El lema de Watson

En matemáticas, el lema de Watson , demostrado por GN Watson (1918, p. 133), tiene una aplicación significativa dentro de la teoría sobre el comportamiento asintótico de las integrales .

Enunciado del lema

Sea fijo. Supongamos que , donde tiene un número infinito de derivadas en el entorno de , con , y . ${\displaystyle 0<T\leq \infty }$ ${\displaystyle \varphi (t)=t^{\lambda }\,g(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle g(0)\neq 0}$ ${\displaystyle \lambda >-1}$

Supongamos, además, que

${\displaystyle |\varphi (t)|<Ke^{bt}\ \forall t>0,}$

donde son independientes de , o que ${\displaystyle K,b}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}$

Entonces, es cierto que por todo lo positivo que sea ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left|\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|<\infty }$

y que se cumple la siguiente equivalencia asintótica :

${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}},\ \ (x>0,\ x\rightarrow \infty ).}$

Véase, por ejemplo, Watson (1918) para la prueba original o Miller (2006) para un desarrollo más reciente.

Prueba

Probaremos la versión del lema de Watson que supone que tiene como máximo un crecimiento exponencial cuando . La idea básica detrás de la prueba es que nos aproximaremos mediante un número finito de términos de su serie de Taylor . Dado que se supone que las derivadas de solo existen en un entorno del origen, procederemos esencialmente eliminando la cola de la integral, aplicando el teorema de Taylor con resto en el pequeño intervalo restante y luego agregando la cola nuevamente al final. En cada paso, estimaremos cuidadosamente cuánto estamos descartando o agregando. Esta prueba es una modificación de la que se encuentra en Miller (2006). ${\displaystyle |\varphi (t)|}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle g}$

Supongamos que y es una función medible de la forma , donde y tiene un número infinito de derivadas continuas en el intervalo para algunos , y que para todos , donde las constantes y son independientes de . ${\displaystyle 0<T\leq \infty }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (t)=t^{\lambda }g(t)}$ ${\displaystyle \lambda >-1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,\delta ]}$ ${\displaystyle 0<\delta <T}$ ${\displaystyle |\varphi (t)|\leq Ke^{bt}}$ ${\displaystyle \delta \leq t\leq T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle t}$

Podemos demostrar que la integral es finita para valores suficientemente grandes escribiendo ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (1)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t}$

y estimar cada término.

Para el primer semestre tenemos

${\displaystyle \left|\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{0}^{\delta }e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\leq \int _{0}^{\delta }|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t}$

para , donde la última integral es finita por los supuestos de que es continua en el intervalo y que . Para el segundo término usamos el supuesto de que está exponencialmente acotado para ver que, para , ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,\delta ]}$ ${\displaystyle \lambda >-1}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x>b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|&\leq \int _{\delta }^{T}e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{T}e^{(b-x)t}\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{\infty }e^{(b-x)t}\,\mathrm {d} t\\&=K\,{\frac {e^{(b-x)\delta }}{x-b}}.\end{aligned}}}$

La finitud de la integral original se deduce entonces de la aplicación de la desigualdad triangular a . ${\displaystyle (1)}$

Podemos deducir del cálculo anterior que

${\displaystyle (2)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)}$

como . ${\displaystyle x\to \infty }$

Apelando al teorema de Taylor con resto sabemos que, para cada entero , ${\displaystyle N\geq 0}$

${\displaystyle g(t)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\,t^{n}+{\frac {g^{(N+1)}(t^{*})}{(N+1)!}}\,t^{N+1}}$

para , donde . Introduciendo esto en el primer término en obtenemos ${\displaystyle 0\leq t\leq \delta }$ ${\displaystyle 0\leq t^{*}\leq t}$ ${\displaystyle (2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(3)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}t^{\lambda }g(t)\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{(N+1)!}}\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

Para acotar el término que contiene el resto, utilizamos el supuesto de que es continua en el intervalo y, en particular, está acotada allí. Así vemos que ${\displaystyle g^{(N+1)}}$ ${\displaystyle [0,\delta ]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\right|&\leq \sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\&<\sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\&=\sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\,{\frac {\Gamma (\lambda +N+2)}{x^{\lambda +N+2}}}.\end{aligned}}}$

Aquí hemos utilizado el hecho de que

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{a}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (a+1)}{x^{a+1}}}}$

si y , donde es la función gamma . ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle a>-1}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Del cálculo anterior se desprende que ${\displaystyle (3)}$

${\displaystyle (4)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)}$

como . ${\displaystyle x\to \infty }$

Ahora sumaremos las colas a cada integral en . Para cada una tenemos ${\displaystyle (4)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}}$

y demostraremos que las integrales restantes son exponencialmente pequeñas. En efecto, si hacemos el cambio de variables obtenemos ${\displaystyle t=s+\delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-x(s+\delta )}\,\mathrm {d} s\\[5pt]&=e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-xs}\,\mathrm {d} s\\[5pt]&\leq e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-s}\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}$

para , para que ${\displaystyle x\geq 1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right){\text{ as }}x\to \infty .}$

Si sustituimos este último resultado en encontramos que ${\displaystyle (4)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right)+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}$

como . Finalmente, sustituyendo esto en concluimos que ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle (2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}$

como . ${\displaystyle x\to \infty }$

Como esta última expresión es verdadera para cada entero, hemos demostrado que ${\displaystyle N\geq 0}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}}$

como , donde la serie infinita se interpreta como una expansión asintótica de la integral en cuestión. ${\displaystyle x\to \infty }$

Ejemplo

Cuando , la función hipergeométrica confluente de primer tipo tiene la representación integral ${\displaystyle 0<a<b}$

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{xt}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1}\,\mathrm {d} t,}$

donde es la función gamma . El cambio de variables lo pone en la forma ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle t=1-s}$

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\,e^{x}\int _{0}^{1}e^{-xs}(1-s)^{a-1}s^{b-a-1}\,ds,}$

que ahora se puede aplicar al lema de Watson. Tomando y , el lema de Watson nos dice que ${\displaystyle \lambda =b-a-1}$ ${\displaystyle g(s)=(1-s)^{a-1}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{-xs}(1-s)^{a-1}s^{b-a-1}\,ds\sim \Gamma (b-a)x^{a-b}\quad {\text{as }}x\to \infty {\text{ with }}x>0,}$

lo que nos permite concluir que

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)\sim {\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\,x^{a-b}e^{x}\quad {\text{as }}x\to \infty {\text{ with }}x>0.}$

Referencias

• Miller, PD (2006), Análisis asintótico aplicado , Providence, RI: American Mathematical Society, pág. 467, ISBN 978-0-8218-4078-8.
• Watson, GN (1918), "Las funciones armónicas asociadas con el cilindro parabólico", Actas de la London Mathematical Society , vol. 2, núm. 17, págs. 116-148, doi :10.1112/plms/s2-17.1.116.
• Ablowitz, MJ, Fokas, AS (2003). Variables complejas: introducción y aplicaciones. Cambridge University Press .