El problema de Brocard

En matemáticas, ¿cuándo n!+1 es un cuadrado?

Problema no resuelto en matemáticas :

¿ Tiene soluciones enteras distintas a ? ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$ ${\displaystyle n=4,5,7}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

El problema de Brocard es un problema de matemáticas que busca valores enteros de tal que sea un cuadrado perfecto, donde está el factorial . Sólo se conocen tres valores de (4, 5, 7) y no se sabe si hay más. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!+1}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$

Más formalmente, busca pares de números enteros y tales que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle n!+1=m^{2}.}$$

Henri Brocard^{[1] [2]}Srinivasa Ramanujan^[3]

Números marrones

Los pares de números que resuelven el problema de Brocard fueron denominados números Brown por Clifford A. Pickover en su libro de 1995 Keys to Infinity , después de enterarse del problema por Kevin S. Brown. ^[4] En octubre de 2022, solo se conocen tres pares de números marrones: ${\displaystyle (n,m)}$

(4,5), (5,11) y (7,71),

basado en las igualdades

4! + 1 = 5 ² = 25,

5! + 1 = 11 ² = 121, y

7! + 1 = 71 ² = 5041.

Paul Erdős conjeturó que no existen otras soluciones. Las búsquedas computacionales de hasta mil billones no han encontrado más soluciones. ^{[5] [6] [7]}

Conexión con la conjetura abc

De la conjetura abc se deduciría que sólo hay un número finito de números de Brown. ^[8] De manera más general, también se seguiría de la conjetura abc que

$${\displaystyle n!+A=k^{2}}$$

^[9] ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle n!=P(x)}$$

^[10] ${\displaystyle P(x)}$

Referencias

1. Brocard, H. (1876), "Pregunta 166", Nouv. Corres. Matemáticas. , 2 : 287
2. Brocard, H. (1885), "Pregunta 1532", Nouv. Ana. Matemáticas. , 4 : 391
3. Ramanujan, Srinivasa (2000), "Pregunta 469", en Hardy, GH; Aiyar, PV Seshu; Wilson, BM (eds.), Artículos recopilados de Srinivasa Ramanujan , Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, p. 327, ISBN 0-8218-2076-1, señor  2280843
4. Pickover, Clifford A. (1995), Claves del infinito , John Wiley & Sons, p. 170
5. Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), "Sobre la ecuación diofantina de Brocard-Ramanujan n! + 1 = m2" (PDF) , Ramanujan Journal , 4 (1): 41–42, doi :10.1023/A:1009873805276, MR  1754629 , S2CID  119711158
6. Matson, Robert (2017), "Búsqueda de la cuarta solución del problema de Brocard utilizando residuos cuadráticos" (PDF) , Problemas sin resolver en teoría de números, lógica y criptografía , archivado desde el original (PDF) el 6 de octubre de 2018 , consultado el 5 de octubre de 2017 -07
7. Epstein, Andrés; Glickman, Jacob (2020), Repositorio C ++ Brocard GitHub
8. Overholt, Marius (1993), "La ecuación diofántica n ! + 1 = m ² ", The Bulletin of the London Mathematical Society , 25 (2): 104, doi :10.1112/blms/25.2.104, MR  1204060
9. Dąbrowski, Andrzej (1996), "Sobre la ecuación diofántica x ! + A = y ² ", Nieuw Archief voor Wiskunde , 14 (3): 321–324, MR  1430045
10. Luca, Florian (2002), "La ecuación diofántica P (x) = n! Y un resultado de M. Overholt" (PDF) , Glasnik Matematički , 37(57) (2): 269–273, MR  1951531

Otras lecturas

• Guy, RK (2004), "D25: Ecuaciones con factorial ", Problemas no resueltos en teoría de números (3.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. ${\displaystyle n}$

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "El problema de Brocard" ("Números marrones") en MathWorld .
• Copeland, Ed, "Brown Numbers", Numberphile , Brady Haran , archivado desde el original el 9 de noviembre de 2014 , consultado el 6 de abril de 2013.