Flujo de Hele-Shaw

El flujo Hele-Shaw se define como el flujo que tiene lugar entre dos placas planas paralelas separadas por un espacio estrecho que satisface ciertas condiciones, llamado así por Henry Selby Hele-Shaw , quien estudió el problema en 1898. ^{[1] [2]} Varios problemas en mecánica de fluidos pueden aproximarse a los flujos Hele-Shaw y, por lo tanto, la investigación de estos flujos es importante. La aproximación al flujo Hele-Shaw es específicamente importante para los microflujos. Esto se debe a las técnicas de fabricación, que crean configuraciones planas poco profundas, y los números de Reynolds típicamente bajos de los microflujos.

Las condiciones que deben cumplirse son:

${\displaystyle {\frac {h}{l}}\ll 1,\qquad {\frac {Uh}{\nu }}{\frac {h}{l}}\ll 1}$

donde es el ancho del espacio entre las placas, es la escala de velocidad característica, es la escala de longitud característica en direcciones paralelas a la placa y es la viscosidad cinemática. Específicamente, el número de Reynolds no necesita ser siempre pequeño, pero puede ser del orden de la unidad o mayor siempre que satisfaga la condición En términos del número de Reynolds basado en , la condición se convierte en ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Re=Uh/\nu }$ ${\displaystyle Re(h/l)\ll 1.}$ ${\displaystyle Re_{l}=Ul/\nu }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle Re_{l}(h/l)^{2}\ll 1.}$

La ecuación que rige los flujos de Hele-Shaw es idéntica a la del flujo potencial no viscoso y a la del flujo de fluido a través de un medio poroso ( ley de Darcy ), lo que permite visualizar este tipo de flujo en dos dimensiones. ^{[3] [4] [5]}

Formulación matemática de los flujos de Hele-Shaw

Una descripción esquemática de una configuración Hele-Shaw.

Sean , las direcciones paralelas a las placas planas y la dirección perpendicular, siendo , la separación entre las placas (en ) y la escala de longitud característica relevante en las direcciones . Bajo los límites mencionados anteriormente, las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes , en la primera aproximación se convierten en ^[6] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle z=0,h}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial y}}&=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}=0,\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}&=0,\\\end{aligned}}}$

donde es la viscosidad . Estas ecuaciones son similares a las ecuaciones de capa límite , excepto que no hay términos no lineales. En la primera aproximación, tenemos entonces, después de imponer las condiciones de contorno antideslizantes en , ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle z=0,h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(x,y),\\v_{x}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}z(h-z),\\v_{y}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}z(h-z)\end{aligned}}}$

La ecuación para se obtiene a partir de la ecuación de continuidad. Integrando la ecuación de continuidad desde el otro lado del canal e imponiendo condiciones de contorno de no penetración en las paredes, tenemos ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \int _{0}^{h}\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right)dz=0,}$

lo que conduce a la ecuación de Laplace :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}=0.}$

Esta ecuación se complementa con condiciones de contorno apropiadas. Por ejemplo, las condiciones de contorno de no penetración en las paredes laterales se convierten en: , donde es un vector unitario perpendicular a la pared lateral (nótese que en las paredes laterales, no se pueden imponer condiciones de contorno antideslizantes). Los límites también pueden ser regiones expuestas a presión constante, en cuyo caso es apropiada una condición de contorno de Dirichlet para . De manera similar, también se pueden usar condiciones de contorno periódicas. También se puede notar que el componente de velocidad vertical en la primera aproximación es ${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p\cdot \mathbf {n} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle v_{z}=0}$

que se desprende de la ecuación de continuidad. Mientras que la magnitud de la velocidad varía en la dirección, la dirección del vector de velocidad es independiente de la dirección, es decir, los patrones de líneas de corriente en cada nivel son similares. El vector de vorticidad tiene los componentes ^[6] ${\displaystyle {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \tan ^{-1}(v_{y}/v_{x})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \omega _{x}={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}(h-2z),\quad \omega _{y}=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}(h-2z),\quad \omega _{z}=0.}$

Como , los patrones de líneas de corriente en el plano corresponden así a un flujo potencial (flujo irrotacional). A diferencia del flujo potencial , aquí la circulación alrededor de cualquier contorno cerrado (paralelo al plano ), ya sea que encierre un objeto sólido o no, es cero, ${\displaystyle \omega _{z}=0}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}v_{x}dx+v_{y}dy=-{\frac {1}{2\mu }}z(h-z)\oint _{C}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy\right)=0}$

donde la última integral se establece en cero porque es una función de un solo valor y la integración se realiza sobre un contorno cerrado. ${\displaystyle p}$

Forma promediada en profundidad

En un canal Hele-Shaw, se puede definir la versión promediada en profundidad de cualquier cantidad física, por ejemplo, ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \langle \varphi \rangle \equiv {\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}\varphi dz.}$

Entonces, el vector de velocidad promediado en profundidad bidimensional , donde , satisface la ley de Darcy , ${\displaystyle \mathbf {u} \equiv \langle \mathbf {v} _{xy}\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{xy}=(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle -{\frac {12\mu }{h^{2}}}\mathbf {u} =\nabla p\quad {\text{with}}\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Más, ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {\omega }}\rangle =0.}$

Célula de Hele-Shaw

El término celda de Hele-Shaw se utiliza comúnmente para los casos en los que se inyecta un fluido en la geometría superficial desde arriba o desde abajo de la geometría, y cuando el fluido está limitado por otro líquido o gas. ^[7] Para tales flujos, las condiciones de contorno están definidas por presiones y tensiones superficiales.

Véase también

• Agregación limitada por difusión
• Teoría de la lubricación
• Ecuación de película delgada
• Embrague Hele-Shaw

Referencias

1. Shaw, Henry SH (1898). Investigación de la naturaleza de la resistencia superficial del agua y del movimiento de la línea de corriente en ciertas condiciones experimentales . Inst. NA OCLC  17929897.^{[ página necesaria ]}
2. Hele-Shaw, HS (1 de mayo de 1898). "El flujo del agua". Nature . 58 (1489): 34–36. Bibcode :1898Natur..58...34H. doi : 10.1038/058034a0 .
3. Hermann Schlichting , Teoría de la capa límite , 7.ª ed. Nueva York: McGraw-Hill, 1979. ^{[ página necesaria ]}
4. LM Milne-Thomson (1996). Hidrodinámica teórica . Dover Publications, Inc.
5. Horace Lamb , Hidrodinámica (1934). ^{[ página necesaria ]}
6. Acheson, DJ (1991). Dinámica de fluidos elemental.
7. Saffman, PG (21 de abril de 2006). "Digitación viscosa en células de Hele-Shaw" (PDF) . Journal of Fluid Mechanics . 173 : 73–94. doi :10.1017/s0022112086001088. S2CID  17003612.