Eversión de esfera

Operación topológica de girar una esfera de adentro hacia afuera sin arrugarla

Una superficie de Morin vista desde "arriba"

Proceso de eversión de esfera como se describe en ^[1]

Eversión de esferas de papel y superficie de Morin

Superficie de papel Morin (eversión de la esfera hasta la mitad) con simetría hexagonal

En topología diferencial , la eversión de esferas es el proceso de dar vuelta una esfera al revés en un espacio tridimensional (la palabra eversión significa "dar vuelta al revés"). Es posible dar vuelta una esfera al revés de manera suave y continua de esta manera (permitiendo autointersecciones de la superficie de la esfera) sin cortarla ni rasgarla ni crear ningún pliegue. Esto es sorprendente, tanto para los no matemáticos como para aquellos que entienden la homotopía regular , y puede considerarse como una paradoja verídica ; es decir, algo que, aunque es cierto, a primera vista parece falso.

Más precisamente, dejemos

${\displaystyle f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

sea ​​la incrustación estándar ; entonces hay una homotopía regular de inmersiones

${\displaystyle f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

tal que ƒ ₀  =  ƒ y ƒ ₁  = − ƒ .

Historia

Stephen Smale (1957) fue el primero en crear una prueba de la existencia de una eversión de esferas sin pliegues  . Es difícil visualizar un ejemplo particular de tal giro, aunque se han producido algunas animaciones digitales que lo hacen algo más fácil. El primer ejemplo fue exhibido gracias a los esfuerzos de varios matemáticos, entre ellos Arnold S. Shapiro y Bernard Morin , que era ciego. Por otro lado, es mucho más fácil demostrar que tal "giro" existe, y eso es lo que hizo Smale.

El asesor de posgrado de Smale, Raoul Bott, le dijo al principio a Smale que el resultado era obviamente erróneo (Levy 1995). Su razonamiento fue que el grado del mapa de Gauss debe conservarse en tal "giro"; en particular, se deduce que no existe tal giro de S ¹ en R ² . Pero los grados del mapa de Gauss para las inmersiones f y − f en R ³ son ambos iguales a 1, y no tienen signo opuesto como uno podría suponer incorrectamente. El grado del mapa de Gauss de todas las inmersiones de S ² en R ³ es 1, por lo que no hay ningún obstáculo. El término "paradoja verídica" se aplica quizás de manera más apropiada en este nivel: hasta el trabajo de Smale, no había ningún intento documentado de argumentar a favor o en contra de la eversión de S ² , y los esfuerzos posteriores son en retrospectiva, por lo que nunca hubo una paradoja histórica asociada con la eversión de la esfera, solo una apreciación de las sutilezas de visualizarla por parte de aquellos que confrontaban la idea por primera vez.

Véase el principio h para más generalizaciones.

Prueba

La prueba original de Smale era indirecta: identificó clases (homotopía regular) de inmersiones de esferas con un grupo de homotopía de la variedad de Stiefel . Dado que el grupo de homotopía que corresponde a las inmersiones de hacia dentro se anula, la incrustación estándar y la de dentro hacia fuera deben ser homotópicas regulares. En principio, la prueba puede desenrollarse para producir una homotopía regular explícita, pero esto no es fácil de hacer. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Hay varias formas de producir ejemplos explícitos y visualización matemática :

Eversión de esfera Minimax; consulte la página Wikimedia Commons del video para obtener una descripción del contenido del video

• Modelos intermedios : consisten en homotopías muy especiales. Este es el método original, realizado primero por Shapiro y Phillips a través de la superficie de Boy , luego refinado por muchos otros. Las homotopías originales del modelo intermedio se construyeron a mano y funcionaron topológicamente, pero no eran mínimas. La película creada por Nelson Max, durante un período de siete años, y basada en los modelos de alambre de gallinero de Charles Pugh (posteriormente robados del Departamento de Matemáticas de Berkeley), fue una "tour de force" de gráficos por computadora para su época, y estableció el punto de referencia para la animación por computadora durante muchos años. Un refinamiento gráfico más reciente y definitivo (década de 1980) son las eversiones minimax , que es un método variacional y consiste en homotopías especiales (son caminos más cortos con respecto a la energía de Willmore ). A su vez, comprender el comportamiento de la energía de Willmore requiere comprender las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales de cuarto orden, y por lo tanto, las imágenes visualmente hermosas y evocadoras ocultan algunas matemáticas muy profundas más allá de la prueba abstracta original de Smale.

Eversión de esferas mediante las corrugaciones de Thurston; consulte la página Wikimedia Commons del video para obtener una descripción del contenido del video

• Corrugaciones de Thurston : es un método topológico y genérico que toma una homotopía y la perturba para que se convierta en una homotopía regular. Esto se ilustra en la animación gráfica por computadora Outside In desarrollada en el Centro de Geometría bajo la dirección de Silvio Levy, Delle Maxwell y Tamara Munzner . ^[2]
• Combinando los métodos anteriores, la eversión de la esfera completa se puede describir mediante un conjunto de ecuaciones cerradas que dan una complejidad topológica mínima ^[1].

Variaciones

• Una esfera de seis dimensiones en un espacio euclidiano de siete dimensiones admite la eversión. ^[3] Con un caso evidente de una esfera de dimensión 0 (dos puntos distintos) en una línea real y el caso descrito anteriormente de una esfera bidimensional en solo hay tres casos en los que la esfera incrustada en el espacio euclidiano admite la eversión. ${\displaystyle S^{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Galería de pasos de eversión

Modelo abierto con cuerda de nailon

Véase también

• Teorema de Whitney-Graustein

Referencias

1. Bednorz, Adam; Bednorz, Witold (2019). "Eversión analítica de esferas utilizando superficies regladas". Geometría diferencial y sus aplicaciones . 64 : 59–79. arXiv : 1711.10466 . doi :10.1016/j.difgeo.2019.02.004. S2CID  119687494.
2. "De afuera hacia adentro: Introducción". The Geometry Center . Consultado el 21 de junio de 2017 .
3. Goryunov, Victor V. (1997). "Invariantes locales de aplicaciones de superficies en espacios tridimensionales". Los seminarios matemáticos de Arnold-Gelfand . Boston, Massachusetts: Birkhäuser. pp. 223-255. ISBN 0-8176-3883-0.

Bibliografía

• Iain R. Aitchison (2010) El «Holiverse»: eversión holística de la 2-esfera en R^3, preimpresión. arXiv:1008.0916.
• John B. Etnyre (2004) Revisión de "principios h y flexibilidad en geometría", MR 1982875.
• Francis, George K. (2007), Un libro ilustrado topológico , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-34542-0, Sr.  2265679
• George K. Francis y Bernard Morin (1980) "La eversión de la esfera de Arnold Shapiro", Mathematical Intelligencer 2(4):200–3.
• Levy, Silvio (1995), "Una breve historia de las eversiones de esferas", Making waves , Wellesley, MA: AK Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-049-2, Sr.  1357900
• Max, Nelson (1977) "Dándole la vuelta a una esfera", https://www.crcpress.com/Turning-a-Sphere-Inside-Out-DVD/Max/9781466553941 Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
• Anthony Phillips (mayo de 1966) "Cómo dar la vuelta a una superficie", Scientific American , págs. 112-120.
• Smale, Stephen (1958), "Una clasificación de las inmersiones de las dos esferas", Transactions of the American Mathematical Society , 90 (2): 281–290, doi : 10.2307/1993205 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993205, MR  0104227

Enlaces externos

• Una historia de eversiones de esferas Archivado el 11 de julio de 2020 en Wayback Machine
• "Darle la vuelta a una esfera"
• Software para visualizar la eversión de esferas
• Visualización matemática: topología. La eversión de la esfera holiversa (animación de Povray)
• La eversión de la esfera de deNeve/Hills: video y modelo interactivo
• Proyecto de Patrick Massot para formalizar la prueba en el Probador de Teoremas Lean
• Una exploración interactiva del método de eversión de esferas de Adam Bednorz y Witold Bednorz
• De afuera hacia adentro: una exploración en video de la eversión de la esfera, creada por el Centro de Geometría de la Universidad de Minnesota .