Principio de homotopía

El principio de homotopía generaliza resultados como la prueba de eversión de la esfera de Smale .

En matemáticas , el principio de homotopía (o principio h ) es una forma muy general de resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP) y, de manera más general, relaciones diferenciales parciales (EDP). El principio h es útil para EDP o EDP subdeterminadas , como el problema de inmersión, el problema de inmersión isométrica, la dinámica de fluidos y otras áreas.

La teoría fue iniciada por Yakov Eliashberg , Mikhail Gromov y Anthony V. Phillips. Se basó en resultados anteriores que redujeron las relaciones diferenciales parciales a homotopía , particularmente para inmersiones. La primera evidencia del principio h apareció en el teorema de Whitney-Graustein . A esto le siguieron el teorema de incrustación isométrica C ¹ de Nash-Kuiper y el teorema de inmersión de Smale-Hirsch.

Idea aproximada

Supongamos que queremos encontrar una función ƒ en R ^m que satisface una ecuación diferencial parcial de grado k , en coordenadas . Se puede reescribir como ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})}$

${\displaystyle \Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},J_{f}^{k})=0}$

donde representa todas las derivadas parciales de ƒ hasta el orden  k . Intercambiemos cada variable en por nuevas variables independientes. Entonces nuestra ecuación original puede considerarse como un sistema de ${\displaystyle J_{f}^{k}}$ ${\displaystyle J_{f}^{k}}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}.}$

${\displaystyle \Psi _{}^{}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0}$

y un cierto número de ecuaciones del siguiente tipo

${\displaystyle y_{j}={\partial ^{k}f \over \partial u_{j_{1}}\ldots \partial u_{j_{k}}}.}$

Una solución de

${\displaystyle \Psi _{}^{}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0}$

se llama solución no holonómica , y una solución del sistema que también es solución de nuestra EDP original se llama solución holonómica .

Para comprobar si existe una solución a nuestra ecuación original, primero podemos comprobar si existe una solución no holonómica. Normalmente esto es bastante fácil, y si no existe una solución no holonómica, entonces nuestra ecuación original no tenía ninguna solución.

Una EDP satisface el principio h si cualquier solución no holonómica puede deformarse en una solución holonómica de la clase de soluciones no holonómicas. Por lo tanto, en presencia del principio h, un problema topológico diferencial se reduce a un problema topológico algebraico. Más explícitamente, esto significa que, aparte de la obstrucción topológica, no hay otra obstrucción a la existencia de una solución holonómica. El problema topológico de encontrar una solución no holonómica es mucho más fácil de manejar y se puede abordar con la teoría de obstrucciones para fibrados topológicos.

Muchas ecuaciones diferenciales parciales indeterminadas satisfacen el principio h. Sin embargo, la falsedad de un principio h también es una afirmación interesante; intuitivamente, esto significa que los objetos en estudio tienen una geometría no trivial que no se puede reducir a la topología. Como ejemplo, los lagrangianos incorporados en una variedad simpléctica no satisfacen un principio h; para demostrar esto, es necesario encontrar invariantes que provengan de curvas pseudoholomórficas .

Ejemplos sencillos

Funciones monótonas

Quizás la relación diferencial parcial más simple es que la derivada no se desvanezca: Propiamente, esta es una relación diferencial ordinaria , ya que se trata de una función en una variable. ${\displaystyle f'(x)\neq 0.}$

Una solución holonómica de esta relación es una función cuya derivada no se anula en ningún punto, es decir, una función estrictamente monótona diferenciable, ya sea creciente o decreciente. El espacio de tales funciones consta de dos conjuntos convexos disjuntos : los crecientes y los decrecientes, y tiene el tipo de homotopía de dos puntos.

Una solución no holonómica de esta relación consistiría en los datos de dos funciones, una función diferenciable f(x) y una función continua g(x), donde g(x) no se anula en ningún punto. Una solución holonómica da lugar a una solución no holonómica tomando g(x) = f'(x). El espacio de soluciones no holonómicas consta de nuevo de dos conjuntos convexos disjuntos, según que g(x) sea positivo o negativo.

Por lo tanto, la inclusión de soluciones holonómicas en soluciones no holonómicas satisface el principio h.

El teorema de Whitney-Graustein muestra que las inmersiones del círculo en el plano satisfacen un principio h, expresado por el número de giro .

Este ejemplo trivial tiene generalizaciones no triviales: extender esto a inmersiones de un círculo en sí mismo las clasifica por orden (o número de vueltas ), elevando la función al espacio de cobertura universal y aplicando el análisis anterior a la función monótona resultante – la función lineal corresponde a multiplicar el ángulo: ( en números complejos). Nótese que aquí no hay inmersiones de orden 0, ya que éstas tendrían que girar sobre sí mismas. Extendiendo esto a círculos sumergidos en el plano – la condición de inmersión es precisamente la condición de que la derivada no se anule – el teorema de Whitney-Graustein clasifica éstas girando el número considerando la clase de homotopía de la función de Gauss y mostrando que esto satisface un principio h; aquí nuevamente el orden 0 es más complicado. ${\displaystyle \theta \mapsto n\theta }$ ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

La clasificación de Smale de las inmersiones de esferas como grupos de homotopía de las variedades de Stiefel , y la generalización de Hirsch de esto a las inmersiones de variedades que se clasifican como clases de homotopía de mapas de fibrados de marcos son generalizaciones de mucho mayor alcance y mucho más complejas, pero similares en principio: la inmersión requiere que la derivada tenga rango k, lo que requiere que las derivadas parciales en cada dirección no se desvanezcan y sean linealmente independientes, y el análogo resultante de la función de Gauss es una función de la variedad de Stiefel, o más generalmente entre fibrados de marcos.

Un coche en el avión

Como otro ejemplo simple, considere un automóvil que se mueve en el plano. La posición de un automóvil en el plano está determinada por tres parámetros: dos coordenadas y la ubicación (una buena opción es la ubicación del punto medio entre las ruedas traseras) y un ángulo que describe la orientación del automóvil. El movimiento del automóvil satisface la ecuación ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\dot {x}}\sin \alpha ={\dot {y}}\cos \alpha .}$

Dado que un automóvil que no patina debe moverse en la dirección de sus ruedas, en términos de robótica no todos los caminos en el espacio de tareas son holonómicos.

En este caso, una solución no holonómica corresponde, en términos generales, a un movimiento del coche deslizándose en el plano. En este caso, las soluciones no holonómicas no sólo son homotópicas a las holonómicas, sino que también pueden ser arbitrariamente bien aproximadas por las holonómicas (yendo y viniendo, como estacionarse en paralelo en un espacio limitado); nótese que esto aproxima tanto la posición como el ángulo del coche de forma arbitrariamente cercana. Esto implica que, teóricamente, es posible estacionarse en paralelo en cualquier espacio más largo que la longitud de su coche. También implica que, en una variedad de contacto 3, cualquier curva es -cercana a una curva legendriana . Esta última propiedad es más fuerte que el principio h general; se llama el principio h -denso . ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{0}}$

Si bien este ejemplo es simple, compárelo con el teorema de incrustación de Nash , específicamente el teorema de Nash-Kuiper , que dice que cualquier incrustación o inmersión corta y suave ( ) de en o mayor puede aproximarse arbitrariamente bien mediante una incrustación isométrica (respectivamente, inmersión). Este también es un principio h denso, y puede demostrarse mediante una técnica de "arrugado" -o más bien, de círculo- esencialmente similar al del automóvil en el avión, aunque es mucho más compleja. ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m+1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Formas de demostrar el principio h

• Técnica de eliminación de singularidades desarrollada por Gromov y Eliashberg
• Técnica de gavilla basada en el trabajo de Smale y Hirsch. ^{[1] [2]}
• Integración convexa basada en el trabajo de Nash y Kuiper. ^{[3] [4] [5]}

Algunas paradojas

Aquí enumeramos algunos resultados contra-intuitivos que pueden demostrarse aplicando el principio h:

• Eversión del cono. ^[6] Considérese funciones f en R ² sin origen f ( x ) = | x |. Entonces existe una familia continua de funciones de un parámetro tales que , y para cualquier , no es cero en ningún punto. ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle f_{0}=f}$ ${\displaystyle f_{1}=-f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \operatorname {grad} (f_{t})}$
• Cualquier variedad abierta admite una métrica riemanniana (no completa) de curvatura positiva (o negativa).
• La eversión de esferas sin arrugas ni desgarros se puede realizar mediante inmersiones de . ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}}$
• El teorema de incrustación isométrica de Nash-Kuiper C ¹ , en particular, implica que hay una inmersión isométrica de la esfera en una bola arbitrariamente pequeña de . Esta inmersión no puede ser porque una esfera oscilante pequeña proporcionaría un límite inferior grande para las curvaturas principales y, por lo tanto, para la curvatura de Gauss de la esfera sumergida, pero por otro lado, si la inmersión es , esta tiene que ser igual a 1 en todas partes, la curvatura de Gauss del estándar , por el Teorema Egregium de Gauss . ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Referencias

1. MW Hirsch, Inmersiones de variedades. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959)
2. S. Smale, La clasificación de inmersiones de esferas en espacios euclidianos. Ann. of Math(2) 69 (1959)
3. John Nash, Incrustación isométrica. Ann. of Math(2) 60 (1954) ${\displaystyle C^{1}}$
4. N. Kuiper, Sobre incrustaciones isométricas I, II. Nederl. Acad. Wetensch. Proc. Serie A 58 (1955) ${\displaystyle C^{1}}$
5. David Spring, Teoría de la integración convexa: soluciones al principio h en geometría y topología, Monografías en matemáticas 92, Birkhauser-Verlag, 1998
6. D. Fuchs, S. Tabachnikov, Ómnibus matemático: treinta conferencias sobre matemáticas clásicas

Lectura adicional

• Masahisa Adachi, Incrustaciones e inmersiones, traducción Kiki Hudson
• Eliashberg, Y.; Mishachev, N.; Ariki, S. (2002). Introducción al principio h. American Mathematical Society. ISBN 9780821832271.
• Gromov, M. (1986). Relaciones diferenciales parciales . Springer. ISBN 3-540-12177-3.
• De Lellis, Camillo; Székelyhidi, László Jr. (2012). "El principio h y las ecuaciones de la dinámica de fluidos". Bull. Amer. Math. Soc . 49 : 347–375. arXiv : 1111.2700 . doi : 10.1090/S0273-0979-2012-01376-9 .