Teoremas de Mertens

En la teoría analítica de números , los teoremas de Mertens son tres resultados de 1874 relacionados con la densidad de números primos demostrados por Franz Mertens . ^[1]

En lo que sigue, se entenderá por n todos los números primos que no excedan de n . ${\displaystyle p\leq n}$

Primer teorema

El primer teorema de Mertens es que

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}-\log n}$

no excede de 2 en valor absoluto para ningún . (A083343) ${\displaystyle n\geq 2}$

Segundo teorema

El segundo teorema de Mertens es

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M\right)=0,}$

donde M es la constante de Meissel-Mertens (A077761). Más precisamente, Mertens ^[1] demuestra que la expresión bajo el límite no excede en valor absoluto

${\displaystyle {\frac {4}{\log(n+1)}}+{\frac {2}{n\log n}}}$

Para cualquier . ${\displaystyle n\geq 2}$

Prueba

El paso principal en la demostración del segundo teorema de Mertens es

${\displaystyle O(n)+n\log n=\log n!=\sum _{p^{k}\leq n}\lfloor n/p^{k}\rfloor \log p=\sum _{p^{k}\leq n}\left({\frac {n}{p^{k}}}+O(1)\right)\log p=n\sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}\ +O(n)}$

donde la última igualdad necesita lo que sigue de . ${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}\log p=O(n)}$ ${\displaystyle \sum _{p\in (n,2n]}\log p\leq \log {2n \choose n}=O(n)}$

Así pues, hemos demostrado que

${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}=\log n+O(1)}$.

Dado que la suma de potencias primos con converge, esto implica ${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1)}$.

Una suma parcial da como resultado

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+M+O(1/\log n)}$.

Cambios de signo

En un artículo ^[2] sobre la tasa de crecimiento de la función suma de divisores publicado en 1983, Guy Robin demostró que en el segundo teorema de Mertens la diferencia

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M}$

cambia de signo infinitamente a menudo, y que en el tercer teorema de Mertens la diferencia

${\displaystyle \log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }}$

cambia de signo infinitamente a menudo. Los resultados de Robin son análogos al famoso teorema de Littlewood de que la diferencia π( x ) − li( x ) cambia de signo infinitamente a menudo. No se conoce ningún análogo del número de Skewes (un límite superior del primer número natural x para el cual π( x ) > li( x )) en el caso del segundo y tercer teoremas de Mertens.

Relación con el teorema de los números primos

En relación con esta fórmula asintótica, Mertens hace referencia en su artículo a "dos curiosas fórmulas de Legendre", ^[1] la primera de las cuales es el prototipo del segundo teorema de Mertens (y la segunda es el prototipo del tercer teorema de Mertens: véanse las primeras líneas del artículo). Recuerda que está contenida en la tercera edición de Legendre de su "Théorie des nombres" (1830; de hecho, ya se menciona en la segunda edición, 1808), y también que Chebyshev demostró una versión más elaborada en 1851. ^[3] Nótese que, ya en 1737, Euler conocía el comportamiento asintótico de esta suma.

Mertens describe diplomáticamente su prueba como más precisa y rigurosa. En realidad, ninguna de las pruebas anteriores es aceptable según los estándares modernos: los cálculos de Euler involucran el infinito (¡y el logaritmo hiperbólico del infinito, y el logaritmo del logaritmo del infinito!); el argumento de Legendre es heurístico; y la prueba de Chebyshev, aunque perfectamente sólida, hace uso de la conjetura de Legendre-Gauss, que no fue demostrada hasta 1896 y se hizo más conocida como el teorema de los números primos .

La demostración de Mertens no apela a ninguna hipótesis no demostrada (en 1874), y sólo al análisis real elemental. Se produce 22 años antes de la primera demostración del teorema de los números primos que, por el contrario, se basa en un análisis cuidadoso del comportamiento de la función zeta de Riemann como función de una variable compleja. La demostración de Mertens es notable en ese sentido. De hecho, con la notación moderna da

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)}$

Mientras que se puede demostrar que el teorema de los números primos (en su forma más simple, sin estimación de error) implica ^[4]

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).}$

En 1909, Edmund Landau , utilizando la mejor versión del teorema de los números primos que tenía entonces a su disposición, demostró ^[5] que

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})}$

se cumple; en particular, el término de error es menor que para cualquier entero fijo k . Una simple suma por partes que explota la forma más fuerte conocida del teorema de los números primos mejora esto a ${\displaystyle 1/(\log x)^{k}}$

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})}$

Para algunos . ${\displaystyle c>0}$

De manera similar, una suma parcial muestra lo que implica el PNT. ${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+C+o(1)}$

Tercer teorema

El tercer teorema de Mertens es

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }\approx 0.561459483566885,}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni (A001620).

Relación con la teoría del tamiz

Una estimación de la probabilidad de que ( ) no tenga factor viene dada por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\gg n}$ ${\displaystyle \leq n}$

${\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

Esto está estrechamente relacionado con el tercer teorema de Mertens, que proporciona una aproximación asintótica de

${\displaystyle P(p\nmid X\ \forall p\leq n)={\frac {1}{e^{\gamma }\log n}}}$

Referencias

1. F. Mertens. J. reina angew. Matemáticas. 78 (1874), 46–62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie
2. Robin, G. (1983). "Sobre el orden máximo de la función de los divisores". Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progreso en Matemáticas . 38 : 233–244.
3. PL Chebychev. Sur la función que determina la totalidad de los nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141-157
4. I.3 de: G. Tenenbaum. Introducción a la teoría analítica y probabilística de números. Traducido de la segunda edición francesa (1995) por CB Thomas. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 46. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
5. Edmundo Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, Repr. Chelsea Nueva York 1953, § 55, pág. 197-203.

Lectura adicional

• Yaglom y Yaglom Problemas matemáticos desafiantes con soluciones elementales Vol 2, problemas 171, 173, 174

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Constante de Mertens". MundoMatemático .
• Varun Rajkumar, π(x) y la criba de Eratóstenes