donde denota la cardinalidad de un conjunto . En otras palabras, r k ( n ) es el número de formas en que n puede escribirse como una suma de k cuadrados.
Por ejemplo, desde donde cada suma tiene dos combinaciones de signos, y también desde con cuatro combinaciones de signos. Por otro lado, porque no hay forma de representar 3 como suma de dos cuadrados.
Fórmulas
k = 2
Los números enteros que satisfacen el teorema de la suma de dos cuadrados son cuadrados de distancias posibles entre puntos de la red de números enteros; Se muestran valores hasta 100, con
El número de formas de escribir un número natural como suma de dos cuadrados viene dado por r 2 ( n ) . Está dado explícitamente por
donde d 1 ( n ) es el número de divisores de n que son congruentes con 1 módulo 4 y d 3 ( n ) es el número de divisores de n que son congruentes con 3 módulo 4. Usando sumas, la expresión se puede escribir como :
donde h ( m ) denota el número de clase de un número entero m .
Existen extensiones de la fórmula de Gauss al número entero arbitrario n . [1] [2]
k = 4
La cantidad de formas de representar n como la suma de cuatro cuadrados se debió a Carl Gustav Jakob Jacobi y es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, es decir
Representando n = 2 k m , donde m es un número entero impar, se puede expresar en términos de la función divisora de la siguiente manera:
k = 6
El número de formas de representar n como la suma de seis cuadrados viene dado por
^ PT Bateman (1951). «Sobre la representación de un número como suma de tres cuadrados» (PDF) . Trans. América. Matemáticas. Soc . 71 : 70-101. doi :10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4.
^ S. Bhargava; Chandrashekar Adiga; DD Somashekara (1993). "Teorema de los tres cuadrados como aplicación de la identidad de Andrews" (PDF) . Cuarto de Fibonacci . 31 (2): 129-133.
^ ab Cohen, H. (2007). "5.4 Consecuencias del teorema de Hasse-Minkowski". Teoría de números Volumen I: herramientas y ecuaciones diofánticas . Saltador. ISBN978-0-387-49922-2.
^ Milne, Stephen C. (2002). "Introducción". Familias infinitas de fórmulas de sumas exactas de cuadrados, funciones elípticas de Jacobi, fracciones continuas y funciones de Schur . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 9.ISBN1402004915.