Teorema de irreducibilidad de Abel

Resultado de la teoría de campos

En matemáticas , el teorema de irreducibilidad de Abel , un resultado de la teoría de campos descrito en 1829 por Niels Henrik Abel , ^[1] afirma que si ƒ ( x ) es un polinomio sobre un campo F que comparte una raíz con un polinomio g ( x ) que es irreducible sobre  F , entonces cada raíz de g ( x ) es una raíz de ƒ ( x ). De manera equivalente, si ƒ ( x ) comparte al menos una raíz con g ( x ) entonces ƒ es divisible de manera exacta por g ( x ), lo que significa que ƒ ( x ) puede factorizarse como g ( x ) h ( x ) con h ( x ) también teniendo coeficientes en  F . ^{[2] [3]}

Los corolarios del teorema incluyen: ^[2]

• Si ƒ ( x ) es irreducible, no existe ningún polinomio de grado inferior (excepto el polinomio cero ) que comparta raíz con él. Por ejemplo, x ²  − 2 es irreducible sobre los números racionales y tiene como raíz; por lo tanto, no existe ningún polinomio lineal o constante sobre los racionales que tienen como raíz. Además, no existe ningún polinomio del mismo grado que comparta raíces con ƒ ( x ), excepto los múltiplos constantes de ƒ ( x ). ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Si ƒ ( x ) ≠  g ( x ) son dos polinomios mónicos irreducibles diferentes , entonces no comparten raíces.

Referencias

1. Abel, NH (1829), "Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement" [Nota sobre una clase particular de ecuaciones que se pueden resolver algebraicamente], Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1829 (4): 131-156, doi :10.1515/crll.1829.4.131, S2CID  121388045.
2. Dörrie, Heinrich (1965), 100 grandes problemas de matemáticas elementales: su historia y solución, Courier Dover Publications, pág. 120, ISBN 9780486613482.
3. Este teorema, para polinomios mínimos en lugar de polinomios irreducibles en general, es el Lema 4.1.3 de Cox (2012). Los polinomios irreducibles, divididos por su coeficiente principal, son mínimos para sus raíces (Proposición 4.1.5 de Cox), y todos los polinomios mínimos son irreducibles, por lo que la formulación de Cox es equivalente a la de Abel. Cox, David A. (2012), Teoría de Galois , Matemáticas puras y aplicadas (2.ª ed.), John Wiley & Sons, doi :10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.

Enlaces externos

• Larry Freeman. Blog sobre el último teorema de Fermat: Los lemas de Abel sobre la irreducibilidad. 4 de septiembre de 2008.
• Weisstein, Eric W. "Teorema de irreducibilidad de Abel". MathWorld .