Teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi

¿De cuántas formas se puede representar un número entero positivo como la suma de cuatro cuadrados?

En teoría de números , el teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi proporciona una fórmula para el número de formas en que un entero positivo dado n puede representarse como la suma de cuatro cuadrados (de números enteros ).

Historia

El teorema fue demostrado en 1834 por Carl Gustav Jakob Jacobi .

Teorema

Dos representaciones se consideran diferentes si sus términos están en orden diferente o si el número entero que se eleva al cuadrado (no solo el cuadrado) es diferente; para ilustrarlo, estas son tres de las ocho formas diferentes de representar 1:

$${\displaystyle {\begin{aligned}1^{2}&+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\0^{2}&+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\(-1)^{2}&+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}}$$

El número de formas de representar n como la suma de cuatro cuadrados es ocho veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par (ver función divisor ), es decir

$${\displaystyle r_{4}(n)={\begin{cases}\displaystyle 8\sum _{m|n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}},\\[12pt]\displaystyle 24\sum _{{m|n} \atop {m{\text{ odd}}}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

Equivalentemente, es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, es decir

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{{m\mid n,} \atop {4\nmid m}}m.}$$

También podemos escribir esto como

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\,\sigma (n)-32\,\sigma (n/4)}$$

donde el segundo término debe tomarse como cero si n no es divisible por 4. En particular, para un número primo p tenemos la fórmula explícita r ₄ ( p ) = 8( p + 1) . ^[1]

Algunos valores de r ₄ ( n ) ocurren infinitamente a menudo como r ₄ ( n ) = r ₄ (2 ^m n ) siempre que n sea par. Los valores de r ₄ ( n ) pueden ser arbitrariamente grandes: de hecho, r ₄ ( n ) es infinitamente a menudo mayor que ^[1] ${\displaystyle 8{\sqrt {\log n}}.}$

Prueba

El teorema se puede demostrar por medios elementales comenzando con el triple producto de Jacobi . ^[2]

La prueba muestra que la serie Theta para la red Z ⁴ es una forma modular de un cierto nivel y, por lo tanto, es igual a una combinación lineal de la serie de Eisenstein .

Véase también

• Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange
• Serie Lambert
• Función suma de cuadrados

Notas

1. Williams 2011, pág. 119.
2. Hirschhorn, Michael D. (2000). "Fracciones parciales y cuatro teoremas clásicos de la teoría de números". The American Mathematical Monthly . 107 (3): 260–264. CiteSeerX  10.1.1.28.1615 . doi :10.2307/2589321. JSTOR  2589321.

Referencias

• Hirschhorn, Michael D.; McGowan, James A. (2001). "Consecuencias algebraicas de los teoremas de dos y cuatro cuadrados de Jacobi". En Garvan, FG; Ismail, MEH (eds.). Computación simbólica, teoría de números, funciones especiales, física y combinatoria . Desarrollos en matemáticas. Vol. 4. Springer. págs. 107–132. CiteSeerX  10.1.1.26.9028 . doi :10.1007/978-1-4613-0257-5_7. ISBN . 978-1-4020-0101-7.
• Hirschhorn, Michael D. (1987). "Una prueba sencilla del teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi". Actas de la American Mathematical Society . 101 (3): 436. doi : 10.1090/s0002-9939-1987-0908644-9 .
• Williams, Kenneth S. (2011). Teoría de números en el espíritu de Liouville . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 76. Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-17562-3.Zbl 1227.11002  .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función suma de cuadrados". MathWorld .