Ecuación algebraica diferencial parcial

En matemáticas, un conjunto de ecuaciones algebraicas diferenciales parciales (PDAE) es un sistema incompleto de ecuaciones diferenciales parciales que se cierra con un conjunto de ecuaciones algebraicas .

Definición

Una PDAE general se define como:

${\displaystyle 0=\mathbf {F} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}},{\frac {\partial ^{2}y_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}},\ldots ,\mathbf {z} \right),}$

dónde:

• F es un conjunto de funciones arbitrarias;
• x es un conjunto de variables independientes;
• y es un conjunto de variables dependientes para las que se definen derivadas parciales; y
• z es un conjunto de variables dependientes para las que no se definen derivadas parciales.

La relación entre una PDAE y una ecuación diferencial parcial (EDP) es análoga a la relación entre una ecuación diferencial ordinaria (EDO) y una ecuación algebraica diferencial (EAD).

Las PDAE de esta forma general son difíciles de resolver. Las formas simplificadas se estudian con más detalle en la literatura. ^{[1] [2] [3]} Incluso en el año 2000, el término "PDAE" ha sido tratado como desconocido por aquellos en campos relacionados. ^[4]

Métodos de solución

La semidiscretización es un método común para resolver PDAE cuyas variables independientes son las de tiempo y espacio , y se ha utilizado durante décadas. ^{[5] [6]} Este método implica eliminar las variables espaciales utilizando un método de discretización , como el método de volumen finito , e incorporar las ecuaciones lineales resultantes como parte de las relaciones algebraicas. Esto reduce el sistema a una DAE , para la cual se pueden emplear métodos de solución convencionales.

Referencias

1. Wagner, Y. 2000. "Un concepto de índice adicional para PDAE lineales de tipo hiperbólico", Mathematics and Computers in Simulation, v. 53, págs. 287–291.
2. WS Martinson, PI Barton. (2002) "Índice y análisis característico de sistemas PDAE lineales", SIAM Journal on Scientific Computing, v. 24, n. 3, págs. 905–923.
3. Lucht, W.; Strehmel, K.. 1998. "Índices basados ​​en discretización para ecuaciones algebraicas diferenciales parciales semilineales", Applied Numerical Mathematics, v. 28, págs. 371–386.
4. Simeon, B.; Arnold, M.. 2000. "Acoplamiento de DAE y PDE para simular la interacción del pantógrafo y la catenaria", Modelado matemático y computacional de sistemas dinámicos, v. 6, págs. 129-144.
5. Jacob, J.; Le Lann, J; Pinguad, H.; Capdeville, B.. 1996. "Un enfoque generalizado para el modelado dinámico y la simulación de biofiltros: aplicación a la desnitrificación de aguas residuales", Chemical Engineering Journal, v. 65, págs. 133-143.
6. de Dieuvleveult, C.; Erhel, J.; Kern, M.. 2009. "Una estrategia global para resolver ecuaciones de transporte reactivo", Journal of Computational Physics, v. 228, págs. 6395–6410.