convolución de Dirichlet

En matemáticas , la convolución de Dirichlet (o convolución del divisor ) es una operación binaria definida para funciones aritméticas ; es importante en la teoría de números . Fue desarrollado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Definición

Si hay dos funciones aritméticas desde los enteros positivos hasta los números complejos , la convolución de Dirichlet f ∗ g es una nueva función aritmética definida por: ${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle (f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)}$

donde la suma se extiende sobre todos los divisores positivos d de  n , o de manera equivalente sobre todos los pares distintos ( a , b ) de enteros positivos cuyo producto es n .

Este producto se produce de forma natural en el estudio de series de Dirichlet como la función zeta de Riemann . Describe la multiplicación de dos series de Dirichlet en términos de sus coeficientes:

${\displaystyle \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).}$

Propiedades

El conjunto de funciones aritméticas forma un anillo conmutativo , elAnillo de Dirichlet , bajosuma puntual, donde f + g se define por( f + g )( n ) = f ( n ) + g ( n ), y convolución de Dirichlet. La identidad multiplicativa es lafunción unitaria εdefinida por ε ( n ) = 1si n = 1y ε ( n ) = 0si n > 1. Lasunidades(elementos invertibles) de este anillo son las funciones aritméticasfcon f (1) ≠ 0.

Específicamente, ^[1] la convolución de Dirichlet es asociativa ,

${\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h),}$

distributivo sobre la suma

${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h}$,

conmutativo ,

${\displaystyle f*g=g*f}$,

y tiene un elemento de identidad,

${\displaystyle f*\varepsilon }$= . ${\displaystyle \varepsilon *f=f}$

Además, para cada tener , existe una función aritmética con , llamada ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)\neq 0}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f*f^{-1}=\varepsilon }$Dirichlet inversa de. ${\displaystyle f}$

La convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa, y toda función multiplicativa que no sea constantemente cero tiene una inversa de Dirichlet que también es multiplicativa. En otras palabras, las funciones multiplicativas forman un subgrupo del grupo de elementos invertibles del anillo de Dirichlet. Sin embargo, tenga en cuenta que la suma de dos funciones multiplicativas no es multiplicativa (ya que ), por lo que el subconjunto de funciones multiplicativas no es un subanillo del anillo de Dirichlet. El artículo sobre funciones multiplicativas enumera varias relaciones de convolución entre funciones multiplicativas importantes. ${\displaystyle (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1}$

Otra operación con funciones aritméticas es la multiplicación puntual: fg se define por ( fg )( n ) = f ( n ) g ( n ) . Dada una función completamente multiplicativa , la multiplicación puntual por se distribuye sobre la convolución de Dirichlet :. ^[2] La convolución de dos funciones completamente multiplicativas es multiplicativa, pero no necesariamente completamente multiplicativa. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (f*g)h=(fh)*(gh)}$

Ejemplos

En estas fórmulas utilizamos las siguientes funciones aritméticas :

• ${\displaystyle \varepsilon }$es la identidad multiplicativa: , en caso contrario 0 ( ). ${\displaystyle \varepsilon (1)=1}$ ${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor }$
• ${\displaystyle 1}$es la función constante con valor 1: para todos . Tenga en cuenta que esa no es la identidad. (Algunos autores indican esto porque la serie de Dirichlet asociada es la función zeta de Riemann ). ${\displaystyle 1(n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \zeta }$
• ${\displaystyle 1_{C}}$for es una función indicadora establecida : iff , de lo contrario 0. ${\displaystyle C\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 1_{C}(n)=1}$ ${\displaystyle n\in C}$
• ${\displaystyle {\text{Id}}}$es la función identidad con valor n : . ${\displaystyle {\text{Id}}(n)=n}$
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}}$es la k- ésima función de potencia: . ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}}$

Se mantienen las siguientes relaciones:

• ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$, la inversa de Dirichlet de la función constante es la función de Möbius . Por eso: ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle g=f*1}$ si y sólo si , la fórmula de inversión de Möbius ${\displaystyle f=g*\mu }$
• ${\displaystyle \sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1}$, la función de suma de k-ésima potencia de divisores σ _k
• ${\displaystyle \sigma ={\text{Id}}*1}$, la función de suma de divisores σ = σ ₁
• ${\displaystyle \tau =1*1}$, la función de número de divisores τ ( n ) = σ ₀
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu }$, por inversión de Möbius de las fórmulas para σ _k , σ y τ
• ${\displaystyle {\text{Id}}=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle 1=\tau *\mu }$
• ${\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}$, demostrado bajo la función totiente de Euler
• ${\displaystyle \phi ={\text{Id}}*\mu }$, por inversión de Möbius
• ${\displaystyle \sigma =\phi *\tau }$  , de convolucionar 1 en ambos lados de ${\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}$
• ${\displaystyle \lambda *|\mu |=\varepsilon }$  donde λ es la función de Liouville
• ${\displaystyle \lambda *1=1_{\text{Sq}}}$ donde Sq = {1, 4, 9, ...} es el conjunto de cuadrados
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon }$
• ${\displaystyle \tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}}$
• ${\displaystyle J_{k}*1={\text{Id}}_{k}}$, la función de paciente de Jordan
• ${\displaystyle ({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}}$
• ${\displaystyle \Lambda *1=\log }$, ¿dónde está la función de von Mangoldt? ${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle |\mu |\ast 1=2^{\omega },}$¿Dónde está la función omega prima contando distintos factores primos de n? ${\displaystyle \omega (n)}$
• ${\displaystyle \Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}}$, la función característica de las potencias primarias.
• ${\displaystyle \omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }}$¿ Dónde está la función característica de los números primos? ${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}}$

Esta última identidad muestra que la función de conteo de primos está dada por la función sumatoria

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)}$

donde es la función de Mertens y es la función de conteo de factores primos distinta desde arriba. Esta expansión se deriva de la identidad para las sumas sobre convoluciones de Dirichlet dada en la página de identidades de sumas de divisores (un truco estándar para estas sumas). ^[3] ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle \omega }$

Inversa de Dirichlet

Ejemplos

Dada una función aritmética, su inversa de Dirichlet se puede calcular de forma recursiva: el valor de está en términos de for . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{-1}}$ ${\displaystyle g(n)}$ ${\displaystyle g(m)}$ ${\displaystyle m<n}$

Para : ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle (f*g)(1)=f(1)g(1)=\varepsilon (1)=1}$, entonces

${\displaystyle g(1)=1/f(1)}$. Esto implica que no tiene inversa de Dirichlet si . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=0}$

Para : ${\displaystyle n=2}$

Error al analizar (SVG (MathML se puede habilitar mediante un complemento del navegador): respuesta no válida ("La extensión Math no puede conectarse a Restbase") del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":) : {\displaystyle (f * g) (2) = f(1) g(2) + f(2) g(1) = \varepsilon(2) = 0} ,

${\displaystyle g(2)=-(f(2)g(1))/f(1)}$,

Para : ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle (f*g)(3)=f(1)g(3)+f(3)g(1)=\varepsilon (3)=0}$,

${\displaystyle g(3)=-(f(3)g(1))/f(1)}$,

Para : ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle (f*g)(4)=f(1)g(4)+f(2)g(2)+f(4)g(1)=\varepsilon (4)=0}$,

${\displaystyle g(4)=-(f(4)g(1)+f(2)g(2))/f(1)}$,

y en general para , ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle g(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}$

Propiedades

Se mantienen las siguientes propiedades de la inversa de Dirichlet: ^[4]

• La función f tiene inversa de Dirichlet si y sólo si f (1) ≠ 0 .
• La inversa de Dirichlet de una función multiplicativa es nuevamente multiplicativa.
• La inversa de Dirichlet de una convolución de Dirichlet es la convolución de las inversas de cada función: . ${\displaystyle (f\ast g)^{-1}=f^{-1}\ast g^{-1}}$
• Una función multiplicativa f es completamente multiplicativa si y sólo si . ${\displaystyle f^{-1}(n)=\mu (n)f(n)}$
• Si f es completamente multiplicativa , entonces cuando y donde denota multiplicación puntual de funciones. ${\displaystyle (f\cdot g)^{-1}=f\cdot g^{-1}}$ ${\displaystyle g(1)\neq 0}$ ${\displaystyle \cdot }$

Otras fórmulas

En Identidades de suma divisoria se proporciona una fórmula exacta y no recursiva para la inversa de Dirichlet de cualquier función aritmética f . Una expresión más teórica de partición para la inversa de Dirichlet de f viene dada por

${\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{\Omega (n)}\left\{\sum _{{\lambda _{1}+2\lambda _{2}+\cdots +k\lambda _{k}=n} \atop {\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}|n}}{\frac {(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})!}{1!2!\cdots k!}}(-1)^{k}f(\lambda _{1})f(\lambda _{2})^{2}\cdots f(\lambda _{k})^{k}\right\}.}$

La siguiente fórmula proporciona una forma compacta de expresar la inversa de Dirichlet de una función aritmética invertible f  :

${\displaystyle f^{-1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(f(1)\varepsilon -f)^{*k}}{f(1)^{k+1}}}}$

donde la expresión representa la función aritmética convolucionada consigo misma k veces. Observe que, para un entero positivo fijo , si entonces , esto se debe a que y cada forma de expresar n como producto de k enteros positivos debe incluir un 1, por lo que la serie del lado derecho converge para cada entero positivo fijo n. ${\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}}$ ${\displaystyle f(1)\varepsilon -f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k>\Omega (n)}$ ${\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}(n)=0}$ ${\displaystyle f(1)\varepsilon (1)-f(1)=0}$

serie dirichlet

Si f es una función aritmética, la función generadora de la serie de Dirichlet está definida por

${\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

para aquellos argumentos complejos s para los cuales la serie converge (si los hay). La multiplicación de series de Dirichlet es compatible con la convolución de Dirichlet en el siguiente sentido:

${\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}$

para todos los s para los cuales ambas series del lado izquierdo convergen, una de ellas al menos convergente absolutamente (tenga en cuenta que la simple convergencia de ambas series del lado izquierdo no implica convergencia del lado derecho). Esto es similar al teorema de convolución si uno piensa en la serie de Dirichlet como una transformada de Fourier .

Conceptos relacionados

La restricción de los divisores en la convolución a divisores unitarios , biunitarios o infinitos define operaciones conmutativas similares que comparten muchas características con la convolución de Dirichlet (existencia de una inversión de Möbius, persistencia de la multiplicatividad, definiciones de totientes, fórmulas de productos tipo Euler sobre primos asociados, etc.).

La convolución de Dirichlet es un caso especial de la multiplicación de convolución para el álgebra de incidencia de un poset , en este caso el poset de números enteros positivos ordenados por divisibilidad.

Ver también

• función aritmética
• Identidades de suma divisoria
• Fórmula de inversión de Möbius

Referencias

1. Las pruebas están en Chan, cap. 2
2. Hay una prueba en el artículo Función completamente multiplicativa#Prueba de propiedad distributiva .
3. Schmidt, Maxie. Introducción de Apostol a la teoría analítica de números .Esta identidad es algo un poco especial que llamo "picatostes". Se desprende de varios capítulos de ejercicios del libro clásico de Apostol.
4. Nuevamente vea el Capítulo 2 de Apostol y los ejercicios al final del capítulo.
5. Ver Apóstol Capítulo 2.

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001
• Chan, Heng Huat (2009). Teoría analítica de números para estudiantes universitarios . Monografías de teoría de números. Compañía editorial científica mundial. ISBN 978-981-4271-36-3.
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de los números multiplicativos I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. vol. 97. Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. pag. 38.ISBN​ 978-0-521-84903-6.
• Cohen, Eckford (1959). "Una clase de sistemas de residuos (mod r) y funciones aritméticas relacionadas. I. Una generalización de la inversión de Möbius". Pacífico J. Matemáticas . vol. 9, núm. 1. págs. 13-23. SEÑOR  0109806.
• Cohen, Eckford (1960). "Funciones aritméticas asociadas a los divisores unitarios de un número entero". Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80. doi :10.1007/BF01180473. SEÑOR  0112861.
• Cohen, Eckford (1960). "El número de divisores unitarios de un número entero". Mensual Matemático Estadounidense . vol. 67, núm. 9. págs. 879–880. SEÑOR  0122790.
• Cohen, Graeme L. (1990). "Sobre los divisores infinitos de un número entero". Matemáticas. comp . 54 (189): 395–411. doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . SEÑOR  0993927.
• Cohen, Graeme L. (1993). "Funciones aritméticas asociadas a divisores infinitos de un número entero". En t. J. Matemáticas. Matemáticas. Ciencia . 16 (2): 373–383. doi : 10.1155/S0161171293000456 .
• Sandor, Jozsef; Bergé, Antal (2003). "La función de Möbius: generalizaciones y extensiones". Adv. Semental. Contemporáneo. Matemáticas. (Kyungshang) . 6 (2): 77-128. SEÑOR  1962765.
• Pinzón, Steven (2004). «Unitarismo e infinitarismo» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de febrero de 2015.

enlaces externos

• "Convolución de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]