numero unitario perfecto

Entero que es la suma de sus divisores unitarios propios positivos, sin incluirse a sí mismo

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Existen infinitos números unitarios perfectos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Un número unitario perfecto es un número entero que es la suma de sus divisores unitarios propios positivos , sin incluir el número en sí (un divisor d de un número n es un divisor unitario si d y n / d no comparten factores comunes ). Algunos números perfectos no son números perfectos unitarios y algunos números perfectos unitarios no son números perfectos ordinarios.

Ejemplos conocidos

El número 60 es un número unitario perfecto porque 1, 3, 4, 5, 12, 15 y 20 son sus divisores unitarios propios, y 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Los primeros cinco, y los únicos números perfectos unitarios conocidos son , , , y (secuencia A002827 en OEIS ). Las sumas respectivas de sus divisores unitarios propios son las siguientes: ${\displaystyle 6=2\times 3}$ ${\displaystyle 60=2^{2}\times 3\times 5}$ ${\displaystyle 90=2\times 3^{2}\times 5}$ ${\displaystyle 87360=2^{6}\times 3\times 5\times 7\times 13}$ ${\displaystyle 146361946186458562560000=2^{18}\times 3\times 5^{4}\times 7\times 11\times 13\times 19\times 37\times 79\times 109\times 157\times 313}$

• 6 = 1 + 2 + 3
• 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
• 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
• 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
• 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 divisores en el suma)

Propiedades

No existen números unitarios perfectos impares . Esto se deduce ya que 2 ^{d *( n )} divide la suma de los divisores unitarios de un número impar n , donde d *( n ) es el número de factores primos distintos de n . Se obtiene esto porque la suma de todos los divisores unitarios es una función multiplicativa y se tiene que la suma de los divisores unitarios de una potencia prima p ^a es p ^a  + 1, que es par para todos los primos impares p . Por lo tanto, un número unitario perfecto impar debe tener sólo un factor primo distinto, y no es difícil demostrar que una potencia de primos no puede ser un número unitario perfecto, ya que no hay suficientes divisores.

No se sabe si existen o no infinitos números unitarios perfectos, o incluso si hay más ejemplos además de los cinco ya conocidos. Un sexto número de este tipo tendría al menos nueve factores primos impares. ^[1]

Referencias

1. Muro, Charles R. (1988). "Los nuevos números unitarios perfectos tienen al menos nueve componentes impares". Fibonacci trimestral . 26 (4): 312–317. ISSN  0015-0517. SEÑOR  0967649. Zbl  0657.10003.

• Richard K. Guy (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Springer-Verlag . págs. 84–86. ISBN 0-387-20860-7. Sección B3.
• Paulo Ribenboim (2000). Mis números, mis amigos: conferencias populares sobre teoría de números . Springer-Verlag. pag. 352.ISBN​ 0-387-98911-0.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.