Polinomio irreducible

Polinomio sin factorización no trivial

En matemáticas , un polinomio irreducible es, en términos generales, un polinomio que no puede factorizarse en el producto de dos polinomios no constantes . La propiedad de irreductibilidad depende de la naturaleza de los coeficientes que se aceptan para los factores posibles, es decir, del campo al que se supone que pertenecen los coeficientes del polinomio y sus posibles factores. Por ejemplo, el polinomio x ² − 2 es un polinomio con coeficientes enteros , pero, como todo número entero también es un número real , también es un polinomio con coeficientes reales. Es irreducible si se considera como un polinomio con coeficientes enteros, pero se factoriza como si se considera como un polinomio con coeficientes reales. Se dice que el polinomio x ² − 2 es irreducible sobre los números enteros pero no sobre los reales. ${\displaystyle \left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)}$

La irreducibilidad polinomial se puede considerar para polinomios con coeficientes en un dominio integral , y existen dos definiciones comunes. Muy a menudo, se dice que un polinomio sobre un dominio integral R es irreducible si no es el producto de dos polinomios que tienen sus coeficientes en R y que no son unidades en R. De manera equivalente, para esta definición, un polinomio irreducible es un elemento irreducible en los anillos de polinomios sobre R. Si R es un campo, las dos definiciones de irreductibilidad son equivalentes. Para la segunda definición, un polinomio es irreducible si no se puede factorizar en polinomios con coeficientes en el mismo dominio que tengan un grado positivo. De manera equivalente, un polinomio es irreducible si es irreducible en el campo de fracciones del dominio integral. Por ejemplo, el polinomio es irreducible para la segunda definición y no para la primera. Por otro lado, es irreducible en las dos definiciones, mientras que es reducible en ${\displaystyle 2(x^{2}-2)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle x^{2}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x].}$

Un polinomio que es irreducible sobre cualquier campo que contenga los coeficientes es absolutamente irreducible . Según el teorema fundamental del álgebra , un polinomio univariado es absolutamente irreducible si y sólo si su grado es uno. En cambio, con varios indeterminados , existen polinomios absolutamente irreducibles de cualquier grado, como por ejemplo para cualquier entero positivo n . ${\displaystyle x^{2}+y^{n}-1,}$

A veces se dice que un polinomio que no es irreducible es un polinomio reducible . ^{[1] [2]}

Los polinomios irreducibles aparecen naturalmente en el estudio de la factorización polinomial y las extensiones de campos algebraicos .

Es útil comparar polinomios irreducibles con números primos : los números primos (junto con los correspondientes números negativos de igual magnitud) son los números enteros irreducibles . Exhiben muchas de las propiedades generales del concepto de "irreducibilidad" que se aplican igualmente a los polinomios irreducibles, como la factorización esencialmente única en factores primos o irreducibles. Cuando el anillo de coeficientes es un campo u otro dominio de factorización único , un polinomio irreducible también se llama polinomio primo , porque genera un ideal primo .

Definición

Si F es un cuerpo, un polinomio no constante es irreducible sobre F si sus coeficientes pertenecen a F y no se puede factorizar en el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes en F.

A veces se dice que un polinomio con coeficientes enteros, o, más generalmente, con coeficientes en un dominio de factorización único R , es irreducible (o irreducible sobre R ) si es un elemento irreducible del anillo polinómico , es decir, no es invertible. , no cero, y no se puede factorizar en el producto de dos polinomios no invertibles con coeficientes en R . Esta definición generaliza la definición dada para el caso de coeficientes en un campo, porque, sobre un campo, los polinomios no constantes son exactamente los polinomios que no son invertibles y distintos de cero.

Con frecuencia se usa otra definición, que dice que un polinomio es irreducible sobre R si es irreducible sobre el cuerpo de fracciones de R (el campo de los números racionales , si R son los números enteros). Esta segunda definición no se utiliza en este artículo. La equivalencia de las dos definiciones depende de R .

Ejemplos simples

Los siguientes seis polinomios demuestran algunas propiedades elementales de los polinomios reducibles e irreducibles:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}\end{aligned}}}$

Sobre los números enteros , los primeros tres polinomios son reducibles (el tercero es reducible porque el factor 3 no es invertible en los números enteros); los dos últimos son irreductibles. (El cuarto, por supuesto, no es un polinomio sobre números enteros).

Sobre los números racionales , los dos primeros y el cuarto polinomios son reducibles, pero los otros tres polinomios son irreducibles (como polinomio sobre los racionales, 3 es una unidad y, por lo tanto, no cuenta como factor).

Sobre los números reales , los primeros cinco polinomios son reducibles, pero son irreducibles. ${\displaystyle p_{6}(x)}$

En números complejos , los seis polinomios son reducibles.

Sobre los números complejos

Sobre el cuerpo complejo y, más generalmente, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , un polinomio univariante es irreducible si y sólo si su grado es uno. Este hecho se conoce como teorema fundamental del álgebra en el caso de los números complejos y, en general, como condición de ser algebraicamente cerrado.

De ello se deduce que todo polinomio univariado no constante se puede factorizar como

${\displaystyle a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)}$

donde está el grado, es el coeficiente principal y son los ceros del polinomio (no necesariamente distintos y no necesariamente con expresiones algebraicas explícitas ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$

Existen polinomios multivariados irreducibles de todos los grados sobre los números complejos. Por ejemplo, el polinomio

${\displaystyle x^{n}+y^{n}-1,}$

que define una curva de Fermat , es irreducible para todo n positivo .

sobre los reales

Sobre el campo de los reales , el grado de un polinomio univariado irreducible es uno o dos. Más precisamente, los polinomios irreducibles son los polinomios de grado uno y los polinomios cuadráticos que tienen un discriminante negativo . De ello se deduce que todo polinomio univariado no constante puede factorizarse como producto de polinomios de grado dos como máximo. Por ejemplo, se factorizan sobre los números reales as y no se pueden factorizar más, ya que ambos factores tienen un discriminante negativo: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac.}$ ${\displaystyle x^{4}+1}$ ${\displaystyle \left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),}$ ${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0.}$

Propiedad de factorización única

Cada polinomio sobre un campo F puede factorizarse en un producto de una constante distinta de cero y un número finito de polinomios irreducibles (sobre F ). Esta descomposición es única hasta el orden de los factores y la multiplicación de los factores por constantes distintas de cero cuyo producto es 1.

Para un dominio de factorización único, el mismo teorema es cierto, pero se formula con mayor precisión utilizando la noción de polinomio primitivo. Un polinomio primitivo es un polinomio sobre un dominio de factorización único, tal que 1 es el máximo común divisor de sus coeficientes.

Sea F un dominio de factorización único. Un polinomio irreducible no constante sobre F es primitivo. Un polinomio primitivo sobre F es irreducible sobre F si y sólo si es irreducible sobre el cuerpo de fracciones de F. Cada polinomio sobre F puede descomponerse en el producto de una constante distinta de cero y un número finito de polinomios primitivos irreducibles no constantes. La constante distinta de cero puede descomponerse en el producto de una unidad de F y un número finito de elementos irreducibles de F. Ambas factorizaciones son únicas hasta el orden de los factores y la multiplicación de los factores por una unidad de F.

Este es este teorema que motiva que la definición de polinomio irreducible sobre un dominio de factorización único a menudo supone que el polinomio no es constante.

Todos los algoritmos que se implementan actualmente para factorizar polinomios sobre números enteros y sobre números racionales utilizan este resultado (ver Factorización de polinomios ).

Sobre los números enteros y campos finitos.

La irreductibilidad de un polinomio sobre los números enteros está relacionada con la del cuerpo de elementos (para un primo ). En particular, si un polinomio univariado f over es irreducible sobre algún primo que no divide el coeficiente principal de f (el coeficiente de la potencia más alta de la variable), entonces f es irreducible sobre (es decir, no es el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros). El criterio de Eisenstein es una variante de esta propiedad en la que también interviene la irreductibilidad . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p^{2}}$

Sin embargo, lo contrario no es cierto: hay polinomios de grado arbitrariamente grande que son irreducibles sobre los números enteros y reducibles sobre todo cuerpo finito. ^[3] Un ejemplo simple de tal polinomio es ${\displaystyle x^{4}+1.}$

La relación entre irreductibilidad sobre números enteros e irreductibilidad módulo p es más profunda que el resultado anterior: hasta la fecha, todos los algoritmos implementados para factorización e irreductibilidad sobre números enteros y sobre números racionales utilizan la factorización sobre campos finitos como subrutina .

El número de polinomios mónicos irreducibles de grado n sobre un campo para q una potencia prima viene dado por ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},}$

donde μ es la función de Möbius . Para q = 2 , estos polinomios se utilizan comúnmente para generar secuencias binarias pseudoaleatorias .

En cierto sentido, casi todos los polinomios con coeficientes cero o uno son irreducibles sobre los números enteros. Más precisamente, si se supone una versión de la hipótesis de Riemann para las funciones zeta de Dedekind , la probabilidad de ser irreducible sobre los números enteros para un polinomio con coeficientes aleatorios en {0, 1} tiende a uno cuando aumenta el grado. ^{[6] [7]}

Algoritmos

La propiedad única de factorización de los polinomios no significa que siempre se pueda calcular la factorización de un polinomio dado. Incluso la irreducibilidad de un polinomio no siempre puede demostrarse mediante un cálculo: hay campos sobre los cuales no puede existir ningún algoritmo para decidir la irreductibilidad de polinomios arbitrarios. ^[8]

Los algoritmos para factorizar polinomios y decidir la irreducibilidad se conocen e implementan en sistemas de álgebra informática para polinomios sobre números enteros, números racionales, campos finitos y extensiones de campo finitamente generadas de estos campos. Todos estos algoritmos utilizan algoritmos de factorización de polinomios sobre cuerpos finitos .

Extensión de campo

Las nociones de polinomio irreducible y de extensión de campo algebraico están fuertemente relacionadas, de la siguiente manera.

Sea x un elemento de una extensión L de un campo K . Se dice que este elemento es algebraico si es raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes en K. Entre los polinomios de los cuales x es raíz, hay exactamente uno que es mónico y de grado mínimo, llamado polinomio mínimo de x . El polinomio mínimo de un elemento algebraico x de L es irreducible y es el único polinomio mónico irreducible del cual x es raíz. El polinomio mínimo de x divide todo polinomio que tiene x como raíz (este es el teorema de irreductibilidad de Abel ).

Por el contrario, si es un polinomio univariado sobre un campo K , sea el anillo cociente del anillo polinómico por el ideal generado por P . Entonces L es un campo si y sólo si P es irreducible sobre K. En este caso, si x es la imagen de X en L , el polinomio mínimo de x es el cociente de P por su coeficiente principal . ${\displaystyle P(X)\in K[X]}$ ${\displaystyle L=K[X]/P(X)}$ ${\displaystyle K[X]}$

Un ejemplo de lo anterior es la definición estándar de los números complejos como ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]\;/\left(X^{2}+1\right).}$

Si un polinomio P tiene un factor irreducible Q sobre K , que tiene un grado mayor que uno, se puede aplicar a Q la construcción anterior de una extensión algebraica, para obtener una extensión en la que P tenga al menos una raíz más que en K. Al iterar esta construcción, finalmente se obtiene un campo sobre el cual P factoriza factores lineales. Este campo, único hasta un isomorfismo de campo , se llama campo de división de P.

Sobre un dominio integral

Si R es un dominio integral , un elemento f de R que no es ni cero ni una unidad se llama irreducible si no hay unidades g y h con f = gh . Se puede demostrar que todo elemento primo es irreducible; ^[9] lo contrario no es cierto en general, pero se cumple en dominios de factorización únicos . El anillo polinómico F [ x ] sobre un campo F (o cualquier dominio de factorización único) es nuevamente un dominio de factorización único. Inductivamente, esto significa que el anillo polinomial en n indeterminados (sobre un anillo R ) es un dominio de factorización único si lo mismo es cierto para R.

Ver también

• Lema de Gauss (polinomio)
• Teorema de la raíz racional , un método para encontrar si un polinomio tiene un factor lineal con coeficientes racionales
• El criterio de Eisenstein.
• Criterio de irreductibilidad de Perron
• Teorema de irreductibilidad de Hilbert
• Criterio de irreductibilidad de Cohn
• Componente irreducible de un espacio topológico.
• Factorización de polinomios sobre cuerpos finitos
• Función cuártica § Cuárticas reducibles
• Función cúbica § Factorización
• Casus irreducibilis , la cúbica irreducible de tres raíces reales
• Ecuación cuadrática § Factorización cuadrática

Notas

1. Galliano 2012, pag. 311
2. Mac Lane y Birkhoff 1999 no definen explícitamente "reducible", pero lo utilizan en varios lugares. Por ejemplo: "Por el momento, sólo observamos que cualquier polinomio cuadrático o cúbico reducible debe tener un factor lineal". (pág. 268).
3. David tonto; Richard Foote (2004). "cap. 9, Proposición 12". Álgebra abstracta . Wiley. pag. 309.ISBN _ 0-471-43334-9.
4. Jacobson, Nathan (1985). "4.13 Campos finitos". Álgebra básica I (PDF) . Nueva York: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.
5. Chebolu, Sunil; Mináč, Ján (2011). "Contar polinomios irreducibles sobre campos finitos utilizando el principio de inclusión-exclusión" (PDF) . Revista Matemáticas . 84 (5): 369–371. doi : 10.4169/math.mag.84.5.369 . Consultado el 3 de abril de 2023 .
6. Breuillard, Emmanuel; Varjú, Péter P. (2018). "Irreductibilidad de polinomios aleatorios de gran grado". Acta Matemática . 223 (2): 195–249. arXiv : 1810.13360 . doi :10.4310/ACTA.2019.v223.n2.a1. S2CID  119173838.
7. Hartnett, Kevin. "En el universo de las ecuaciones, prácticamente todas son primas". Revista Quanta . Consultado el 13 de enero de 2019 .
8. Fröhlich, A.; Shepherson, JC (1955), "Sobre la factorización de polinomios en un número finito de pasos", Mathematische Zeitschrift , 62 (1): 331–4, doi :10.1007/BF01180640, ISSN  0025-5874, S2CID  119955899
9. Considere p un primo que es reducible: p = ab . Entonces p | ab ⇒ p | a o p | b . Di p | a ⇒ a = pc , entonces tenemos: p = ab = pcb ⇒ p (1 − cb ) = 0. Como R es un dominio, tenemos cb = 1. Entonces b es una unidad y p es irreducible.

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, señor  1878556. Este libro clásico cubre la mayor parte del contenido de este artículo.
• Gallian, Joseph (2012), Álgebra abstracta contemporánea (8ª ed.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Campos finitos (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39231-0, págs.91.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (3.ª ed.), Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 9780821816462
• Menezes, Alfred J .; Van Oorschot, Paul C .; Vanstone, Scott A. (1997), Manual de criptografía aplicada , CRC Press , ISBN 978-0-8493-8523-0, págs.154.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Polinomio irreducible". MundoMatemático .
• polinomio irreducible en PlanetMath .
• Información sobre polinomios primitivos e irreducibles, el servidor de objetos (combinatorio).