ  →  T CP ⁿ es la estructura compleja en CP ⁿ , y es la métrica del Estudio de Fubini. ${\displaystyle \{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Una consecuencia de esta fórmula es que la curvatura seccional satisface para todos los 2-planos . La curvatura seccional máxima (4) se alcanza en un 2-plano holomorfo —uno para el cual J (σ) ⊂ σ — mientras que la curvatura seccional mínima (1) se alcanza en un 2-plano para el cual J (σ) es ortogonal a σ. Por esta razón, a menudo se dice que la métrica de Fubini-Study tiene una " curvatura seccional holomorfa constante " igual a 4. ${\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}$ ${\displaystyle \sigma }$

Esto hace que CP ⁿ sea una variedad (no estricta) pellizcada en un cuarto ; un célebre teorema muestra que una variedad n simplemente conexa estrictamente pellizcada en un cuarto debe ser homeomorfa a una esfera.

La métrica de Fubini-Study también es una métrica de Einstein en el sentido de que es proporcional a su propio tensor de Ricci : existe una constante ; tal que para todo i , j tenemos ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}.}$

Esto implica, entre otras cosas, que la métrica de Fubini-Study permanece inalterada hasta un múltiplo escalar bajo el flujo de Ricci . También hace que CP ⁿ sea indispensable para la teoría de la relatividad general , donde sirve como una solución no trivial para las ecuaciones de campo de Einstein del vacío .

La constante cosmológica para CP ⁿ se da en términos de la dimensión del espacio: ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.}$

Métrica del producto

Las nociones comunes de separabilidad se aplican a la métrica de Fubini-Study. Más precisamente, la métrica es separable en el producto natural de los espacios proyectivos, la incrustación de Segre . Es decir, si es un estado separable , de modo que se puede escribir como , entonces la métrica es la suma de la métrica en los subespacios: ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle }$

${\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}$

donde y son las métricas, respectivamente, en los subespacios A y B . ${\displaystyle {ds_{A}}^{2}}$ ${\displaystyle {ds_{B}}^{2}}$

Conexión y curvatura

El hecho de que la métrica pueda derivarse del potencial de Kähler significa que los símbolos de Christoffel y los tensores de curvatura contienen muchas simetrías y se les puede dar una forma particularmente simple: ^[7] Los símbolos de Christoffel, en las coordenadas afines locales, se dan por

${\displaystyle \Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

El tensor de Riemann también es particularmente simple:

${\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial \Gamma _{\;\;{\bar {j}}{\bar {l}}}^{\bar {m}}}{\partial z^{k}}}}$

El tensor de Ricci es

${\displaystyle R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

Véase también

• Modelo sigma no lineal
• Teoría de Kaluza-Klein
• Altura de Arakelov

Referencias

1. G. Fubini, "Sulle metriche definite da una forma Hermitiana", (1904) Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti , 63 págs.
2. Estudio, E. (1905). "Kürzeste Wege im komplexen Gebiet". Mathematische Annalen (en alemán). 60 (3). Springer Science y Business Media LLC: 321–378. doi :10.1007/bf01457616. ISSN  0025-5831. S2CID  120961275.
3. Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de calibración y geometría diferencial". Physics Reports . 66 (6). Elsevier BV: 213–393. Bibcode :1980PhR....66..213E. doi :10.1016/0370-1573(80)90130-1. ISSN  0370-1573.
4. Paolo Facchi, Ravi Kulkarni, VI Man'ko, Giuseppe Marmo, ECG Sudarshan, Franco Ventriglia "Información clásica y cuántica de Fisher en la formulación geométrica de la mecánica cuántica" (2010), Physics Letters A 374 pp. 4801. doi :10.1016/j.physleta.2010.10.005
5. Eguchi, Tohru; Freund, Peter GO (8 de noviembre de 1976). "Gravedad cuántica y topología del mundo". Physical Review Letters . 37 (19). American Physical Society (APS): 1251–1254. Código Bibliográfico :1976PhRvL..37.1251E. doi :10.1103/physrevlett.37.1251. ISSN  0031-9007.
6. Sakai, T. Geometría riemanniana , Traducciones de monografías matemáticas n.º 149 (1995), American Mathematics Society.
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