teorema de luroth

En matemáticas , el teorema de Lüroth afirma que todo campo que se encuentra entre un campo K y el campo de función racional K ( X ) debe generarse como una extensión de K por un solo elemento de K ( X ). Este resultado lleva el nombre de Jacob Lüroth , quien lo demostró en 1876. ^[1]

Declaración

Sea un campo y sea un campo intermedio entre y , para algún X indeterminado . Entonces existe una función racional tal que . En otras palabras, toda extensión intermedia entre y es una extensión simple . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle f(X)\in K(X)}$ ${\displaystyle M=K(f(X))}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(X)}$

Pruebas

La demostración del teorema de Lüroth puede derivarse fácilmente de la teoría de las curvas racionales , utilizando el género geométrico . ^[2] Este método no es elemental, pero desde hace tiempo se conocen varias pruebas breves que utilizan únicamente los conceptos básicos de la teoría de campos , principalmente utilizando el concepto de grado de trascendencia . ^[3] Muchas de estas demostraciones simples utilizan el lema de Gauss sobre polinomios primitivos como paso principal. ^[4]

Referencias

1. Burau, Werner (2008), "Lueroth (o Lüroth), Jakob", Diccionario completo de biografía científica
2. Cohn, PM (1991), Números algebraicos y funciones algebraicas, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, vol. 4, Prensa CRC, pág. 148, ISBN 9780412361906.
3. Lang, Serge (2002). "Capítulo VIII.1 Bases de la trascendencia". Álgebra. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 211 (3ª ed.). Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. pag. 355. doi :10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1.
4. Por ejemplo, consulte este documento o Mines, Ray; Richman, Fred (1988), Un curso de álgebra constructiva, Universitext, Springer, p. 148, ISBN 9780387966403.