Función meromórfica

Clase de función matemática

En el campo matemático del análisis complejo , una función meromórfica en un subconjunto abierto D del plano complejo es una función que es holomorfa en todo D excepto en un conjunto de puntos aislados , que son polos de la función. ^[1] El término proviene del griego meros (μέρος), que significa "parte". ^[a]

Toda función meromórfica en D puede expresarse como el cociente entre dos funciones holomorfas (con el denominador no constante 0) definidas en D : cualquier polo debe coincidir con un cero del denominador.

La función gamma es meromórfica en todo el plano complejo.

Descripción heurística

Intuitivamente, una función meromórfica es un cociente de dos funciones que se comportan bien (holomórficas). Una función de este tipo seguirá comportándose bien, excepto posiblemente en los puntos donde el denominador de la fracción es cero. Si el denominador tiene un cero en z y el numerador no, entonces el valor de la función se acercará al infinito; si ambas partes tienen un cero en z , entonces se debe comparar la multiplicidad de estos ceros.

Desde un punto de vista algebraico, si el dominio de la función es conexo , entonces el conjunto de funciones meromórficas es el cuerpo de fracciones del dominio integral del conjunto de funciones holomorfas. Esto es análogo a la relación entre los números racionales y los enteros .

Uso previo y alternativo

Tanto el campo de estudio en el que se utiliza el término como el significado preciso del mismo cambiaron en el siglo XX. En la década de 1930, en la teoría de grupos , una función meromórfica (o meromorfa ) era una función de un grupo G en sí misma que preservaba el producto en el grupo . La imagen de esta función se llamaba automorfismo de G. ^[2] De manera similar, una función homomórfica (u homomorfa ) era una función entre grupos que preservaba el producto, mientras que un homomorfismo era la imagen de un homomorfo. Esta forma del término ahora está obsoleta, y el término relacionado meromorfo ya no se usa en la teoría de grupos. El término endomorfismo ahora se usa para la función en sí, sin un nombre especial dado a la imagen de la función.

Una función meromórfica no es necesariamente un endomorfismo, ya que los puntos complejos en sus polos no están en su dominio, pero pueden estar en su rango.

Propiedades

Como los polos están aislados, hay como máximo un número contable de funciones meromórficas. ^[3] El conjunto de polos puede ser infinito, como lo ejemplifica la función $${\displaystyle f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.}$$

Al utilizar la continuación analítica para eliminar las singularidades removibles , se pueden sumar, restar, multiplicar funciones meromórficas y se puede formar el cociente a menos que se trate de un componente conexo de D. Por lo tanto, si D es conexo, las funciones meromórficas forman un cuerpo , de hecho, una extensión de cuerpo de los números complejos . ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle g(z)=0}$

Dimensiones superiores

En varias variables complejas , una función meromórfica se define como un cociente local de dos funciones holomorfas. Por ejemplo, es una función meromórfica en el espacio afín complejo bidimensional. Aquí ya no es cierto que cada función meromórfica pueda considerarse como una función holomorfa con valores en la esfera de Riemann : existe un conjunto de "indeterminación" de codimensión dos (en el ejemplo dado, este conjunto consiste en el origen ). ${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=z_{1}/z_{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$

A diferencia de lo que ocurre en la dimensión uno, en dimensiones superiores sí existen variedades complejas compactas en las que no hay funciones meromórficas no constantes, por ejemplo, la mayoría de los toros complejos .

Ejemplos

• Todas las funciones racionales , por ejemplo ^[3], son meromórficas en todo el plano complejo. Además, son las únicas funciones meromórficas en el plano complejo extendido . $${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},}$$
• Las funciones , así como la función gamma y la función zeta de Riemann, son meromórficas en todo el plano complejo. ^[3] $${\displaystyle f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}}$$
• La función está definida en todo el plano complejo excepto en el origen, 0. Sin embargo, 0 no es un polo de esta función, sino una singularidad esencial . Por lo tanto, esta función no es meromórfica en todo el plano complejo. Sin embargo, es meromórfica (incluso holomorfa) en . $${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$
• La función logaritmo compleja no es meromórfica en todo el plano complejo, ya que no puede definirse en todo el plano complejo excluyendo únicamente un conjunto de puntos aislados. ^[3] $${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$$
• La función no es meromórfica en todo el plano, ya que el punto es un punto de acumulación de polos y por tanto no es una singularidad aislada . ^[3] $${\displaystyle f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}}$$ ${\displaystyle z=0}$
• La función tampoco es meromórfica, ya que tiene una singularidad esencial en 0. $${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}}$$

Sobre superficies de Riemann

En una superficie de Riemann , cada punto admite un entorno abierto que es biholomorfo respecto de un subconjunto abierto del plano complejo. Por lo tanto, se puede definir la noción de función meromórfica para cada superficie de Riemann.

Cuando D es la esfera de Riemann completa , el campo de funciones meromórficas es simplemente el campo de funciones racionales en una variable sobre el campo complejo, ya que se puede demostrar que cualquier función meromórfica sobre la esfera es racional. (Este es un caso especial del llamado principio GAGA .)

Para cada superficie de Riemann , una función meromórfica es la misma que una función holomorfa que se asigna a la esfera de Riemann y que no es la función constante igual a ∞. Los polos corresponden a aquellos números complejos que se asignan a ∞.

En una superficie de Riemann no compacta , cada función meromórfica puede ser realizada como cociente de dos funciones holomorfas (definidas globalmente). En cambio, en una superficie de Riemann compacta, cada función holomorfa es constante, mientras que siempre existen funciones meromórficas no constantes.

Véase también

• Problemas entre primos
• Teorema de Mittag-Leffler
• Teorema de factorización de Weierstrass

Notas al pie

1. El griego meros (μέρος) significa "parte", en contraste con el término más comúnmente utilizado holos (ὅλος), que significa "todo".

Referencias

1. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994]. "Función meromorfa". Enciclopedia de matemáticas . Springer Science+Business Media BV; Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-55608-010-4.
2. Zassenhaus, Hans (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie (1ª ed.). Leipzig; Berlín: BG Teubner Verlag. págs.29, 41.
3. Lang, Serge (1999). Análisis complejo (4ª ed.). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98592-3.