cierre algebraico

Extensión de campo algebraico

En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un cierre algebraico de un campo K es una extensión algebraica de K que es algebraicamente cerrado . Es uno de los muchos cierres en matemáticas.

Usando el lema de Zorn ^{[1] [2] [3]} o el lema del ultrafiltro más débil , ^{[4] [5]} se puede demostrar que todo campo tiene una clausura algebraica, y que la clausura algebraica de un campo K es única hasta un isomorfismo que fija cada miembro de K . Debido a esta unicidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de K , en lugar de una clausura algebraica de K.

La clausura algebraica de un campo K puede considerarse como la mayor extensión algebraica de K. Para ver esto, tenga en cuenta que si L es cualquier extensión algebraica de K , entonces la clausura algebraica de L también es una clausura algebraica de K , por lo que L está contenida dentro de la clausura algebraica de K. La clausura algebraica de K es también el campo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene K , porque si M es cualquier campo algebraicamente cerrado que contiene K , entonces los elementos de M que son algebraicos sobre K forman una clausura algebraica de K.

La clausura algebraica de un campo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito y es contablemente infinita si K es finito. ^[3]

Ejemplos

• El teorema fundamental del álgebra establece que la clausura algebraica del cuerpo de los números reales es el cuerpo de los números complejos .
• La clausura algebraica del cuerpo de los números racionales es el campo de los números algebraicos .
• Hay muchos campos contables algebraicamente cerrados dentro de los números complejos y que contienen estrictamente el campo de los números algebraicos; éstas son las clausuras algebraicas de extensiones trascendentales de los números racionales, por ejemplo, la clausura algebraica de Q (π).
• Para un campo finito de orden de potencia prima q , la clausura algebraica es un campo contablemente infinito que contiene una copia del campo de orden q ⁿ para cada entero positivo n (y es de hecho la unión de estas copias). ^[6]

Existencia de un cierre algebraico y división de campos.

Sea el conjunto de todos los polinomios mónicos irreducibles en K [ x ]. Para cada uno , introduzca nuevas variables donde . Sea R el anillo polinómico sobre K generado por for all y all . Escribir ${\displaystyle S=\{f_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}}$ ${\displaystyle f_{\lambda }\in S}$ ${\displaystyle u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}}$ ${\displaystyle d={\rm {degree}}(f_{\lambda })}$ ${\displaystyle u_{\lambda ,i}}$ ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ ${\displaystyle i\leq {\rm {degree}}(f_{\lambda })}$

${\displaystyle f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]}$

con . Sea I el ideal en R generado por . Dado que I es estrictamente más pequeño que R , el lema de Zorn implica que existe un ideal máximo M en R que contiene a I. El campo K ₁ = R / M tiene la propiedad de que cada polinomio con coeficientes en K se divide como producto de y por lo tanto tiene todas las raíces en K ₁ . De la misma manera se puede construir una extensión K ₂ de K _{1 , etc. La unión de todas estas extensiones es la clausura algebraica de} K , porque cualquier polinomio con coeficientes en este nuevo campo tiene sus coeficientes en algún K _n con coeficientes suficientemente grandes. n , y entonces sus raíces están en K _{n +1} , y por tanto en la propia unión. ${\displaystyle r_{\lambda ,j}\in R}$ ${\displaystyle r_{\lambda ,j}}$ ${\displaystyle f_{\lambda }}$ ${\displaystyle x-(u_{\lambda ,i}+M),}$

Se puede demostrar de la misma manera que para cualquier subconjunto S de K [ x ], existe un campo de división de S sobre K .

Cierre separable

Un cierre algebraico K ^alg de K contiene una extensión separable única K ^sep de K que contiene todas las extensiones separables (algebraicas) de K dentro de K ^alg . Esta subextensión se llama cierre separable de K . Dado que una extensión separable de una extensión separable es nuevamente separable, no hay extensiones separables finitas de K ^sep , de grado > 1. Dicho de otra manera, K está contenido en un campo de extensión algebraico separablemente cerrado . Es único ( hasta isomorfismo). ^[7]

El cierre separable es el cierre algebraico completo si y sólo si K es un campo perfecto . Por ejemplo, si K es un campo de característica p y si X es trascendental sobre K , es una extensión de campo algebraico no separable. ${\displaystyle K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)}$

En general, el grupo de Galois absoluto de K es el grupo de Galois de K ^sep sobre K . ^[8]

Ver también

• Campo algebraicamente cerrado
• extensión algebraica
• Ampliación de Puiseux
• Campo completo

Referencias

1. McCarthy (1991) p.21
2. MF Atiyah e IG Macdonald (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Compañía editorial Addison-Wesley. págs. 11-12.
3. Kaplansky (1972) págs. 74-76
4. Banaschewski, Bernhard (1992), "Cierre algebraico sin elección", Z. Math. Logik Grundlagen Matemáticas. , 38 (4): 383–385, doi :10.1002/malq.19920380136, Zbl  0739.03027
5. Discusión de Mathoverflow
6. Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989), "2.2 La clausura algebraica de un campo finito", Extensiones algebraicas infinitas de campos finitos, Matemáticas contemporáneas, vol. 95, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , págs. 22-23, ISBN 978-0-8218-5428-0, Zbl  0674.12009.
7. McCarthy (1991) p.22
8. Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 11 (3ª ed.). Springer-Verlag . pag. 12.ISBN​ 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001.

• Kaplansky, Irving (1972). Campos y anillos . Conferencias de matemáticas en Chicago (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-42451-0. Zbl  1001.16500.
• McCarthy, Paul J. (1991). Extensiones algebraicas de campos (Reimpresión corregida de la 2ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. Zbl  0768.12001.