En matemáticas , una extensión algebraica es una extensión de campo L / K tal que cada elemento del campo más grande L es algebraico sobre el campo más pequeño K ; es decir, cada elemento de L es raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes en K. [1] [2] Una extensión de campo que no es algebraica, se dice que es trascendental , y debe contener elementos trascendentales , es decir, elementos que no son algebraicos. [3] [4]
Las extensiones algebraicas del campo de los números racionales se denominan campos de números algebraicos y son los principales objetos de estudio de la teoría algebraica de números . Otro ejemplo de extensión algebraica común es la extensión de los números reales por los números complejos .
Todas las extensiones trascendentales son de grado infinito . Esto a su vez implica que todas las extensiones finitas son algebraicas. [5] Sin embargo, lo contrario no es cierto: hay infinitas extensiones que son algebraicas. [6] Por ejemplo, el cuerpo de todos los números algebraicos es una extensión algebraica infinita de los números racionales. [7]
Sea E un campo de extensión de K y a ∈ E . El subcampo más pequeño de E que contiene K y a se denota comúnmente. Si a es algebraico sobre K , entonces los elementos de K ( a ) se pueden expresar como polinomios en a con coeficientes en K ; es decir, K ( a ) es también el anillo más pequeño que contiene K y a . En este caso, es una extensión finita de K (es un espacio vectorial K de dimensión finita ), y todos sus elementos son algebraicos sobre K. [8] Estas propiedades no se cumplen si a no es algebraico. Por ejemplo, y ambos son espacios vectoriales de dimensión infinita sobre [9]
Un campo algebraicamente cerrado F no tiene extensiones algebraicas adecuadas, es decir, no hay extensiones algebraicas E con F < E . [10] Un ejemplo es el campo de los números complejos. Cada campo tiene una extensión algebraica que es algebraicamente cerrada (llamada clausura algebraica ), pero demostrar esto en general requiere alguna forma del axioma de elección . [11]
Una extensión L / K es algebraica si y sólo si cada sub K - álgebra de L es un campo.
Se mantienen las siguientes tres propiedades: [12]
Estos resultados finitos se pueden generalizar mediante inducción transfinita:
Este hecho, junto con el lema de Zorn (aplicado a un poset adecuadamente elegido ), establece la existencia de clausuras algebraicas .
La teoría de modelos generaliza la noción de extensión algebraica a teorías arbitrarias: una incorporación de M en N se llama extensión algebraica si para cada x en N hay una fórmula p con parámetros en M , tal que p ( x ) es verdadera y el conjunto
es finito. Resulta que aplicar esta definición a la teoría de campos da la definición habitual de extensión algebraica. El grupo de Galois de N sobre M puede definirse nuevamente como el grupo de automorfismos , y resulta que la mayor parte de la teoría de los grupos de Galois puede desarrollarse para el caso general.
Dado un campo k y un campo K que contiene k , se define la clausura algebraica relativa de k en K como el subcampo de K que consta de todos los elementos de K que son algebraicos sobre k , es decir, todos los elementos de K que son raíz de algún polinomio distinto de cero con coeficientes en k .
![{\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )\neq \mathbb {Q} [\pi ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998f8b50a205ed25efa7f76bd869fc06efa9f72b)
