En matemáticas , un número natural a es un divisor unitario (o divisor de Hall ) de un número b si a es divisor de b y si a y son coprimos , sin tener otro factor común que 1. De manera equivalente, un divisor a de b es un divisor unitario si y sólo si cada factor primo de a tiene la misma multiplicidad en a que en b .![{\displaystyle {\frac {b}{a}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El concepto de divisor unitario se origina en R. Vaidyanathaswamy (1931), [1] quien utilizó el término divisor de bloque .
Ejemplo
5 es divisor unitario de 60, porque 5 y solo tienen 1 como factor común. ![{\displaystyle {\frac {60}{5}}=12}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por el contrario, 6 es divisor pero no divisor unitario de 60, ya que 6 y tienen un factor común distinto de 1, es decir, 2. ![{\displaystyle {\frac {60}{6}}=10}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Suma de divisores unitarios
La función de suma de divisores unitarios se denota con la letra griega minúscula sigma, así: σ*( n ). La suma de las k -ésimas potencias de los divisores unitarios se denota por σ* k ( n ):
![{\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d ^{k}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si los divisores unitarios propios de un número dado suman ese número, entonces ese número se llama número unitario perfecto .
Propiedades
El número 1 es divisor unitario de todo número natural.
El número de divisores unitarios de un número n es 2 k , donde k es el número de factores primos distintos de n . Esto se debe a que cada número entero N > 1 es el producto de potencias positivas p r p de números primos distintos p . Así , cada divisor unitario de N es el producto, sobre un subconjunto dado S de los divisores primos { p } de N , de las potencias primas p r p para p ∈ S. Si hay k factores primos, entonces hay exactamente 2 k subconjuntos S , y la afirmación sigue.
La suma de los divisores unitarios de n es impar si n es una potencia de 2 (incluido 1), e incluso en caso contrario.
Tanto el recuento como la suma de los divisores unitarios de n son funciones multiplicativas de n que no son completamente multiplicativas . La función generadora de Dirichlet es
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (sk)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{ *}(n)}{n^{s}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Todo divisor de n es unitario si y sólo si n no tiene cuadrados .
Divisores unitarios impares
La suma de las k -ésimas potencias de los divisores unitarios impares es
![{\displaystyle \sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\,\mid \,n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \ mcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
También es multiplicativo, con función generadora de Dirichlet.
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (sk)(1-2^{ks})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\ suma _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Divisores biunitarios
Un divisor d de n es un divisor biunitario si el máximo divisor unitario común de d y n / d es 1. Este concepto se origina en D. Suryanarayana (1972). [El número de divisores biunitarios de un número entero, en The Theory of Arithmetic Functions, Lecture Notes in Mathematics 251: 273–282, Nueva York, Springer–Verlag].
El número de divisores biunitarios de n es una función multiplicativa de n con orden promedio donde [2]![{\displaystyle A\log x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un número perfecto biunitario es uno igual a la suma de sus divisores alícuotas biunitarios. Los únicos números de este tipo son 6, 60 y 90. [3]
secuencias OEIS
- OEIS : A034444 es σ * 0 ( n )
- OEIS : A034448 es σ * 1 ( n )
- OEIS : A034676 a OEIS : A034682 son σ * 2 ( n ) a σ * 8 ( n )
- OEIS : A068068 es σ (o)* 0 ( n )
- OEIS : A192066 es σ (o)* 1 ( n )
- OEIS : A064609 es
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{1}(i)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- OEIS : A306071 es
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- ^ R. Vaidyanathaswamy (1931). "La teoría de las funciones aritméticas multiplicativas". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 33 (2): 579–662. doi : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .
- ^ Ivić (1985) p.395
- ^ Sandor y otros (2006) p.115
- Richard K. Guy (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Springer-Verlag . pag. 84.ISBN 0-387-20860-7. Sección B3.
- Paulo Ribenboim (2000). Mis números, mis amigos: conferencias populares sobre teoría de números . Springer-Verlag. pag. 352.ISBN 0-387-98911-0.
- Cohen, Eckford (1959). "Una clase de sistemas de residuos (mod r) y funciones aritméticas relacionadas. I. Una generalización de la inversión de Möbius". Pacífico J. Matemáticas . 9 (1): 13–23. doi : 10.2140/pjm.1959.9.13 . SEÑOR 0109806.
- Cohen, Eckford (1960). "Funciones aritméticas asociadas a los divisores unitarios de un número entero". Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80. doi :10.1007/BF01180473. SEÑOR 0112861. S2CID 53004302.
- Cohen, Eckford (1960). "El número de divisores unitarios de un número entero". Mensual Matemático Estadounidense . 67 (9): 879–880. doi :10.2307/2309455. JSTOR 2309455. SEÑOR 0122790.
- Cohen, Graeme L. (1990). "Sobre los divisores infinitos de un número entero". Matemáticas. comp . 54 (189): 395–411. Código Bib : 1990MaCom..54..395C. doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . SEÑOR 0993927.
- Cohen, Graeme L. (1993). "Funciones aritméticas asociadas a divisores infinitos de un número entero". En t. J. Matemáticas. Matemáticas. Ciencia . 16 (2): 373–383. doi : 10.1155/S0161171293000456 .
- Pinzón, Steven (2004). «Unitarismo e infinitarismo» (PDF) .
- Ivić, Aleksandar (1985). La función zeta de Riemann. La teoría de la función zeta de Riemann con aplicaciones . Una publicación de Wiley-Interscience. Nueva York, etc.: John Wiley & Sons. pag. 395.ISBN 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026.
- Mathar, RJ (2011). "Estudio de la serie de Dirichlet de funciones aritméticas multiplicativas". arXiv : 1106.4038 [matemáticas.NT].Sección 4.2
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
- Toth, L. (2009). "Sobre los análogos biunitarios de la función aritmética de Euler y la función de suma mcd". J. Int. Sec . 12 .
enlaces externos