discriminante

Función de los coeficientes de un polinomio que da información sobre sus raíces.

En matemáticas , el discriminante de un polinomio es una cantidad que depende de los coeficientes y permite deducir algunas propiedades de las raíces sin calcularlas. Más precisamente, es una función polinómica de los coeficientes del polinomio original. El discriminante se utiliza ampliamente en factorización polinomial , teoría de números y geometría algebraica .

El discriminante del polinomio cuadrático es ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle b^{2}-4ac,}$

la cantidad que aparece debajo de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática . Si este discriminante es cero si y sólo si el polinomio tiene doble raíz . En el caso de coeficientes reales , es positivo si el polinomio tiene dos raíces reales distintas y negativo si tiene dos raíces conjugadas complejas distintas. ^[1] De manera similar, el discriminante de un polinomio cúbico es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple . En el caso de un cúbico con coeficientes reales, el discriminante es positivo si el polinomio tiene tres raíces reales distintas, y negativo si tiene una raíz real y dos raíces conjugadas complejas distintas. ${\displaystyle a\neq 0,}$

De manera más general, el discriminante de un polinomio univariado de grado positivo es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz múltiple. Para coeficientes reales y sin raíces múltiples, el discriminante es positivo si el número de raíces no reales es múltiplo de 4 (sin incluir ninguna) y negativo en caso contrario.

Varias generalizaciones también se denominan discriminantes: el discriminante de un campo numérico algebraico ; el discriminante de forma cuadrática ; y más generalmente, el discriminante de una forma , de un polinomio homogéneo o de una hipersuperficie proyectiva (estos tres conceptos son esencialmente equivalentes).

Origen

El término "discriminante" fue acuñado en 1851 por el matemático británico James Joseph Sylvester . ^[2]

Definición

Dejar

${\displaystyle A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

ser un polinomio de grado n (es decir, ), tal que los coeficientes pertenezcan a un campo o, más generalmente, a un anillo conmutativo . La resultante de A y su derivada , ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1},}$

es un polinomio con coeficientes enteros , que es el determinante de la matriz de Sylvester de A y A ′ . Las entradas distintas de cero de la primera columna de la matriz de Sylvester son y y la resultante es, por tanto, un múltiplo de Por lo tanto, el discriminante, hasta su signo, se define como el cociente de la resultante de A y A' por : ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle na_{n},}$ ${\displaystyle a_{n}.}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')}$

Históricamente, este signo se ha elegido de manera que, sobre los reales, el discriminante será positivo cuando todas las raíces del polinomio sean reales. La división por puede no estar bien definida si el anillo de los coeficientes contiene divisores cero . Este problema se puede evitar reemplazando por 1 la primera columna de la matriz de Sylvester, antes de calcular el determinante. En cualquier caso, el discriminante es un polinomio con coeficientes enteros. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

Expresión en términos de las raíces.

Cuando el polinomio anterior se define sobre un campo , tiene n raíces, no necesariamente todas distintas, en cualquier extensión algebraicamente cerrada del campo. (Si los coeficientes son números reales, las raíces pueden tomarse en el campo de los números complejos , donde se aplica el teorema fundamental del álgebra ). ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$

En términos de las raíces, el discriminante es igual a

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).}$

Por tanto, es el cuadrado de los tiempos del polinomio de Vandermonde . ${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$

Esta expresión para el discriminante a menudo se toma como definición. Deja claro que si el polinomio tiene raíz múltiple , entonces su discriminante es cero, y que, en el caso de coeficientes reales, si todas las raíces son reales y simples , entonces el discriminante es positivo. A diferencia de la definición anterior, esta expresión no es obviamente un polinomio en los coeficientes, pero esto se desprende del teorema fundamental de la teoría de Galois , o del teorema fundamental de los polinomios simétricos y las fórmulas de Vieta al observar que esta expresión es un polinomio simétrico en los coeficientes. raíces de A.

grados bajos

Rara vez se considera el discriminante de un polinomio lineal (grado 1). Si es necesario, comúnmente se define como igual a 1 (usando las convenciones habituales para el producto vacío y considerando que uno de los dos bloques de la matriz de Sylvester está vacío ). No existe una convención común para el discriminante de un polinomio constante (es decir, polinomio de grado 0).

Para grados pequeños, el discriminante es bastante simple (ver más abajo), pero para grados más altos puede resultar difícil de manejar. Por ejemplo, el discriminante de una cuarta general tiene 16 términos, ^[3] el de una quinta tiene 59 términos, ^[4] y el de una sextica tiene 246 términos. ^[5] Esta es la secuencia OEIS A007878.

Grado 2

El polinomio cuadrático tiene discriminante. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$

${\displaystyle b^{2}-4ac\,.}$

La raíz cuadrada del discriminante aparece en la fórmula cuadrática de las raíces del polinomio cuadrático:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

donde el discriminante es cero si y sólo si las dos raíces son iguales. Si a , b , c son números reales, el polinomio tiene dos raíces reales distintas si el discriminante es positivo y dos raíces conjugadas complejas si es negativo. ^[6]

El discriminante es el producto de a ² y el cuadrado de la diferencia de las raíces.

Si a , b , c son números racionales , entonces el discriminante es el cuadrado de un número racional si y sólo si las dos raíces son números racionales.

Grado 3

El conjunto cero del discriminante de la cúbica x ³ + bx ² + cx + d , es decir, puntos que satisfacen b ² c ² – 4 c ³ – 4 b ³ d – 27 d ² + 18 bcd = 0 .

El polinomio cúbico tiene discriminante. ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$

${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.}$^{[7] [8]}

En el caso especial de un polinomio cúbico deprimido , el discriminante se simplifica a ${\displaystyle x^{3}+px+q}$

${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}\,.}$

El discriminante es cero si y sólo si al menos dos raíces son iguales. Si los coeficientes son números reales y el discriminante no es cero, el discriminante es positivo si las raíces son tres números reales distintos y negativo si hay una raíz real y dos raíces conjugadas complejas. ^[9]

La raíz cuadrada de una cantidad fuertemente relacionada con el discriminante aparece en las fórmulas para las raíces de un polinomio cúbico . En concreto, esta cantidad puede ser −3 veces el discriminante, o su producto por el cuadrado de un número racional; por ejemplo, el cuadrado de 1/18 en el caso de la fórmula Cardano .

Si el polinomio es irreducible y sus coeficientes son números racionales (o pertenecen a un campo numérico ), entonces el discriminante es un cuadrado de un número racional (o un número del campo numérico) si y sólo si el grupo de Galois de la ecuación cúbica es el grupo cíclico de orden tres.

Grado 4

El discriminante del polinomio cuártico x ⁴ + cx ² + dx + e . La superficie representa puntos ( c , d , e ) donde el polinomio tiene una raíz repetida. El borde cúspide corresponde a los polinomios con raíz triple, y la autointersección corresponde a los polinomios con dos raíces repetidas diferentes.

El polinomio cuártico tiene discriminante. ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}}$

El polinomio cuártico deprimido tiene discriminante ${\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx+e\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&16c^{4}e-4c^{3}d^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4}+256e^{3}\,.\end{aligned}}}$

El discriminante es cero si y sólo si al menos dos raíces son iguales. Si los coeficientes son números reales y el discriminante es negativo, entonces hay dos raíces reales y dos raíces conjugadas complejas. Por el contrario, si el discriminante es positivo, entonces las raíces son todas reales o no reales.

Propiedades

discriminante cero

El discriminante de un polinomio sobre un campo es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz múltiple en alguna extensión de campo .

El discriminante de un polinomio sobre un dominio integral es cero si y sólo si el polinomio y su derivada tienen un divisor común no constante.

En la característica 0, esto equivale a decir que el polinomio no está libre de cuadrados (es decir, es divisible por el cuadrado de un polinomio no constante).

En la característica p distinta de cero , el discriminante es cero si y sólo si el polinomio no está libre de cuadrados o tiene un factor irreducible que no es separable (es decir, el factor irreducible es un polinomio en ). ${\displaystyle x^{p}}$

Invariancia bajo cambio de la variable.

El discriminante de un polinomio es, hasta un escalamiento, invariante ante cualquier transformación proyectiva de la variable. Como una transformación proyectiva se puede descomponer en un producto de traslaciones, homotecias e inversiones, esto da como resultado las siguientes fórmulas para transformaciones más simples, donde P ( x ) denota un polinomio de grado n , con un coeficiente principal. ${\displaystyle a_{n}}$

• Invariancia por traducción :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

Esto resulta de la expresión del discriminante en términos de las raíces.

• Invariancia por homotecia :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

Esto resulta de la expresión en términos de las raíces, o de la cuasi-homogeneidad del discriminante.

• Invariancia por inversión :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

cuando Aquí, denota el polinomio recíproco de P ; es decir, si y entonces ${\displaystyle P(0)\neq 0.}$ ${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;}$ ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},}$ ${\displaystyle a_{0}\neq 0,}$

${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.}$

Invariancia bajo homomorfismos de anillo

Sea un homomorfismo de anillos conmutativos . Dado un polinomio ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$

${\displaystyle A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

en R [ x ] , el homomorfismo actúa sobre A para producir el polinomio ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})}$

en S [ x ] .

El discriminante es invariante bajo en el siguiente sentido. si entonces ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (a_{n})\neq 0,}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).}$

Como el discriminante se define en términos de un determinante, esta propiedad resulta inmediatamente de la propiedad similar de los determinantes.

Si entonces puede ser cero o no. Uno tiene, cuando ${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$ ${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))}$ ${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).}$

Cuando uno sólo está interesado en saber si un discriminante es cero (como suele ser el caso en geometría algebraica ), estas propiedades pueden resumirse como:

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$si y sólo si uno o ${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0}$ ${\displaystyle \deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.}$

Esto a menudo se interpreta como que si y sólo si tiene una raíz múltiple (posiblemente en el infinito ). ${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$ ${\displaystyle A^{\varphi }}$

Producto de polinomios

Si R = PQ es un producto de polinomios en x , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}}$

donde denota la resultante con respecto a la variable x , y p y q son los grados respectivos de P y Q. ${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}}$

Esta propiedad se sigue inmediatamente al sustituir la expresión de la resultante y del discriminante en términos de las raíces de los respectivos polinomios.

Homogeneidad

El discriminante es un polinomio homogéneo en los coeficientes; también es un polinomio homogéneo en las raíces y, por tanto, casi homogéneo en los coeficientes.

El discriminante de un polinomio de grado n es homogéneo de grado 2 n − 2 en los coeficientes. Esto se puede ver de dos maneras. En términos de la fórmula de raíces y términos principales, multiplicar todos los coeficientes por λ no cambia las raíces, sino que multiplica el término principal por λ . En términos de su expresión como determinante de una matriz (2 n − 1) × (2 n − 1) (la matriz de Sylvester ) dividida por _an , el determinante es homogéneo de grado 2 n − 1 en las entradas, y dividiendo por a _n hace que el grado 2 n − 2 .

El discriminante de un polinomio de grado n es homogéneo de grado n ( n − 1) en las raíces. Esto se desprende de la expresión del discriminante en términos de raíces, que es el producto de diferencias constantes y al cuadrado de raíces. ${\displaystyle {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

El discriminante de un polinomio de grado n es casi homogéneo de grado n ( n − 1 ) en los coeficientes, si, para cada i , al coeficiente de se le da el peso n − i . También es casi homogéneo del mismo grado, si, para cada i , al coeficiente de se le da el peso i . Esto es una consecuencia del hecho general de que todo polinomio que es homogéneo y simétrico en las raíces puede expresarse como un polinomio cuasi homogéneo en las funciones simétricas elementales de las raíces. ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Considere el polinomio

${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

De lo anterior se deduce que los exponentes de cada monomio que aparecen en el discriminante satisfacen las dos ecuaciones ${\displaystyle a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}}$

${\displaystyle i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2}$

y

${\displaystyle i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),}$

y también la ecuación

${\displaystyle ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),}$

que se obtiene restando la segunda ecuación de la primera multiplicada por n .

Esto restringe los términos posibles en el discriminante. Para el polinomio cuadrático general sólo existen dos posibilidades y dos términos en el discriminante, mientras que el polinomio general homogéneo de grado dos en tres variables tiene 6 términos. Para el polinomio cúbico general existen cinco posibilidades y cinco términos en el discriminante, mientras que el polinomio general homogéneo de grado 4 en 5 variables tiene 70 términos.

Para grados superiores, puede haber monomios que satisfagan las ecuaciones anteriores y no aparezcan en el discriminante. El primer ejemplo es para el polinomio cuártico , en cuyo caso el monomio satisface las ecuaciones sin aparecer en el discriminante. ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$ ${\displaystyle bc^{4}d}$

Raíces reales

En esta sección, todos los polinomios tienen coeficientes reales .

Se ha visto en § Grados bajos que el signo del discriminante proporciona información útil sobre la naturaleza de las raíces para polinomios de grado 2 y 3. Para grados superiores, la información proporcionada por el discriminante es menos completa, pero sigue siendo útil. Más precisamente, para un polinomio de grado n , se tiene:

• El polinomio tiene raíz múltiple si y sólo si su discriminante es cero.
• Si el discriminante es positivo, el número de raíces no reales es múltiplo de 4. Es decir, existe un entero no negativo k ≤ n /4 tal que hay 2 k pares de raíces conjugadas complejas y n − 4 k raíces reales .
• Si el discriminante es negativo, el número de raíces no reales no es múltiplo de 4. Es decir, existe un entero no negativo k ≤ ( n − 2)/4 tal que existen 2 k + 1 pares de raíces conjugadas complejas y n − 4 k + 2 raíces reales.

Polinomio bivariado homogéneo

Dejar

${\displaystyle A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}}$

ser un polinomio homogéneo de grado n en dos indeterminados.

Suponiendo, por el momento, que y son ambos distintos de cero, se tiene ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).}$

Denotar esta cantidad por uno tiene ${\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A),}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),}$

y

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).}$

Debido a estas propiedades, la cantidad se llama discriminante o discriminante homogénea de A. ${\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A)}$

Si se permite que y sean cero, los polinomios A ( x , 1) y A (1, y ) pueden tener un grado menor que n . En este caso, las fórmulas y la definición anteriores siguen siendo válidas si los discriminantes se calculan como si todos los polinomios tuvieran el grado n . Esto significa que los discriminantes deben calcularse con e indeterminados, realizándose la sustitución de sus valores reales después de este cálculo. De manera equivalente, se deben utilizar las fórmulas de § Invarianza bajo homomorfismos de anillo. ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Uso en geometría algebraica

El uso típico de discriminantes en geometría algebraica es para estudiar curvas algebraicas planas y, más generalmente, hipersuperficies algebraicas . Sea V dicha curva o hipersuperficie; V se define como el conjunto cero de un polinomio multivariado . Este polinomio puede considerarse como un polinomio univariado en uno de los indeterminados, con polinomios en los otros indeterminados como coeficientes. El discriminante con respecto al indeterminado seleccionado define una hipersuperficie W en el espacio de los otros indeterminados. Los puntos de W son exactamente la proyección de los puntos de V (incluidos los puntos en el infinito ), que son singulares o tienen un hiperplano tangente paralelo al eje del indeterminado seleccionado.

Por ejemplo, sea f un polinomio bivariado en X e Y con coeficientes reales, de modo que  f  = 0 es la ecuación implícita de una curva algebraica plana real . Viendo f como un polinomio univariado en Y con coeficientes dependientes de X , entonces el discriminante es un polinomio en X cuyas raíces son las coordenadas X de los puntos singulares, de los puntos con tangente paralela al eje Y y de algunos de las asíntotas paralelas al eje Y. En otras palabras, el cálculo de las raíces del discriminante Y y del discriminante X permite calcular todos los puntos notables de la curva, excepto los puntos de inflexión .

Generalizaciones

Hay dos clases del concepto de discriminante. La primera clase es el discriminante de un campo numérico algebraico , que, en algunos casos incluye campos cuadráticos , es el discriminante de un polinomio que define el campo.

Los discriminantes de la segunda clase surgen para problemas que dependen de coeficientes, cuando casos degenerados o singularidades del problema se caracterizan por la desaparición de un solo polinomio en los coeficientes. Este es el caso del discriminante de un polinomio, que es cero cuando dos raíces colapsan. La mayoría de los casos en los que se define un discriminante tan generalizado son ejemplos de lo siguiente.

Sea A un polinomio homogéneo en n indeterminados sobre un cuerpo de característica 0, o de una característica prima que no divide el grado del polinomio. El polinomio A define una hipersuperficie proyectiva , que tiene puntos singulares si y sólo las n derivadas parciales de A tienen un cero común no trivial . Este es el caso si y sólo si la resultante multivariada de estas derivadas parciales es cero, y esta resultante puede considerarse como el discriminante de A. Sin embargo, debido a los coeficientes enteros resultantes de la derivación, esta resultante multivariada puede ser divisible por una potencia de n , y es mejor tomar, como discriminante, la parte primitiva de la resultante, calculada con coeficientes genéricos. La restricción de la característica es necesaria porque de lo contrario un cero común de la derivada parcial no es necesariamente un cero del polinomio (ver Identidad de Euler para polinomios homogéneos ).

En el caso de un polinomio bivariado homogéneo de grado d , este discriminante general es multiplicado por el discriminante definido en § Polinomio bivariado homogéneo. En las siguientes secciones se describen varios otros tipos clásicos de discriminantes, que son ejemplos de la definición general. ${\displaystyle d^{d-2}}$

formas cuadráticas

Una forma cuadrática es una función sobre un espacio vectorial , que está definida sobre alguna base por un polinomio homogéneo de grado 2:

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

o, en forma matricial,

${\displaystyle Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },}$

para la matriz simétrica , el vector fila y el vector columna . En característica diferente a 2, ^[10] el discriminante o determinante de Q es el determinante de A. ^[11] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle X=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {T} }}$

El determinante hessiano de Q es multiplicado por su discriminante. La resultante multivariada de las derivadas parciales de Q es igual a su determinante hessiano. Entonces, el discriminante de forma cuadrática es un caso especial de la definición general anterior de discriminante. ${\displaystyle 2^{n}}$

El discriminante de una forma cuadrática es invariante ante cambios lineales de variables (es decir, un cambio de base del espacio vectorial en el que se define la forma cuadrática) en el siguiente sentido: un cambio lineal de variables está definido por una matriz no singular S , cambia la matriz A y así multiplica el discriminante por el cuadrado del determinante de S . Así, el discriminante está bien definido sólo hasta la multiplicación por un cuadrado. En otras palabras, el discriminante de una forma cuadrática sobre un campo K es un elemento de K /( K ^× ) ² , el cociente del monoide multiplicativo de K por el subgrupo de los cuadrados distintos de cero (es decir, dos elementos de K son en la misma clase de equivalencia si uno es producto del otro por un cuadrado distinto de cero). De ello se deduce que en los números complejos , un discriminante es equivalente a 0 o 1. En los números reales , un discriminante es equivalente a −1, 0 o 1. En los números racionales , un discriminante es equivalente a un único cuadrado libre entero . ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S,}$

Por un teorema de Jacobi , una forma cuadrática sobre un campo de característica diferente de 2 se puede expresar, después de un cambio lineal de variables, en forma diagonal como

${\displaystyle a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

Más precisamente, una forma cuadrática se puede expresar como una suma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}}$

donde L _i son formas lineales independientes y n es el número de variables (algunas de a _i pueden ser cero). De manera equivalente, para cualquier matriz simétrica A , existe una matriz elemental S tal que es una matriz diagonal . Entonces el discriminante es el producto de a i _, que está bien definido como una clase en K /( K ^× ) ² . ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S}$

Geométricamente, el discriminante de una forma cuadrática en tres variables es la ecuación de una curva proyectiva cuadrática . El discriminante es cero si y sólo si la curva se descompone en líneas (posiblemente sobre una extensión algebraicamente cerrada del campo).

Una forma cuadrática en cuatro variables es la ecuación de una superficie proyectiva . La superficie tiene un punto singular si y sólo su discriminante es cero. En este caso, o la superficie puede estar descompuesta en planos, o tiene un único punto singular, y es un cono o un cilindro . Sobre los reales, si el discriminante es positivo, entonces la superficie no tiene un punto real o tiene en todas partes una curvatura gaussiana negativa . Si el discriminante es negativo, la superficie tiene puntos reales y tiene una curvatura gaussiana negativa.

Secciones cónicas

Una sección cónica es una curva plana definida por una ecuación implícita de la forma

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,}$

donde a , b , c , d , e , f son números reales.

A una sección cónica se le pueden asociar dos formas cuadráticas y, por tanto, dos discriminantes.

La primera forma cuadrática es

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.}$

Su discriminante es el determinante.

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.}$

Es cero si la sección cónica degenera en dos rectas, una recta doble o un solo punto.

El segundo discriminante, que es el único que se considera en muchos libros de texto de primaria, es el discriminante de la parte homogénea de grado dos de la ecuación. Es igual a ^[12]

${\displaystyle b^{2}-ac,}$

y determina la forma de la sección cónica. Si este discriminante es negativo, la curva o no tiene puntos reales, o es una elipse o un círculo , o, si se degenera, se reduce a un solo punto. Si el discriminante es cero, la curva es una parábola o, si está degenerada, una recta doble o dos rectas paralelas. Si el discriminante es positivo, la curva es una hipérbola o, si está degenerada, un par de líneas que se cruzan.

Superficies cuádricas reales

Una superficie cuádrica real en el espacio euclidiano de dimensión tres es una superficie que puede definirse como los ceros de un polinomio de grado dos en tres variables. En cuanto a las secciones cónicas, existen dos discriminantes que pueden definirse naturalmente. Ambos son útiles para obtener información sobre la naturaleza de una superficie cuádrica.

Sea un polinomio de grado dos en tres variables que define una superficie cuádrica real. La primera forma cuadrática asociada, depende de cuatro variables, y se obtiene homogeneizando P ; eso es ${\displaystyle P(x,y,z)}$ ${\displaystyle Q_{4},}$

${\displaystyle Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).}$

Denotemos su discriminante por ${\displaystyle \Delta _{4}.}$

La segunda forma cuadrática, depende de tres variables, y consta de los términos de grado dos de P ; eso es ${\displaystyle Q_{3},}$

${\displaystyle Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).}$

Denotemos su discriminante por ${\displaystyle \Delta _{3}.}$

Si y la superficie tiene puntos reales, es un paraboloide hiperbólico o un hiperboloide de una hoja . En ambos casos, se trata de una superficie reglada que tiene una curvatura gaussiana negativa en cada punto. ${\displaystyle \Delta _{4}>0,}$

Si la superficie es un elipsoide o un hiperboloide de dos hojas o un paraboloide elíptico . En todos los casos, tiene una curvatura gaussiana positiva en cada punto. ${\displaystyle \Delta _{4}<0,}$

Si la superficie tiene un punto singular , posiblemente en el infinito . Si sólo hay un punto singular, la superficie es un cilindro o un cono . Si hay varios puntos singulares la superficie consta de dos planos, un plano doble o una sola línea. ${\displaystyle \Delta _{4}=0,}$

Cuando el signo de si no es 0, no proporciona ninguna información útil, ya que cambiar P a − P no cambia la superficie, pero cambia el signo de Sin embargo, si y la superficie es un paraboloide , que es elíptico o hiperbólico, dependiendo de el signo de ${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0,}$ ${\displaystyle \Delta _{3},}$ ${\displaystyle \Delta _{3}.}$ ${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0}$ ${\displaystyle \Delta _{3}=0,}$ ${\displaystyle \Delta _{4}.}$

Discriminante de un campo numérico algebraico

El discriminante de un campo numérico algebraico mide el tamaño del ( anillo de números enteros del) campo numérico algebraico.

Más concretamente, es proporcional al volumen al cuadrado del dominio fundamental del anillo de los números enteros , y regula qué primos se ramifican .

El discriminante es uno de los invariantes más básicos de un campo numérico y aparece en varias fórmulas analíticas importantes , como la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K y la fórmula numérica de clase analítica para K. Un teorema de Hermite establece que sólo hay un número finito de campos de discriminante acotado; sin embargo, determinar esta cantidad sigue siendo un problema abierto y el tema de la investigación actual. ^[13]

Sea K un campo numérico algebraico y sea O _K su anillo de números enteros . Sea b ₁ , ..., b _n una base integral de O _K (es decir, una base como un módulo Z ), y sea {σ ₁ , ..., σ _n } el conjunto de incorporaciones de K en el números complejos (es decir, homomorfismos de anillo inyectivos K  →  C ). El discriminante de K es el cuadrado del determinante de la matriz B de n por n cuya entrada ( i , j ) es σ _i ( b _j ). Simbólicamente,

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

El discriminante de K puede denominarse discriminante absoluto de K para distinguirlo de una extensión K / L de campos numéricos. Este último es un ideal en el anillo de los números enteros de L , y al igual que el discriminante absoluto indica qué primos están ramificados en K / L . Es una generalización del discriminante absoluto que permite que L sea mayor que Q ; de hecho, cuando L  =  Q , el discriminante relativo de K / Q es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto de K.

Discriminadores fundamentales

Un tipo específico de discriminante útil en el estudio de campos cuadráticos es el discriminante fundamental. Surge en la teoría de las formas cuadráticas binarias integrales , que son expresiones de la forma:

$${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$$

donde , y son números enteros. El discriminante de está dado por: ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle Q(x,y)}$

$${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$$

${\textstyle D}$

• Caso 1: es congruente con 1 módulo 4 ( ) y no tiene cuadrados, es decir, no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. ${\textstyle D}$ ${\textstyle D\equiv 1{\pmod {4}}}$
• Caso 2: es igual a cuatro veces un número entero ( ) donde es congruente con 2 o 3 módulo 4 ( ) y no tiene cuadrados. ${\textstyle D}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle D=4m}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle m\equiv 2,3{\pmod {4}}}$

Estas condiciones aseguran que cada discriminante fundamental corresponda únicamente a un tipo específico de forma cuadrática.

Los primeros once discriminantes fundamentales positivos son:

1 , 5 , 8 , 12 , 13 , 17 , 21 , 24 , 28 , 29 , 33 (secuencia A003658 en el OEIS ).

Los primeros once discriminantes fundamentales negativos son:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (secuencia A003657 en el OEIS ).

Campos de números cuadráticos

Un campo cuadrático es una extensión de campo de los números racionales que tiene grado 2. El discriminante de un campo cuadrático juega un papel análogo al discriminante de una forma cuadrática. ${\textstyle \mathbb {Q} }$

Existe una conexión fundamental: un número entero es un discriminante fundamental si y sólo si: ${\textstyle D_{0}}$

• ${\textstyle D_{0}=1}$, o
• ${\textstyle D_{0}}$es el discriminante de un campo cuadrático.

Para cada discriminante fundamental , existe un campo cuadrático único (hasta el isomorfismo) que tiene como discriminante. Esto conecta la teoría de formas cuadráticas y el estudio de campos cuadráticos. ${\textstyle D_{0}\neq 1}$ ${\textstyle D_{0}}$

factorización prima

Los discriminantes fundamentales también se pueden caracterizar por su factorización prima. Considere el conjunto formado por números primos congruentes con 1 módulo 4 (positivo) y números primos congruentes con 3 módulo 4 (negativo): ${\textstyle S}$

$${\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,...\}}$$

${\textstyle D_{0}\neq 1}$ ${\textstyle S}$

Referencias

1. "Discriminante | matemáticas". Enciclopedia Británica . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
2. Sylvester, JJ (1851). "Sobre un descubrimiento notable en la teoría de las formas canónicas y de los hiperdeterminantes". Revista Filosófica . 4ta serie. 2 : 391–410.
   Sylvester acuña la palabra "discriminante" en la página 406.
3. Wang, Dongming (2004). Práctica de eliminación: herramientas y aplicaciones de software. Prensa del Colegio Imperial . cap. 10p. 180.ISBN​ 1-86094-438-8.
4. Gelfand, Israel M .; Kapranov, Mikhail M .; Zelevinsky, Andrei V. (1994). Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales. Birkhäuser . pag. 1.ISBN​ 3-7643-3660-9. Archivado desde el original el 13 de enero de 2013.
5. Dickenstein, Alicia ; Emiris, Ioannis Z. (2005). Resolución de ecuaciones polinómicas: fundamentos, algoritmos y aplicaciones. Saltador . cap. 1 pág. 26.ISBN​ 3-540-24326-7.
6. Irving, Ronald S. (2004). Números enteros, polinomios y anillos. Springer-Verlag Nueva York, Inc. cap. 10,3 págs. 153-154. ISBN 0-387-40397-3.
7. "Discriminante cúbico | Wiki brillante de matemáticas y ciencias" . Consultado el 21 de marzo de 2023 .
8. "Discriminante de una ecuación cúbica" . Consultado el 21 de marzo de 2023 .
9. Irving, Ronald S. (2004). Números enteros, polinomios y anillos. Springer-Verlag Nueva York, Inc. cap. 10 ej. 10.14.4 y 10.17.4, págs. 154-156. ISBN 0-387-40397-3.
10. En la característica 2, el discriminante de forma cuadrática no está definido y se reemplaza por el invariante Arf .
11. Cassels, JWS (1978). Formas cuadráticas racionales . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 13. Prensa Académica . pag. 6.ISBN​ 0-12-163260-1. Zbl  0395.10029.
12. Fanchi, John R. (2006). Actualización de matemáticas para científicos e ingenieros. John Wiley e hijos. segundo. 3.2, pág. 45.ISBN​ 0-471-75715-2.
13. Cohen, Enrique ; Díaz y Díaz, Francisco; Olivier, Michel (2002), "A Survey of Discriminant Counting", en Fieker, Claus; Kohel, David R. (eds.), Teoría algorítmica de números, Actas, 5º Simposio Internacional, ANTS-V, Universidad de Sydney, julio de 2002 , Lecture Notes in Computer Science, vol. 2369, Berlín: Springer-Verlag, págs. 80–94, doi :10.1007/3-540-45455-1_7, ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN  0302-9743, SEÑOR  2041075

enlaces externos

• Wolfram Mathworld: Discriminante polinomial
• Planetmath: discriminante